第六章 平行四边形【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第六章 平行四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 (等腰)梯形的定义 题型五 等腰梯形的性质定理 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 判断能否构成平行四边形 题型八 添一个条件成为平行四边形 题型九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型十 证明四边形是平行四边形 题型十一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十二 利用平行四边形性质和判定证明 题型十三 平行四边形性质和判定的应用 题型十四 与三角形中位线有关的求解问题 题型十五 与三角形中位线有关的证明 题型十六 三角形中位线的实际应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点四 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点五 梯形问题的辅助线作法 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点六 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点七 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点八 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的性质求解 【例1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，中，过对角线的交点O，如果，，，则四边形的周长为________． 【答案】 【思路引导】利用平行四边形的性质得到相应条件，证明，再根据全等三角形的性质，得到 ，，再根据 求解即可． 【规范解答】解：根据平行四边形的性质，得，， ， 又， ， ，， ， ，， 四边形的周长为： ． 【变式】（25-26八年级下·天津红桥·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)的值为2或4 【思路引导】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可； （2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得； 当时， ， ∴， 解得； 综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 题型讲练二 利用平行四边形的性质证明 【例2】如图，在平行四边形中，对角线，与相交于点O，点M、N分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质，，，平行线的性质可得出，结合线段中点的定义可得出，然后根据证明即可； （2）根据三线合一的性质得出，由（1）中得出，根据勾股定理求出，最后根据线段中点定义和平行四边形的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵点M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， 又，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又M是的中点， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，在中，分别以，，为斜边作等腰直角三角形，得到，，． (1)如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接，．试判断：（   ）．（填“＞”“＜”或“=”） (2)如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接，．（1）中的结论还成立吗？给出结论，并写出证明过程． 【答案】(1) (2)成立，，见解析 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等腰直角三角形的性质可得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据平行四边形的性质得出，，根据等腰直角三角形的性质可得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明． 【规范解答】（1），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， 故以，为斜边所作的等腰直角，是全等三角形， ∴， ∵， ， 故， ∵在和中， ， ∴， ∴． （2）解：成立，， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， 故以，为斜边所作的等腰直角，是全等三角形， ∴， ∵， ， 故， 在和中， ， ∴， ∴． 题型讲练三 平行四边形性质的其他应用 【例3】如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 (1)在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； (2)在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）做出平行四边形的一条对角线即可； （2）先确定对角线的交点O，然后再作过O、E的直线即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段AC（或BD）即为所示． （2）解：如图所示，直线OE即为所示． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 【变式】小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究． 【问题探究】 如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中找一点D，画线段且使，连接； (2)在括号内填写根据： ∵且CD＝BA， ∴四边形是平行四边形（____________） 【拓展延伸】 (3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？ 【答案】(1)见解析 (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (3)经过1秒或秒或3秒，直线PQ将四边形截出一个平行四边形 【思路引导】（1）根据相关要求作图即可； （2）直接运用平行线四边形的判定性质即可解答； （3）经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，根据平行四边形的判定分情况分析求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：由平行四边形的判定定理可得判定四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （3）解：经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，则： 米，米，米，米， ∵， ∴只需或或或，即得四边形是平行四边形． ①由，得：，解得： ； ②由，得：，解得：，不合题意，舍去； ③由，得：，解得：； ④由，得：，解得：． 答：经过1秒或秒或3秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【考点剖析】本题主要考查了作平行四边形、平行四边形的判定等知识点，掌握平行四边形的判定定理是解答本题的关键． 题型讲练四 (等腰)梯形的定义 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【思路引导】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 【变式】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当时，____________． 【答案】或13/13或4 【思路引导】本题考查一元二次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段未进入正方形内部时，②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，③当点C在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，共六种情况讨论列出方程或推导即可得解． 【规范解答】解：标记和作图如下，其中于，四边形是直角梯形，四边形是正方形： 依题意可知，厘米，厘米，厘米， ∴厘米， ∴(平方厘米)，(平方厘米) ①当线段未进入正方形内部时，厘米，即， ∴， 此时重合部分是，平方厘米， 即此时无解， ②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，厘米，，即， ∴， 则重合部分是直角梯形，厘米， ∴， 解得：； ③当点C在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，厘米，即，厘米 ∴， 此时重合部分是五边形，平方厘米， 即此时无解， ④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，厘米，厘米，，即， ∴， 则重合部分是五边形，厘米， ∴(平方厘米)， 解此时无解； ⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，厘米，，即， ∴， 则重合部分是长方形，厘米， ∴， 解得：； ⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，厘米，，即， ∴， 则此时重叠部分为线段或无重叠，无解， 综上所述：或13． 故答案为：或13． 题型讲练五 等腰梯形的性质定理 【例5】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 【答案】10 【思路引导】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【规范解答】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 【变式】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【思路引导】设梯形腰长为，根据等腰梯形性质及求出各边长及周长；根据的运动方向确定第一次相遇时的路程和，结合速度比求出第一次相遇位置；利用周期性规律计算第次相遇位置． 【规范解答】设 ∵ 四边形是等腰梯形， ∴ ∴ 梯形周长 ∵， ， ∵ 点依逆时针方向环行，点依顺时针方向环行 ∴ 点从向运动，点从向运动 第一次相遇时，两点路程之和为， ∵ 点与点的速度之比为2:3 ∴ 第一次相遇时，点的路程为 ∵ ∴ 第一次相遇在点 此后每次相遇，两点路程之和增加一个周长点每次相遇增加的路程为，第2026次相遇时，点的总路程 ∵， ∴ 点的位置与第一次相遇位置相同，即在点． 题型讲练六 数图形中平行四边形的个数 【例6】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【思路引导】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【规范解答】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【思路引导】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 题型讲练七 判断能否构成平行四边形 【例7】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 【答案】D 【思路引导】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【规范解答】解：A、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵， ∴四边形是梯形或平行四边形，故此选项符合题意． 【变式】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，利用勾股定理证得对角线互相平分是解题的关键． 利用勾股定理得出的长度，可发现四边形对角线互相平分，可证四边形为平行四边形，利用平行四边形公式计算面积即可． 【规范解答】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵， ∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 题型讲练八 添一个条件成为平行四边形 【例8】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 【答案】D 【规范解答】解：A、 ∵ ，即两组对边分别相等， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B 、∵ ，即两组对边分别平行， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C 、∵ ，即对角线互相平分， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D 、∵ ， ∴ 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故此选项符合题意． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在的网格线中，已知、、、是格点，是与网格线的交点仅用无刻度的直尺完成下列作图画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（每个任务的画线不得超过三条） (1)在图中，先画，再在上画点，使； (2)在图中，作点关于的对称点； (3)在图中，分别在、上找点、，连接、，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据平行四边形的判定定理即可得点的位置，再根据平行四边形为中心对称图形，即可确定点； （2）取点关于的对称点，连接，取与网格线的交点，则点即为所求； （3）在点下方取格点，过点作的平行线，取与网格线的交点，连接并延长，交于点，交于点，则点，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． 连接，相交于点，连接并延长交于点， 则点即为所求． （2）解：如图，取点关于的对称点，连接，取与网格线的交点， 则点即为所求． （3）解：如图，在点下方取格点，过点作的平行线，取与网格线的交点，连接并延长，交于点，交于点， 此时，为最小值， 则点，即为所求． 题型讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例9】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： (1)将先向右平移8个单位，再向下平移2个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点旋转得到，作出； (3)若以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据图形的平移方法作图，然后读出点的坐标即可； （2）根据旋转图形的作法作图即可； （3）利用平行四边形的性质作图，读出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，四边形为平行四边形， ． 【变式】（25-26八年级下·山东日照·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【答案】 【思路引导】分三种情况讨论：以分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由中点坐标公式列方程求解；以为对角线时；以为对角线时；以为对角线时． 【规范解答】解：设点的坐标为, ①若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， ②若四边形为平行四边形， 则对角线与互相平分， ， 解得， ， ③若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， 综上所述点坐标为或或． 故答案为：． 题型讲练十 证明四边形是平行四边形 【例10】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，为的中点，连接． (1)用尺规作图法在下方作，且射线与的延长线交于点（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据要求尺规作图即可； （2）证明可得，结合为的中点即可证明结论． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图： ∵为的中点， ∴， ∵由（1）作图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）已知，按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，B，C分别在射线上，求作； (2)如图②，点O是内一点，求作线段，使P，Q分别在射线上，且点O是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）分别以B、C点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形即为所求； （2）连接，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，再作，交于P，连接并延长交于Q，则即为所求． 【规范解答】（1）解：如图①，四边形即为所求； （2）解：如图②，即为所求． 题型讲练十一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例11】如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【思路引导】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 【变式】如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 【答案】A 【思路引导】过点M作于点N，作交延长线于点E，可得四边形是平行四边形， ， ，，得是直角三角形，，由，得，即得． 【规范解答】解：过点M作于点N，作交延长线于点E， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 题型讲练十二 利用平行四边形性质和判定证明 【例12】如图1，将线段平移至，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接，． ​ (1)填空：与的位置关系为______； (2)如图2，E为延长线上一点，连接，，且，作平分交于点F， ①若当，时，求的度数； ②试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【思路引导】（1）根据平移的性质得到四边形是平行四边形，从而得出； （2）①由（1）知，则，进而得到，根据角平分线的性质得到，利用求解即可； ②设、，则，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据三角形外角的性质得到，从而得出结论． 【规范解答】（1）解：将线段平移至， 且， 四边形是平行四边形， ； （2）解：①由（1）知， ， 平分交于点F， ； ②，理由如下： 设、，则， 平分， ， ， 是的外角， ， ， ． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，作平行四边形． (2)在图1中，点E是边与网格线的交点，在边上找一点F，使． (3)在图2中，点M是边与网格线的交点，在上画点N，使． (4)在图3中，点P是格点，在上画点Q，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】（1）因为平行四边形对边平行且相等，所以可通过平移线段或，找到点D的位置，使得平行且等于平行且等于． （2）因为平行四边形中平行且等于，所以可利用网格的等距性，根据的长度，在边上找到对应长度的线段，使． （3）因为平行四边形对边平行，所以可通过构造以为边的网格平行四边形，结合点M的位置，在上找到满足的点N． （4）因为两点之间线段最短，所以可作点P关于的对称点，连接该对称点与点B，与的交点即为点Q，使得最小． 【规范解答】（1）画法：根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定， 长度为4个网格边长， 将点向右平移4个网格单位得到格点， 连接、， 四边形即为所求． （2）画法：平行四边形的对角线交于中心点， 连接并延长，交于点， 即为所求． 依据：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∴． （3）画法：同（1）作，延长交于格线E，连接，交于点N，则． 依据：由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （4）画法：利用将军饮马最短路径模型，作点关于直线的对称点， 连接，交于点，即为所求． 依据：∵， ∴， ∴； ∴与的交角为，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平分， ∴垂直平分， ∴， 因此， 根据“两点之间线段最短”，此时取得最小值． 题型讲练十三 平行四边形性质和判定的应用 【例13】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【思路引导】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【规范解答】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【思路引导】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【规范解答】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 题型讲练十四 与三角形中位线有关的求解问题 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，垂直平分，点在线段上，，相交于点，，连接，若，则的长为_____． 【答案】4 【思路引导】根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，得出为的中位线，得出，证明，得出相等的线段，最后可以求解． 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，（），是的中点，延长至点使得，连接．是线段上的动点，点在线段上，满足． (1)如图1，当且点与重合时，直接写出的长； (2)如图2，点不与，重合，判断与的数量关系，并证明； (3)若当点为的中点时，点恰为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【思路引导】（1）先证明为等边三角形，再证明，然后证明为等边三角形，即可得出结果； （2）连接，易得垂直平分，得到，进而得到，设，倒角推出，推出，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，易得为的中位线，进而得到，设，推出，在和，利用勾股定理求出，进而推出，得到为等腰直角三角形，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：，理由如下： 连接， ∵，（），是的中点， ∴垂直平分， ∵是线段上的动点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接， 由（1）可知， ∴， ∵为的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 由（2）知：， ∴设，则， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 题型讲练十五 与三角形中位线有关的证明 【例15】（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【规范解答】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 【变式】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 题型讲练十六 三角形中位线的实际应用 【例16】[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… (1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） (2)[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： (3)如图3，在四边形中，点，，，分别是，， 的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【思路引导】（1）如图1，延长至点，使得，连接，先利用证明，再证明四边形是平行四边形，可证明结论； （2）如图2，根据点，，分别是，，的中点，可得出，，，，再根据，，由平行的性质可求出，再利用勾股定理即可求出的长； （3）如图3，连接，根据点，，，分别是，， 的中点，可得，；，，由平行线的性质和等量代换可推出，，最后利用平行四边形的判定即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ∴， ∵点是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，． （2）解：∵如图2，点，，分别是，，的中点，，，，， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的长为． （3）证明：如图3，连接， ∵点，，，分别是，， 的中点， ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【考点剖析】本题考查四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，邻补角的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 【变式】如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 (1)求证：． (2)若为等腰三角形时，求的值． (3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 【答案】(1)证明见详解； (2)的值为或； (3)； 【思路引导】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可； （3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可． 【规范解答】（1）证明：设，，， 则， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）如图1中，取得中点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∵点在上运动， ∴不可能， 综上所述，满足条件的的值为或； （3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】根据且可得为等腰直角三角形，求出，求出；设，利用含角的直角三角形性质及等腰直角三角形性质表示出，结合周长列方程求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵ ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·海南·期中）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由折叠前后对应角相等可得，，由平行四边形的性质可得，，根据四边形内角和为360度列方程即可求解． 【规范解答】解：由折叠知，， ， 中， ， 在四边形中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，的周长为16，对角线、相交于点，点在上，，则的周长是（   ） A．10 B．6 C．4 D．8 【答案】D 【思路引导】由平行四边形对角线互相平分及得到垂直平分，结合垂直平分线性质、三角形周长与平行四边形周长求解即可． 【规范解答】解：在中，对角线、相交于点，则， ， 垂直平分， ， 则的周长是， 的周长为16， 的周长是． 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 【答案】B 【思路引导】先利用平行四边形的性质和已知推导出，再根据等角对等边得到，则，然后利用平行四边形的性质得到，进而列方程求解即可． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ， 点是的中点， ， 以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ， ，或， 或5． 5．在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为_____． 【答案】10或14 【思路引导】根据题意，则，，；根据平行线的性质，则，，再根据角平分线的性质，等角对等边，则，；根据，分点在点左侧和点在点右侧两种情况讨论即可． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，当点在点左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∴； 综上，的长为或． 6．（25-26八年级下·北京·期中）如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的边的高是________． 【答案】 【思路引导】过点作于点，根据折叠的性质和平行四边形的性质证明是等边三角形，得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴ 即的边的高是． 7．（25-26八年级下·上海·期中）如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 【答案】 【思路引导】根据平行四边形的性质及中点推出平行四边形和，从而判断和点是中点，利用等底等高三角形面积相等即可求出答案． 【规范解答】解：连接，如图所示， 点，分别为平行四边形边，的中点， ，，，，， ，，，， 四边形和都是平行四边形， 是和的中点，是和的中点 ，，和等底等高，，，和等底等高， ，． ， ． ， 四边形的面积与平行四边形的面积之比是． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键在于巧妙利用中点和等底等高找到面积的关系． 8．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【思路引导】（1）由，可得，又，可证结论； （2）由角平分线的性质可得，由四边形是平行四边形可得，故，在中，求出，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵ ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（1）已知，四边形是平行四边形，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为3． 9．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）学习了三角形的中位线定理后，小渝和小北对该知识进行了拓展性研究．他们发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： (1)用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在（1）的情况下，若，，，，求线段的长度，并找出线段、、的数量关系与位置关系． 证明：∵是中点，， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ，②__________． ③__________，， ，， ． 请你根据该探究过程总结线段、、的位置关系与数量关系如下： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④________________________． 【答案】(1)见解析 (2)；；；等于两底和的一半 【思路引导】（1）根据题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵是中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，， ，． ，， ，， ． 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底和的一半． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (3)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，或，见解析． 【思路引导】（）利用待定系数法求解即可； （）先求出，，然后分当点在直线下方时，当点在直线上方时，两种情况求解即可； （）设，，然后分当为平行四边形的对角线时， 当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，三种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴, ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； （3）解：存在，或，理由如下： 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 综上可得：存在，或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第六章 平行四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 (等腰)梯形的定义 题型五 等腰梯形的性质定理 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 判断能否构成平行四边形 题型八 添一个条件成为平行四边形 题型九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型十 证明四边形是平行四边形 题型十一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十二 利用平行四边形性质和判定证明 题型十三 平行四边形性质和判定的应用 题型十四 与三角形中位线有关的求解问题 题型十五 与三角形中位线有关的证明 题型十六 三角形中位线的实际应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点四 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点五 梯形问题的辅助线作法 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点六 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点七 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点八 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的性质求解 【例1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，中，过对角线的交点O，如果，，，则四边形的周长为________． 【变式】（25-26八年级下·天津红桥·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 题型讲练二 利用平行四边形的性质证明 【例2】如图，在平行四边形中，对角线，与相交于点O，点M、N分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【变式】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，在中，分别以，，为斜边作等腰直角三角形，得到，，． (1)如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接，．试判断：（   ）．（填“＞”“＜”或“=”） (2)如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接，．（1）中的结论还成立吗？给出结论，并写出证明过程． 题型讲练三 平行四边形性质的其他应用 【例3】如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 (1)在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； (2)在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【变式】小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究． 【问题探究】 如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中找一点D，画线段且使，连接； (2)在括号内填写根据： ∵且CD＝BA， ∴四边形是平行四边形（____________） 【拓展延伸】 (3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？ 题型讲练四 (等腰)梯形的定义 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【变式】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当时，____________． 题型讲练五 等腰梯形的性质定理 【例5】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 【变式】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 题型讲练六 数图形中平行四边形的个数 【例6】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【变式】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 题型讲练七 判断能否构成平行四边形 【例7】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 【变式】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 题型讲练八 添一个条件成为平行四边形 【例8】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在的网格线中，已知、、、是格点，是与网格线的交点仅用无刻度的直尺完成下列作图画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（每个任务的画线不得超过三条） (1)在图中，先画，再在上画点，使； (2)在图中，作点关于的对称点； (3)在图中，分别在、上找点、，连接、，使得最小． 题型讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例9】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： (1)将先向右平移8个单位，再向下平移2个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点旋转得到，作出； (3)若以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______． 【变式】（25-26八年级下·山东日照·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 题型讲练十 证明四边形是平行四边形 【例10】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，为的中点，连接． (1)用尺规作图法在下方作，且射线与的延长线交于点（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证四边形为平行四边形． 【变式】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）已知，按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，B，C分别在射线上，求作； (2)如图②，点O是内一点，求作线段，使P，Q分别在射线上，且点O是的中点． 题型讲练十一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例11】如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【变式】如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 题型讲练十二 利用平行四边形性质和判定证明 【例12】如图1，将线段平移至，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接，． ​ (1)填空：与的位置关系为______； (2)如图2，E为延长线上一点，连接，，且，作平分交于点F， ①若当，时，求的度数； ②试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，作平行四边形． (2)在图1中，点E是边与网格线的交点，在边上找一点F，使． (3)在图2中，点M是边与网格线的交点，在上画点N，使． (4)在图3中，点P是格点，在上画点Q，使最小． 题型讲练十三 平行四边形性质和判定的应用 【例13】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 题型讲练十四 与三角形中位线有关的求解问题 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，垂直平分，点在线段上，，相交于点，，连接，若，则的长为_____． 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，（），是的中点，延长至点使得，连接．是线段上的动点，点在线段上，满足． (1)如图1，当且点与重合时，直接写出的长； (2)如图2，点不与，重合，判断与的数量关系，并证明； (3)若当点为的中点时，点恰为的中点，求的值． 题型讲练十五 与三角形中位线有关的证明 【例15】（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【变式】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 题型讲练十六 三角形中位线的实际应用 【例16】[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… (1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） (2)[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： (3)如图3，在四边形中，点，，，分别是，， 的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式】如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）． 　 (1)求证：． (2)若为等腰三角形时，求的值． (3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 2．（25-26八年级下·海南·期中）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，的周长为16，对角线、相交于点，点在上，，则的周长是（   ） A．10 B．6 C．4 D．8 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 5．在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为_____． 6．（25-26八年级下·北京·期中）如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的边的高是________． 7．（25-26八年级下·上海·期中）如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 8．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 9．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）学习了三角形的中位线定理后，小渝和小北对该知识进行了拓展性研究．他们发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： (1)用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在（1）的情况下，若，，，，求线段的长度，并找出线段、、的数量关系与位置关系． 证明：∵是中点，， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ，②__________． ③__________，， ，， ． 请你根据该探究过程总结线段、、的位置关系与数量关系如下： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④________________________． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (3)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $