4.3 平行线的性质 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

七年级下册数学（新湘教版） 第4章 平面内的两条直线 4.3 平行线的性质 预习 1. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？ (2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？ (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？ 2 3 E 1 4 A B D C 解：(1) ∠2 = 110°. 两直线平行，内错角相等. （2）∠3 = 110°. 两直线平行，同位角相等. （3）∠4 = 70°. 两直线平行，同旁内角互补. 2. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行. 若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C 是多少度？为什么？ 解：∠C = 142°. 两直线平行，内错角相等. B C 在前面，我们学习了两条直线被第三条直线所截，产生了8个角(简称三线八角). 可以指出哪些是同位角、内错角、同旁内角吗? 如图，已知AB∥CD. (1) 图中有几对同位角？ (2) 比较其中一对同位角的大小，由此你能猜想出什么结论？ 猜想：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等． 4 对. ∠END=73° ∠EMB=73° E 73° 73° a b d 再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？ 如图，设 AB//CD，直线EF 与 直线AB，CD 分别相交于 M，N 两点．则∠EMB和∠END是一对同位角，分别记为∠α和∠β. 猜想：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等． 将直线AB平移,移动方向为点M 到点N 的方向,移动距离等于线段MN的长度. 则点M的像是 , 射线ME的像是 . 直线AB的像是 , 从而射线MB的像是 . 于是 的像是 , 所以 . 点N 射线NE 直线CD 射线ND 如果两直线不平行，同位角相等吗？ 平行线具有如下性质： 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c 所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）. 因为 a∥b（已知）， 应用格式: 知识要点 例1：小明在纸上画了一个角∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他设计出多少种方法可以测出∠A的度数？ D C E F A A H G 1 2 两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的大小有什么关系？ 如图，已知AB∥CD，那么∠1与∠2相等吗? 因为 AB∥CD， 所以∠1 =∠4（两直线平行，同位角相等）. 又因为∠2 ＝∠4 （对顶角相等）， 所以∠1 ＝∠2 （等量代换）. 一般地，平行线具有如下性质： 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c 所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）. 因为 a∥b（已知）， 应用格式: 知识要点 例1 如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD，∠1＝100°，试求∠3 的度数. 解：因为 AB∥CD， 所以∠1＝∠2＝100° (两直线平行，同位角相等). 又因为∠2 +∠3＝180°， 所以∠3＝180°－∠2 ＝180°－100°＝80°. 典例精析 B 3 1 A 2 C D E F 如图，已知 a∥b ，那么 2 与3 相等吗？ 为什么? 解：∠2 =∠3. 理由如下： 因为 a∥b(已知)， 所以∠1 =∠2(两直线平行，同位角相等). 又因为∠1 =∠3(对顶角相等)， 所以∠2 =∠3(等量代换). b 1 2 a c 3 思考：已知两直线平行，同位角相等， 那么能否得到内错角之间的数量关系？ 二、平行线的性质 2 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 所以 ∠2 =∠3 （两直线平行，内错角相等） 因为 a∥b（已知）， 应用格式： b 1 2 a c 3 知识要点 b 1 2 a c 3 因为 a∥b (已知)， 所以 1 = 2 (两直线平行，同位角相等). 因为 1 +3 = 180° (平角的定义)， 所以 2 +3 = 180° (等量代换). 思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 三、平行线的性质 3 如图，已知 a∥b，那么2 与4 有什么关系呢？为什么? 解：2 +3 = 180°. 理由如下： 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. b 1 2 a c 4 所以∠2 +∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 因为 a∥b (已知)， 应用格式： 知识要点 例2 如图，AD∥BC，∠B＝∠D，试问∠A 与∠C 相等吗? 为什么? 解：因为 AD∥BC， 所以根据平行线的性质3 可得： ∠A +∠B = 180°，∠D +∠C = 180°. 又因为∠B =∠D(已知)， 所以∠A =∠C. A B C D 例3 小明在纸上画了一个∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分．如果不能延长 DC、FE 的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A 的度数吗？ D C E F A A H G 1 2 解：过点 E 向右作 EF∥AB． 则∠B =∠BEF． 因为 AB∥CD， 所以 EF∥CD． 所以∠D =∠DEF． 所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED， 即∠B＋∠D＝∠BED． 例4 如图，若 AB∥CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的等量关系吗？说说你的看法． B D C E A F 如图，AB∥CD，探索∠B、∠D 与∠DEB 之间的等量关系 . 变式1 解：过点 E 向左作 EF∥AB． 则∠B＋∠BEF＝180°． 因为 AB∥CD， 所以 EF∥CD． 所以∠D＋∠DEF＝180°． 所以∠B＋∠D＋∠DEB ＝∠B＋∠D＋∠BEF＋∠DEF＝360°． F B D C E A 变式2 如图所示，AB∥CD，则 C A B D E A C D B E2 E1 当有一个拐点时：∠A +∠E +∠C = 360° 当有两个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠E3 +∠C = 720° A B C D E1 E2 E3 … A B C D E1 E2 En 当有 n 个拐点时： ∠A + ∠ E1 + ∠ E2 +…+ ∠ En + ∠C = 180°(n + 1) 若有 n 个拐点，你能找到规律吗？ 变式3 如图，若 AB∥CD， 则 A B C D E 当左边两个角，右边一个角时：∠A +∠C =∠E 当左边两个角，右边两个角时：∠A +∠F =∠E +∠D C A B D E F E1 C A B D E2 F1 当左边三个角，右边两个角时：∠A +∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2 1. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么（ ） A. 内错角相等 B. 同位角相等 C. 同旁内角互补 D. 以上都不对 D 解：因为 AB∥DE ( )， 所以∠A =_______ ( ). 因为 AC∥DF ( ) ， 所以∠D =______ ( ). 所以∠A =∠D ( ). 2. (1) 如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. P F C E B A D 图 1 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 等量代换 解：因为 AB∥DE ( )， 所以∠A = ______ ( ). 因为 AC∥DF ( ) ， 所以∠D + _______= 180° ( ). 所以∠A +∠D = 180° ( ). (2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. 图2 F C E B A D P 已知 ∠CPD 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 课堂小结 平行线的性质： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补. $