专题04 平行四边形（期末6大知识点汇编）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 以多边形-平行四边形-中位线为逻辑主线，整合旋转变换与反证法，形成“概念-性质-判定-应用”的完整方法体系，精选浙江各地期中期末真题，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形|选择6+填空4|对角线公式、内角和/外角和定理|从一般多边形到特殊四边形，奠定边与角计算基础| |平行四边形性质|选择+填空+解答|对边/对角/对角线性质|承接多边形性质，构建平行四边形基本要素关系| |旋转图形|选择4+填空4+解答4|旋转三要素、性质及中心对称|通过变换视角深化平行四边形对称性理解| |平行四边形判定|选择5+解答6|定义+3个判定定理|与性质形成互逆逻辑，强化推理论证能力| |三角形中位线|选择8+填空4+解答4|中位线定理、中点四边形|实现三角形与四边形知识转化，培养模型意识| |反证法|选择3+填空2|假设-矛盾-结论步骤|补充证明方法，完善逻辑推理体系|

八年级下册数学期末总复习讲义 第4课 平行四边形 知识点梳理 考点01多边形 考点02平行四边形及其性质 考点03旋转图形 考点04平行四边形的判定 考点05三角形的中位线 考点06反证法 知识点01 多边形 1. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 2. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180，四边形的内角和为360. 3. 多边形的外角和 （1）多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 （2）多边形的外角和定理: 多边形的外角和为360°. （3）四边形的外角和：四边形的外角和也是360°. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，以四边形边长均大于的四个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．边数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 6．（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 10．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，是五边形的4个外角，若，则__________． 知识点02 平行四边形及其性质 1. 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 真题汇编 1. 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 知识点03 图形的旋转 1.定义：在平面内，将一个图形上的所有点围绕某个点按某个方向旋转一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 3.旋转的性质 ①每组对应点到旋转中心的距离相等； ②两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角相等； ③对应角的大小相等，对应线段相等； 的长度 ④旋转后得到的图形与原图形形状和大小不变 4.中心对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转180后，和原图形重合，这个图形称为中心对称图形,这个定点叫做对称中心; 连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列四个图形中、属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，将绕点A逆时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，点C的对应点为E，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为___. 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为_____．    7．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是，则顶点C的坐标是___． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．，则的长为___________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，． (1)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． (2)求的周长． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知是的边上的高． (1)如图①，若，E是边上一点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．求证：； (2)如图②，若，过点C作，垂足为E，连接．求证； (3)如图③，利用直尺和圆规，分别在，上作点M，N，使，且．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 11．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图1，若一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求、的坐标； (2)点为轴上的一点，当的面积为4时，求点的坐标； (3)如图2，是直线上的一个动点，将点绕点顺时针旋转，得到点，设点的横坐标为，求点的坐标（用含的代数式表示）． 12．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 知识点04 平行四边形的判定 （1）平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）平行四边形的判定定理 定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023·陕西西安·模拟预测）在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 6．（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，E、F分别是边、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，的对角线与相交于点，线段上的两点，满足，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，于点E，于点F，与相交于点G，连接，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的值； (3)若F是的中点，连接，求证：． 11．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图 1，已知线段，用无刻度的直尺和圆规作． 以下是小颖同学的作法： 如图 2，先作的平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点 E，连接并延长，再以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接，则四边形为平行四边形． (1)小颖的作法是否正确？若正确，请给出证明． (2)在图 1 中作一个与小颖不同的方法的（保留作图痕迹，不需要证明）． (3)如图 3，在小颖同学的作法的条件下，连结，若 ，求四边形的面积． 知识点05 三角形的中位线 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 2. 三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3. 中点四边形：顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 任意四边形的中点四边形一定时平形四边形； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．连接，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．12 C．18 D．24 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25八年级上·四川绵阳·月考）在四边形中，，E，F分别是和的中点．若，，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A． B． C． D．1 7．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，要测量池塘边上，两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，连接，，并取，的中点，，连接．测出的长为米，则，两地的距离为（    ） A．20米 B．40米 C．10米 D．米 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，D、E分别是的中点，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 二、填空题 9．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，E、F分别是、的中点，若，则_________． 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为______． 11．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，中，D是边的中点，平分，于点E，已知，，则的长为________． 12．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为________． 三、解答题 13．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，在中，，点分别是的中点．延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，，求四边形的面积． 14．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 16．（24-25八年级下·浙江·月考）已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）． 拓展： (1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． (2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）． (3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 知识点06 反证法 在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫反证法。真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于”时，应先假设这个三角形中（   ） A．内角都不小于 B．锐角都不大于 C．内角都小于 D．锐角都大于 二、填空题 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中____________． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设___________． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学期末总复习讲义 第4课 平行四边形 知识点梳理 考点01多边形 考点02平行四边形及其性质 考点03旋转图形 考点04平行四边形的判定 考点05三角形的中位线 考点06反证法 知识点01 多边形 1. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 2. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180，四边形的内角和为360. 3. 多边形的外角和 （1）多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 （2）多边形的外角和定理: 多边形的外角和为360°. （3）四边形的外角和：四边形的外角和也是360°. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的每一个角都是求出，再根据四边形的内角和等于进行计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵三角形是等边三角形， ， ． 2．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边形的内角和为，进行计算即可，掌握内角和的计算公式，是解题的关键． 【详解】解：正六边形的内角和是； 故选B． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，以四边形边长均大于的四个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的内角和等于的性质．根据平行四边形的内角和等于可知，图中阴影部分的面积正好等于一个圆的面积，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵平行四边形的边长均大于2，各弧的半径都是1，四边形的内角和为， ∴图中阴影部分的面积等于一个圆的面积， 即． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据多边形内角和公式可得出，解出n即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意可知：， 解得：， 则这个花坛应设计成七边形， 故选：A 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．边数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线条数等问题，熟知多边形外角和都为360度是解题的关键．根据多边形外角和一定为360度即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形去掉一个角后得到的多边形可能边数增加，也有可能边数减小，也有可能不变， ∴内角度数，内角和度数，对角线条数都可能会发生变化， 又∵多边形外角和度数都为360度， ∴外角和度数一定不会发生变化， 故选：D． 6．（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和定理，外角和定理列出方程，然后解方程即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 根据题意得：， 解得：， 故选：． 二、填空题 7．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 【答案】/五 【详解】解：设这个多边形的边数为，则有：， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 【答案】1080 【分析】根据多边形的外角和为求出多边形的边数，再利用多边形内角和定理计算内角和即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都等于， ∴多边形的边数为， ∴该多边形的内角和为． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 10．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，是五边形的4个外角，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，先求出相邻的外角为，由多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：， 与相邻的外角为， ， 故答案为． 知识点02 平行四边形及其性质 1. 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 真题汇编 1. 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 知识点03 图形的旋转 1.定义：在平面内，将一个图形上的所有点围绕某个点按某个方向旋转一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 3.旋转的性质 ①每组对应点到旋转中心的距离相等； ②两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角相等； ③对应角的大小相等，对应线段相等； 的长度 ④旋转后得到的图形与原图形形状和大小不变 4.中心对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转180后，和原图形重合，这个图形称为中心对称图形,这个定点叫做对称中心; 连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列四个图形中、属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念解答． 【详解】解： A．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项不符合题意； B．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项不符合题意； C．能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项符合题意； D．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 4．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，将绕点A逆时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，点C的对应点为E，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转得，再根据“直角三角形的两个锐角互余”求出，进而得出，再根据“等边对等角”及三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：根据旋转得， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 二、填空题 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为___. 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式及关于原点对称的点的坐标特征，利用判别式，求出的值是关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，判别式，得出关于的方程，求出的值，进而确定点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得， ∴ ∴点 则关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为_____．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的判断与性质等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作y轴的垂线，构造出全等三角形即可解答． 【详解】解：如图：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为D、E，    ∵，， ∴，，即， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∴ ∴点A的坐标为． 故答案为：． 7．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是，则顶点C的坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点A和点C关于原点对称是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对称中心是坐标原点，且点A的坐标是， ∴点C的坐标是：； 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，由旋转可证是等边三角形，进而判定，得到，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知，，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题 9．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，． (1)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格结构找出点绕点顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）分别求出的长，再相加即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求， （2）解：，，， 的周长． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知是的边上的高． (1)如图①，若，E是边上一点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．求证：； (2)如图②，若，过点C作，垂足为E，连接．求证； (3)如图③，利用直尺和圆规，分别在，上作点M，N，使，且．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据证明，即可得出答案； （2）过点D作，交于点F，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明； （3）以点D为圆心，为半径画弧，交于点G，延长，截取，连接，交于点N，以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，连接、，则点M，N即为所求． 【详解】（1）证明：∵是的边上的高， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点D作，交于点F，如图所示： ∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； （3）解：以点D为圆心，为半径画弧，交于点G，延长，截取，连接，交于点N，以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，连接、，则点M，N即为所求， 根据作图可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了基本作图，图形的旋转，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 11．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图1，若一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求、的坐标； (2)点为轴上的一点，当的面积为4时，求点的坐标； (3)如图2，是直线上的一个动点，将点绕点顺时针旋转，得到点，设点的横坐标为，求点的坐标（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)或； (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质． （1）分别将、代入计算即可； （2）设，则，根据“的面积为4”列方程求出n的值，进而可知点的坐标； （3）根据点的横坐标求出点的纵坐标，进而根据旋转的性质得到，，分情况根据全等三角形的判定和性质讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即； （2）解：设， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴ 即， 解得：或， 即或； （3）解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵将点绕点顺时针旋转，得到点， ∴，， 当点在点下方时， 如图，过点Q作轴交轴于点C，过点作轴交轴于点D，则， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当在点上方且在第一象限时， 当在第一象限、不在第一象限时， 如图，过点Q作轴交轴于点E，过点作轴交轴于点F， ∴，， 同理可得，， ∴， ∴； 当、均在第一象限时， 如图，过点Q作轴交轴于点G，过点作轴交轴于点H， ∴，， 同理可得，， ∴， ∴； 当在点上方且不在第一象限时， 如图，过点Q作轴交轴于点M，过点作轴交轴于点N， ∴，， 同理可得，， ∴， ∴； 综上所述，． 12．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 【答案】(1)点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)；． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）根据平行四边形性质可得，由点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； （）由题意得，，由上可知，，，然后通过即可求解； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合，根据动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为，即； （2）解：根据题意得：当时，点坐标为，， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴为中点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点坐标为，即， ∵， ∴； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合， ∵动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动， ∴， ∴， ∵一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束， ∴． 知识点04 平行四边形的判定 （1）平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）平行四边形的判定定理 定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据平行四边形的判定定理逐个证明即可． 【详解】解：当时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以C不符合题意； 当时，可得，由，可知，可得，则四边形是平行四边形，所以D不符合题意． 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵，∴， ∵，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 5．（2023·陕西西安·模拟预测）在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， A选项：已知，添加， 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B选项：， ， 添加， 只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：已知，添加， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四形，可知四边形是平行四边形， 故C选项符合题意； D选项：， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 二、解答题 6．（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，E、F分别是边、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据线段中点的定义可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，根据平行四边形的周长公式即可得四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：是中点，且， ， ， ∴是等边三角形， ， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，的对角线与相交于点，线段上的两点，满足，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形， （2）根据平行四边形的性质得到，，求得，推出平行四边形为矩形，得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 平行四边形为矩形， ， ， ． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②10 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据得到，然后证明，得到，即可证明其为平行四边形； （2）①证明出，由平行四边形得到，再由等腰三角形三线合一即可证明；②先由勾股定理求解，再由平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）①证明：在中，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ②解：在中，， 在中，， ． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，于点E，于点F，与相交于点G，连接，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的值； (3)若F是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质和平行线的判定与性质，掌握以上知识是解决本题的关键． （1）根据角的等量变换得到，再根据平行线的判定得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解； （2）通过平行和垂直的性质可得，再根据勾股定理可得，过点C作 ，然后分别证得和，然后设，根据即可求解； （3）根据中位线性质可得，再证明四边形是菱形，然后即可求解； 【详解】（1）证明：如图： ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AD // BC ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点C作 ，如图： ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴E为中点， ∵， ， ∴设，由， 得， 解得：， 即； （3）解：连接，，如图： ∵E为中点(已证)， F是中点， ∴， ∵F是中点，， ∴， 同理∵ E是 中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴； 11．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图 1，已知线段，用无刻度的直尺和圆规作． 以下是小颖同学的作法： 如图 2，先作的平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点 E，连接并延长，再以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接，则四边形为平行四边形． (1)小颖的作法是否正确？若正确，请给出证明． (2)在图 1 中作一个与小颖不同的方法的（保留作图痕迹，不需要证明）． (3)如图 3，在小颖同学的作法的条件下，连结，若 ，求四边形的面积． 【答案】(1)正确，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据等边对等角可得，即，可得；由作图过程可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据平行四边形的定义运用尺规作图即可； （3）如图，过点A作，过点E作，易证可得、，再证明四边形是矩形可得，易得，再运用勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：小颖的作法正确，证明如下： ∵的平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：如图所示； （3）解：如图，过点A作，过点E作， ∵ ， ∵， ， ， ， ∴， ，， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边对等角、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 知识点05 三角形的中位线 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 2. 三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3. 中点四边形：顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 任意四边形的中点四边形一定时平形四边形； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 根据中位线的性质得出，进而利用菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 连接，如图所示： ∵在菱形中，、分别是的中点， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，连接，根据题意得到是的中位线，即可得出结论，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形中，是中点，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可知，线段的长度是定值， ∴线段的长度是定值， ∴线段的长不变， 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．连接，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 利用三角形的中位线定理可以得到：，，，则的周长是的周长的2倍，据此即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是的边、的中点， ∴， 同理，，， ∴ ； ∵的周长为6， ∴的周长为． 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，菱形，矩形和正方形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，，依次是，，，的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则：， ∴四边形是菱形；故②正确； 当时，则：， ∴， ∴四边形是矩形；故③正确； 当，，则：，， ∴四边形是正方形；故④正确； 故选D 5．（24-25八年级上·四川绵阳·月考）在四边形中，，E，F分别是和的中点．若，，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线定理的知识，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵E，H分别是和的中点， ，， 同理可得：， ， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线，勾股定理，先根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，进而求出，由题意易证是的中位线，即可解答． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，要测量池塘边上，两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，连接，，并取，的中点，，连接．测出的长为米，则，两地的距离为（    ） A．20米 B．40米 C．10米 D．米 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，判断与的关系，进而求出的长度．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 ）是解题的关键． 【详解】解：∵ 是中点，是中点， ∴ 是的中位线， ∴ ， ∵ 米， ∴ 米， 故选：． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，D、E分别是的中点，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 由题意可得是的中位线，再由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，E、F分别是、的中点，若，则_________． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，由条件可知为的中位线，可求得，结合平行四边形的性质可得，可求得答案． 【详解】解：∵E、F分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：6． 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为______． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边的性质，解题的关键是了解三角形的中位线的性质和直角三角形斜边的性质．利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ， 故答案为：12． 11．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，中，D是边的中点，平分，于点E，已知，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，先根据证明，即可得到，，然后根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 12．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，三角形中位线定理，掌握相关性质和定理是解题关键．由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，，由三角形中位线定理，得到，即可求出的周长． 【详解】解：， ， 在和中，点、分别是、的中点，，， ，， 是的中位线，， ， 的周长为， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，在中，，点分别是的中点．延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，即得，由三角形中位线的性质可得，进而得到，即可求证； （）利用三角形中位线和矩形的性质可得四边形是平行四边形，，即得，得到，再根据角平分线的定义可得，即可得，由等腰三角形的性质得，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 14．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 15．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【答案】【三角形中位线定理】，；【应用】；【拓展】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]证明：取的中点，连接、．   、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 16．（24-25八年级下·浙江·月考）已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）． 拓展： (1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． (2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）． (3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查中位线的性质定理以及勾股定理，熟练掌握中位线的性质，添加辅助线构造中位线，是解题的关键． （1）根据中位线的判定和性质得出是的中位线，，，再由平行线的性质及各角之间的关系进行等量代换即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，，即可证明是等腰三角形． （3）取的中点G，连接，利用中位线的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵G、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是等腰三角形； 证明：如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）取的中点G，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 知识点06 反证法 在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫反证法。真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于， 故选： D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于”时，应先假设这个三角形中（   ） A．内角都不小于 B．锐角都不大于 C．内角都小于 D．锐角都大于 【答案】C 【分析】本题考查反证法的应用，反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设其反面成立，原命题为“在三角形中，至少有一个内角不小于”，其反面应为“在三角形，中所有内角都小于”。 【详解】解：原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于”的否定是“在三角形中，所有内角都小于”，因此应先假设这个三角形中内角都小于． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中____________． 【答案】最多有一个钝角 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”，应先假设三角形的三个外角中最多有一个钝角， 故答案为：最多有一个钝角． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设___________． 【答案】每个内角都小于 【分析】本题主要考查了反证法中的假设，反证法中第一步应假设原结论不成立，据此可得答案． 【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设个内角都小于， 故答案为：个内角都小于． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $