2025-2026学年浙教版八年级数学下册期末复习专题：几何中最值问题研究

同类型题型 2025学年八年级第二学期期末复习专题： 几何中最值问题研究 1.如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　) A. B. C. D. 2.综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；②的最大值为24； ③的最小值为16；④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图，在平行四边形ABCD，∠B＝60°，AB＝2，点H、G分别是边DC、BC上的动点，连接AH、HG，点E，F分别为AH，GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 4.如图，已知点，，，，C为直线EF上一动点，则的对角线CD的最小值是________． 5.如图，正方形ABCD的边长为4，点G是边AD的中点，点E是边CD上的动点，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接GF．当GF最小时，CE的长为　 　 ． 6.如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是________． 7.如图，在矩形中，，点M为边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为______°． 8.如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为______． 9.如图，正方形边长为4，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为______． 10.如图，已知菱形ABCD的面积为，，点P，Q分别是在边BC，CD上（不与C点重合），且CP＝CQ，连结DP，AQ，则DP+AQ的最小值为 　 　 ． 11.如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是______ 12.如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　 　． 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A． B．4 C． D．5 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　_________　． 15.在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　_________　． 16.（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 17.小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一条筝形的性质： ；（除定义外） 推理验证 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进行推理验证： 任务二： 如图，筝形中，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中， ，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为__________． 拓展推广 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分，不另外加分． 任务五： 如图，在筝形，若，求证： 任务六： 如图，四边形中，，，，点是的中点，，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同类型题型 2025学年八年级第二学期期末复习专题： 几何中最 值问题研究 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,BC=5,点P为BC边上任意一点， 连接PA,将PA沿BC方向平移至CQ,连接AQ、PQ,则当PQ取得最小值时，BP的 长为()》 4 8.10 c. 2 5 D.2 3 【答案】C 【详解】解：∠BAC=90°，AB=3,BC=5, ∴.AC=VBC2-AB2=4, 四边形APCQ是平行四边形， .P0=Q0,C0=A0, ·PQ最短也就是PO最短， ∴.过O作BC的垂线OP',垂足为P,连接BO, “垂线段最短， .当点P在点P处时，PO最小，即PQ最小， .'∠CP'O=∠CAB=90°， :S△AB0=S△BOc, 即BCxOP'=ABxA0, 2 C0=A0=2,BC=5,AB=3, 1 同类型题型 09 ÷则PQ的最小值为20P-12 =2.4, ∴.Cp'=V0C2-0p =2-3) 6 BP'=BC-CP=5-8=17 55 17 .当PQ取得最小值时，BP的长为 5 故选：C. 2.综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小宁同学准备了一张长方形纸片 ABCD,AB=24,BC=20,他在边BC上取中点N,又在边AB上任取一点M,再 将△BMN沿MN折叠得到△B'MN,连结AB,小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点M在边AB上运动时，点B在以N为圆心的圆弧上运动；②AB的最大值为24； ③4B的最小值为16；④AB达到最小值时，BM=20 .上述结论中正确的个数是( 3 ) M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：如图1，连接AN, D 4 M B 图1 .'将△BN沿N折叠得到△B'N, .BN NB', ,点N为BC的中点，BC=20, 同类型题型 BN=CN=NB'=10. ∴.当点M在边AB上运动时，点B在以N为圆心的圆弧上运动， 故①正确； 在Rt△ABN中，AN=VBN2+AB2=V102+242=26, AB≥AN-NB, .AB≥16， .AB的最小值为16， 故③正确； :AB≤AM+MB',且M在AB上， .AB≤AB=24, ∴.AB的最大值为24， 故②正确； 如图2， D M 图2 当A、B、N共线时，AB值最小，最小为AB=16; .∠AB'M=90°， 设BM=x,则B'M=BM=x,AM=24-x, 在直角三角形ABM中，由勾股定理得：B'M2+AB2=AM2, .x2+162=(24-x2, 解得：x=20 3 即BM=20 , 故④正确， 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D 3 同类型题型 3.如图，在平行四边形ABCD,∠B=60°，AB=2,点H、G分别是边DC、BC上的动点， 连接AH、HG,点E,F分别为AH,GH的中点，连接EF,则EF的最小值为() A D H B G A.1 B. D.5 【解答】解：连接AG,过A作AM LBC于M, A B MG :∠B=60°， ∴.∠BAM=90°-60°=30°， MB=AB=专×2=1， AM=3MB=3 AG≥AM, 4G≥5， E为AH的中点，点F为GH的中点， .EF是△AHG的中位线， ∴EF=AG, ∴EF≥号， 的最小色是9。 故选：C. 4.如图，已知点A0,8),B(0,-2),E(0,5),F(-5,0),C为直线F上一动点，则 口ACBD的对角线CD的最小值是 同类型题型 -2 【答案】2√2 【详解】解：连接CD,设CD,AB交于点G,如图所示， G -2 :四边形ABCD是平行四边形， CG=GD,AG=GB, :A0,8),B(0,-2 .G0,3 ∴.当CG取得最小值时，CD取得最小值， ∴.当CG⊥EF时，CG取得最小值， E(0,5),F(-5,0), ∴.0E=0F,EG=2, ∴.△OEF是等腰直角三角形， ∴.此时△CGE是直角三角形，且EG是斜边， EG=2, CG=2, ∴.口ACBD的对角线CD的最小值是22， 同类型题型 故答案为：2√2. 5.如图，正方形ABCD的边长为4，点G是边AD的中点，点E是边CD上的动点，连接BE ,将△BCE沿BE翻折得到△BFE,连接GF.当GF最小时，CE的长为25-2· E 【解答】解：：正方形ABCD的边长为4， ∴.∠C=∠A=90°，AB=AD=BC=4, 点G是边AD的中点， ..AG=DG=2, 连接BG, G F E .BG=VAB2+AG2=42+22=2V5, ,将△BCE沿BE翻折得到△BFE, .∴.BF=BC=4, GF≥BG-BF, .当点G、F、B三点共线时，GF最小， 连接EG,设DE=x,则CE=EF=4-x, y G D F B 6 同类型题型 ,S梯形CBGD=S△EDG+S△BCES△EBG； ∴×(2+4)×4=吉×2x+吉×4×(4-)+吉×2V5×(4-x), 解得x=6-25, ∴.CE=4-(6-2W5)=25-2. 故答案为：25-2. 6.如图，在平行四边形ABCD中，AD=3,∠A=60°，E是边DC延长线上一点，连接 BE,以BE为边作等边三角形BEF,连接FC,则FC的最小值是 【答案】35 2 【详解】解：延长AB,DE,在AB的延长线上截取BG=BC,连接EG,过点G作 GH⊥DC于点H,过点C作CM⊥DC交AB的延长线于点M,如图所示： G_ B HE :四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC,AB∥CD,BC=AD=3, :AD∥BC, .∠CBM=∠A=60°， CM⊥CD, .∠DCM=90°， :AB∥CD, .∠CMB=180°-∠DCM=90°， .∠BCM=30°， 7 同类型题型 BM=BC CM =BC BM33 2 :GH⊥DC,CM⊥DC, .CM∥GH, :AB∥CD, .四边形CMGH为平行四边形， ∴.GH=CM= 35 :△BEF为等边三角形， ∠EBF=60°，BE=BF, .∠EBF=∠CBG=60°， .∠CBF=∠GBE, BC=BG, .ACBF≌AGBE(SAS), :CF=GE, .当GE最小时，CF最小， “垂线段最短， :当点E与点H重合时，GE最小，此时CF=3V5 2 :FC最小值为35， 故答案为： 3W5 7.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M为边BC上的一个动点，线段AM绕点A 逆时针旋转60°得到线段AN,连接N,DN.当线段DN的长度最小时，∠MND的 度数为。 同类型题型 N B M 【答案】75 【详解】解：线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接EN交AD于点G,连 接DN,如图所示： N G D 、、 E AB=AE,∠BAE=60°， :线段AM绕点A逆时针旋转60°得到线段AN, .AM=AN,∠MAN=60°， :∠BAM=∠BAE-∠MAE=60°-∠MAE=∠EAN, ·△ABM≌△AEN(SAS, :∠AEN=∠B=90°， 则当DN⊥EN时，DN长度最小， 设EG=a,AD=2b,则AB=AE=b, :∠BAE=60°， ∴.∠EAG=30°， ∴.AG=2EG=2a, ∴.DG=AD-AG=2b-2a, ∠AGE=90°-∠EAG=60°， ∴.∠NGD=∠AGE=60°， ∴.∠NDG=30°， NG--DG-b-a. .EN=EG+NG=a+b-a=b, 同类型题型 ·△AEN是等腰三角形， ∴.∠ANE=45°， :AM=AN,∠MAN=60°， :△AMN是等边三角形， .∠ANM=60°， ∴.∠ENM=60°-45°=15°， :DN⊥EN,即∠END=90°， ∴.∠MND=∠END-∠ENM=90°-15°=75°， 故答案为：75 8.如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=3,M、N分别为边 CD,AB上的动点，且始终保持MN⊥AE,则AM+NE的最小值为 D M B E 【答案】25 【详解】解：过D作DH∥MN交AB于H,过M作MG∥NE,过E作EG∥MN交 MG于G,连接AG,则四边形NEGM是平行四边形，DH∥MN∥EG, H G B E ∴.MG=NE,EG=MN, ∴.AM+NE=AM+MG≥AG,当A、M、G共线时取等号，即最小值为AG的长， .四边形ABCD是正方形，AB=3BE=3, ∴.∠ABC=∠BAD=90°，AB∥CD,BE=1,AB=AD=3, 10 同类型题型 AE =4B2+BE2=10, ,MN⊥AE,DH∥MN∥EG, ∴.∠AEG=90°，∠BAE=∠ADH=90°-∠EAD, 在Rt△ABE和Rt△DAH中， [∠ABE=∠DAH=90° AB=DH ∠BAE=∠ADH ∴.Rt△ABE≌RtADAH(ASA, .DH AE =10. .DH∥MN,HN∥DM, ∴.四边形DHNM是平行四边形， :EG=MIN=DH=10. 在Rt△AEG,AG=√AE2+EG=V⑩+(Vio=2W5, 即AM+EN的最小值为2√5， 故答案为：2√5 9.如图，正方形ABCD边长为4，已知点P是线段AB上的一个动点（点P与点A不重合）， 作CQ⊥DP交AD于点Q,现以PQ,CQ为邻边构造平行四边形PECQ,连结BE,则 CE的最小值为. D 【答案】22 【详解】解：如图，过点E作EH⊥AB,交AB的延长线于点H,延长DC,BE交于点 E', 11 同类型题型 D E B 四边形PECQ是平行四边形， .QC=PE,QC∥PE,∠PQC=∠PEC, ∴.∠BEP+∠PQC=∠PEC+∠BEP=∠BEC, 四边形ABCD正方形， .AD=CD=AB,∠DAB=∠CDA=90°， CQ⊥DP, .∠DCQ+∠CDP=90°=∠CDP+∠ADP, ∴.∠ADP=∠DCQ, △ADP≌△DCQ(ASA), ..Co=DP, :PE DP CQ⊥DP,QC∥PE, DP⊥PE, .∠APD+∠EPH=90°=∠APD+∠ADP, LADP=∠EPH, 又：∠DAP=∠EHP=90°， △ADP≌△HPE(AAS), .AP=EH,PH=AD, :AD AB=PH, :BH =AP =EH :∠EBH=45°， ∴.点E在∠CBH的角平分线上运动， :CE的最小值为CB.sin45°=4xV =22. 12 同类型题型 故答案为：2√2. 10.如图，已知菱形ABCD的面积为2√5，AB=√5，点P,Q分别是在边BC,CD上（不 与C点重合)，且CP=CQ,连结DP,AQ,则DP+AQ的最小值为一V21一 子 P 【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M,延长AM到点A',使A'M=AM, ,四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=5,∠ABC=∠ADC, :菱形ABCD的面积为25，AB=√5， ∴.AM=2, 在Rt△ABM中，根据勾股定理得： BM=AB2-AM2 =1, 以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系， y本 B M A B(0,0),A(1,2),C(5,0),D(5+1,2),4(1,-2), 13 同类型题型 .PC=CO,BC=CD, ∴BP=DO, 在△ABP和△ADO中， (AB=AD ∠ABC=∠ADC BP=DQ ∴.△ABP≌△AD0(SAS), ∴.AP=AQ=A'P, 连接A'D,AP,A'P, .A'P+PD>A'D, A',P,D三点共线时，PD+A'P取最小值， ∴.PD+AQ的最小值=PD+A'P的最小值=A'D +2+2=2 故答案为：V21 11.如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4,∠A=60°，E为AB的中点，F为 EC上一动点，G为BF中点，连接GD,则GD的最小值是 B G E 【答案】2 【详解】解：如图，取BE的中点H,连接GH, B :G为BF中点， ∴.GH为△BEF的中位线， ∴.GH∥EC, .点G在射线HG上运动， 当DG⊥HG时，DG的值最小，如图， 14 同类型题型 B & 设DG与CE相交于点M, AD=4,E为AB的中点， .AE DE=2, AB=2, .AB AE, 又∠A=60°， .△ABE为等边三角形， ∴.BE=AE=2,∠AEB=60°， HE-BE-1, ,四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=2,AB∥CD, .ED=CD=2,∠ADC=180°-∠A=120°， ∴.∠DEC=∠DCE=30°， ∴.∠HEM=180°-60°-30°=90°， .GH∥EC,DG⊥HG, ∴.DG⊥EC,∠HGM=90°， ∠EMG=90°，DM=ED=1. .四边形HEMG是矩形， ∴.GM=HE=1, .∴.DG=DM+GM=1+1=2, ∴.GD的最小值是2， 故答案为：2. 12.如图：菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点， 则PE+PB的最小值是 15 同类型题型 B 【解答】解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值. 过点E作PE⊥AB,交AC于P,则PA=PB. ∠B=1209 .∠CAB=30 .'.PA=2EP AB=2,E是AB的中点 ∴.AE=1 在Rt△APE中，PA2-PE2=1 w942g 3 ∴.PE+PB=PE+PA=√3. 故答案为√3. o B 13.如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是() D 16 同类型题型 A号 B.4 c.24 D.5 5 【解答】答案：C 如图，过点C作CMLAB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ LAC于点Q, AD是∠BAC的平分线 ,∴PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ,AC=6,BC=8,∠ACB=90°， O D AB=AC2+BC2=J62+82=10 SABC-号ABCM=号ACBC, .:CM=AC,BC=6×8=24 B AB105 14.如 即FC+PQ的最小值为24 图，在 Rt△ 故选：C ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1,将△ABC沿直线AD翻折，使点 C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 D 【解答】答案：1+√3 17 同类型题型 连接CE,交AD于M, ·,沿AD折叠C和E重合， ∠ACD=∠AED=90°，AC=AE,∠CAD=∠EAD ∴.AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称，CD=DE=1, .当F和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=B C+BE, ∠DEA=90° .∠DEB=90° ∠B=60°，DE=1, BE-50-子5 即BC=1+号5， :△PEB的周长的最小值是BC+BE=1+号5+5=1+5】 DP) 15.在锐角三角形ABC中，BC=4V2,∠ABC=45°，BD平分∠ABC,M、N分别是BD、 BC上的动点，则CM+MN的最小值是 A M B 【解答】答案：3 18 同类型题型 过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作IN⊥BC于N”,则CE即为CM+MN的最小值， :BC=32,∠ABC=45°，BD平分∠ABC, A MD ∴.△BCE是等腰直角三角形， CE=B0cos45°=32x5=3. 2 .CM+MN的最小值为3. 故答案为：3. 19 同类型题型 16.(1)【问题探究】如图1，已知AD是ABC的中线，延长AD至点E,使得 DE=AD.连结BE,CE,求证：四边形ABEC是平行四边形. (2)【拓展提升】如图2，在ABC的中线AD上任取一点M(不与点A、点D重合)， 过点M、点C分别作ME∥AB,CE∥AD,连结AE,BM,求证：四边形ABME是 平行四边形. (3)【灵活应用】如图3，在ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=12,点D是BC的 中点，点M是直线AD上的动点，且ME∥AB,CE∥AD,当ME+MC取得最小值 时，求线段CE的长度， D (图1) (图2) (图3) 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CE=32 【详解】(1)证明：：AD是△ABC的中线， .BD=CD, :DE=AD, ∴.四边形ABEC是平行四边形； (2)证明：延长AD到点F,使DF=AD,连接CF,如图2， 图2 :AD是△ABC的中线， .BD=CD, 在AADB和△FDC中， AD=DF ∠ADB=∠FDC BD=DC 20 同类型题型 .△ADB≌△FDC(SAS), ∴.CF=BA,∠DCF=∠ABD, .AB∥CF, .AB∥ME, ∴.ME∥CF, .·CE∥MF, ∴.四边形CEMF是平行四边形， ∴.ME=CF, :ME AB, ∴.四边形ABME是平行四边形 (3)解：延长AD到点F,使DF=AD,连接CF,如图3， 图3 由(2)知，ME=AB=8,CE=MF, 则ME+MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小， :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD=6, ·AD=VAB2+BD2=10, S.DC =ADxCM =CDx4B 1 .∴.CM= AB×CD8×624 AD 105 .CE=MF=32 17.小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形， 学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义， 21 同类型题型 并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进 行探索 特殊四边形（筝形）的探究学习单 D 定义： 四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC,像这 样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”· B 观察猜想 任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形 有一组对角应该是相等的.进一步观察后，发现 这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一 条筝形的性质： (除定义外) 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进 D 行推理验证： 推理验证 任务二： 如图，筝形ABCD中，AD=DC,AB=BC, 求证：∠A=∠C. 任务三： D 如图，筝形ABCD中，AD=DC=√2， ∠ADC=90°，∠DAB=105°，求筝形ABCD的 面积. 性质应用 B 任务四： 如图，在ABC中，∠A=80°，∠B=40°，点 D、E分别是边BC,AB上的动点，当四边形 AEDC为筝形时，请直接与出∠BDE的度数为 B 22 同类型题型 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值 分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力 自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分， 不另外加分， 任务五： B 如图，在筝形ABCD,AD=CD,AB=BC,若 拓展推广 ∠ADC=60°，∠ABC=30°，求证： BD2=2AB2 任务六： D 如图，四边形ABCD中，AB=6,BC=16, CD=26,点N是BC的中点，∠AND=120°， 求AD的最大值. B N C 【答案】任务一：筝形的两条对角线互相垂直；任务二：见解析：任务三：1+√3；任务四： ∠BDE的度数为100°或20°；理由见解析；任务五：见解析；任务六：40 【详解】解：任务一：连接AC,BD, D AD=CD,AB=BC, ,.BD是AC的垂直平分线， ∴.筝形的两条对角线互相垂直；（答案不唯一）； 任务二：如图，连接DB, 23 同类型题型 D 在△ABD和△CBD中， AD=CD AB=CB BD=BD AADB≌△CDB(SSS), ∴.∠A=∠C; 任务三：：LADC=90°，AD=CD=V2, ∴.△ACD是等腰直角三角形， .AC=AD2+DC2=2AD=2, ,四边形ABCD为筝形， .∠DAB=∠DCB=105°， .△ADC是等腰直角三角形， ∴.∠DAC=∠DCA=45°， .∠BAC=∠BCA=60°， ∴△ABC是等边三角形， AD=CD,AB=BC, :BD是AC的中垂线， .BD⊥AC, ∴.AO=CO=1,∠AB0=30°， 0B=√AB2-A02=√22-12=3， 5w=5c+5c-号40-CD+4C-0B-×2x5+分x2x5=1+5: 1 任务四：∠BDE的度数为100°或20°；理由如下： 当四边形AEDC为筝形时，分两种情况讨论： 24 同类型题型 ①如图，当AC=DC,AE=DE时， D :∠BAC=80°，∠B=40°， :∠ACD=∠ADC=60°， .△ACD是等边三角形， ∴.∠DAE=20°， 同上理得：EC垂直平分AD, :AE DE, :∠DAE=∠EDA=20°， :∠BDE=180°-20°-60°=100°； ②如图，当AC=AE,CD=ED时， E B D LAEC=LACE=50°， :∠BAC=80°，∠B=40°， ∠ACD=∠ADC=60°， ·LDCE=LDEC=LACD-LACE=60°-50°=10°， :∠BDE=∠DCE+∠DEC=10°+10°=20°， 综上可知，∠BDE的度数为100°或20°： 任务五：证明：如图，将CB绕点C顺时针旋转60度至CE,连接BE, B 60° E .BC=CE, 25 同类型题型 .∠BCE=60°， .△BCE为等边三角形， ∴.∠CBE=60°，BC=BE ,AD=CD,∠ADC=60°， .△CAD为等边三角形， .CA=CD,∠ACD=60°， ∴.∠ACD=∠BCE, .△DCB≌△ACE .△DBC≌△AEC, :BD AE, 又∠ABC=30°， ∴.∠ABE=90°， :△ABE为直角三角形， .AE2=BA2+BE2, .BA =BC=BE,BD=AE .BD2 AE2=AB2+BE2 =2AB2 .2AB2=BD2; 任务六：如图，将△ABN沿着AN翻折得到△AEWN,将△DCN沿着DN翻折得到 △DFN,连接EF, D B .AB=AE=6,DC=DF=26, 点N是BC的中点， ∴.BN=EN=CN=FN=8,∠BNA=∠ANE,∠CND=∠FND, .∠AND=120°， .LANB+LDNC=60°， .∠ANE+∠DNF=60°， 26 同类型题型 .∠ENF=∠AND-∠ANE+∠DNF)=60°， EN FN ∴.△EFN为等边三角形， .EF=8, 当AE,EF,FD三条线段共线时，AD有最大值=6+8+26=40， 故答案为：40. 27