期末专题06 平行四边形（知识梳理+11大题型+2种易错+2种解题秘籍）讲义-2024-2025学年下学期八年级期末试题调研与押题预测（北师大版，山西地区适用）

期末专题06 平行四边形 平行四边形 1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 特别提醒 平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法: ∵四边形A B C D是平行四边形， 2．平行四边形的表示方法 平行四边形用＂＂表示，如图 ，平行四边形A B C D记作＂＂，读作＂平行四边形 A B C D＂． 3.平行四边形的对角线 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线 平行四边形的边、角性质 1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 2.边的性质平行四边形的对边平行且相等 几何语言:如图，四边形 ABCD 是平行四边形 3.角的性质平行四边形的对角相等、邻角互补 几何语言:如图 ，∵ 特别提醒 1. 从边看:平行四边形的对边平行且相等2.从角看:平行四边形的对角相等、邻角互补注意:要根据推理证明的需要，合理选用平行四边形的性质 平行四边形的对角线性质 1.对角线的性质平行四边形的对角线互相平分.几何语言:如图 , 2.拓展性质 (1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分. (2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 平行四边形的判定 1． 判定方法 判定平行四边形可以从对边和对角线两个方面入手 。如图，在口A B C D中，A C, B D相交于点 ，具体方法如下表所示． 2． 灵活选择平行四边形判定定理的方法 (1)已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行， (2)已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等 (3)已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分 特别提醒 1.平行四边形的判定定理和性质定理是互逆定理，解题时要注意区别，不能混淆 2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形 3.两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形 两条平行线之间的距离 1. 定义如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离 特别提醒 距离是指垂线段的长度，是正值； 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值，不随位置的不同而改变; 平行线间的距离处处相等，因此，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置； 任意两条平行线间的距离都是存在的，且是唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度 三种距离之间的区别与联系: 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度 2. 性质平行线间的距离处处相等 三角形的中位线 1.三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ,∴ 特别提醒 一个三角形有三条中位线 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形三个面积相等的平行四边形. 三角形的中位线与三角形的中线的区别: 三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段而三角形的中位线则是连接两边中点的线段. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 2.三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 ∴ 3. 三角形中位线的应用 (1) 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系:一是位置关系，可以用来证两直线平行;二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 (2)中位线具有平移角、信分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地，若知道了三角形的中位线，即可找到三角形两边的中点 多边形的内角和 2.多边形内角和公式的常见应用 (1)已知多边形的边数，求内角和；(2)已知多边形的内角和，求边数； （3） (4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数 特别解读 1．从 边形的内角和公式 可知 边形的内角和一定是 的整数倍。 2．多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加 1 ，内角和就增加 。 多边形的外角和 1.多边形的外角与外角和的定义 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和 特别解读 1. 多边形的外角和是指在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和 2.多边形的外角和恒等于3600与边数无关 2.定理多边形的外角和都等于3600 3.常见应用 (1)已知外角度数求正多边形的边数； (2)已知正多边形的边数求外角度数。 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了平行四边形的性质，这的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据平行四边形的性质可得，即，根据平行线的性质，折叠的性质可得，根据三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， 故选：B ． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）在平行四边形中，，则对角线的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的定义，三角形三边数量关系，根据构成三角形三边的数量关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴，即， 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·山西长治·期末）已知，一次函数的图象与轴交于点，点也在这条直线上且横坐标为，点是轴上一个动点，点在直线上，以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标 ． 【答案】：或 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标，由一次函数中，求出，，设，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，情况即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数中，当时，；当时，， ∴，， ∵点是轴上一个动点，点在直线上， ∴设，， ∵以点为顶点的四边形是平行四边形， ∴如图，当为对角线时， 设交于点， ∴点在上， ∴即， ∴，，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴，，解得， ∴， 如图，当为对角线时， ∴，，解得， ∴， 此时点共线，不符合题意； 综上点或， 故答案为：或． 题型二、利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质．由作法可得垂直平分，再由平行四边形的性质，可得，可判定A；再证明，可判定B，C，D，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据条件无法得到， ∴无法得到，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故B、D选项错误，不符合题意； ∴， 即，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形判定的方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质，运用“边角边”即可求证，由此即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分是解题关键．连接交于点，由平行四边形的性质可得，，，分别作差即可证明． 【详解】证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 题型三、判断能否构成平行四边形 7．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下列说法：①一组对边相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：①两组对边相等的四边形是平行四边形，原说法不能判定一个四边形是平行四边形； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原说法能判定一个四边形是平行四边形； ③一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，原说法不能判定一个四边形是平行四边形； ④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形，由于一组对边平行，那么一组邻角互补，再根据一组对角互补可得另一组邻角互补，进而可得两组对边互相平行，原说法能判定一个四边形是平行四边形． 故选：B． 8．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 9．（23-24八年级下·山西太原·期末）在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．根据，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误，符合题意； C．∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 题型四、证明四边形是平行四边形 10．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】D 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 11．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，先证明，，再证明，则可证明得到，据此可证明结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 即， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． 12．（23-24八年级下·山西太原·期末）综合与实践 (1)【独立思考】如图1，点 D 是等边内一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接，试猜想线段与的数量关系，并说明理由： (2)【实践探究】如图2，将绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由： (3)【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)平行四边形；理由见解析 (3) 【知识点】证明四边形是平行四边形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转得出，，进而证明，，即可得出； （2）同（1）证出，推出，，结合（1）中得出的，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； （3）将绕点B逆时针旋转至，连接交于R，可转化为，因此求出的长度即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， 绕点B逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 又，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 同理（1）可得：是等边三角形，， ，， 由（1）知：，， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：如图，将绕点B逆时针旋转至，连接交于R， 同（1）可证， ， ， ，， ，， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，第三问难度较大，作出正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型五、利用平行四边形的判定与性质求解 13．（22-23八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 已知线段AD向下平移m个单位后，再向右平移n个单位至线段BC，点A，D的对应点分别为点B、C，连接AB、CD、AC、BD，AC与BD交于O点． (1)如图1，求证：OB=OD． (2)如图2，过D点作DM⊥BC于M，N为CD的中点，连接MN，若∠ADB=45°，，MN=4，求的值． (3)在（2）的条件下，H在BC上移动，当为等腰三角形时，请直接写出HC的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)HC的长为8或或 【知识点】利用平移的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先判定四边形为平行四边即可得证 （2）先证明△BMD为等腰直角三角形，再求MB比MC即可 （3）要根据HC作底边，CD作底边，DH作底边三种等腰三角形的情况求解HC 【详解】（1）证明：由平移的性质，得，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ADB=∠CBD．，． ∵∠ADB=45°，DM⊥BC， ∴△BDM为等腰直角三角形，∴BM=MD=6． ∵△CMD为直角三角形，N为CD的中点，，∴CD=2MN=8． 在中，由勾股定理，得，∴． （3）①当HC=DC=8时，如图构成等腰三角形 ②当HD=HC时，如图构成等腰三角形 此时设HM为x ∵ ∴ 解得： ∴HC=x+MC= ③当DH=DC时，如图构成等腰三角形： 此时HC=2MC= 故HC长度为：8或或． 【点睛】本题考查平行四边形判定，平行四边形性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握如上知识和方法才能正确解题． 14．（22-23八年级下·山西太原·期末）综合与探究： 问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'． (1)初步思考：求证：DE＝AC； (2)操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题． A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离． B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)A：旋转角的度数为150°；B，E两点间的距离为2．B：旋转角的度数为105°；线段CF的长为 【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）由含30°角直角三角形的性质可得DE=2CD，再由D是中点即可得到结论； （2）由旋转的性质及（1）得，且，从而可得，则由平行四边形的判定即可证得结论； （3）选择A：如图3，连接，由旋转的性质及平行线的性质可得，则可求得的度数，从而得到旋转角的度数；再由及已知可得四边形是平行四边形，从而可得； 选择B：如图4，过点C作，由平行条件可得∠CFG=45°，再由旋转性质及三角形外角的性质可求得的度数，即旋转角的度数；分别在与中即可求得CF的长． 【详解】（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°−∠CDE=30°， ∴DE=2CD， ∵D是AC的中点， ∴AC=2CD， ∴DE=AC； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， 由（1）知，DE=AC， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）选择A：如图3，由旋转的性质得：， ∵D'E'//BC， ∴， ∴， 即， 连接， ∵AC=BC，AC=DE，， ∴ ∵D'E'//BC， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵D是AC的中点， ∴， ∴； 选择B：如图4，过点C作于G， ∵AB=AC，∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∵D'E'//AB， ∴∠CFG=∠A= 45°， ∵， ∴， 即旋转角α的度数为105°； ∵，，∠CFG = 45°， ∴，， ∴，CG=FG， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，平行线的性质等知识，具有一定的综合性，灵活运用这些知识是解决问题的关键． 15．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，D为AC的中点，E为边AB上的动点，连接DE，将沿DE对折得到，连接CF． (1)求证：． (2)若，求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、折叠问题、内错角相等两直线平行 【分析】（1）由折叠以及D为AC的中点，可得，即有．再根据，可得，即有； （2）先证四边形为平行四边形，即有，由折叠知，即可得． 【详解】（1）证明：由折叠知，． ∵D为AC的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴； （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由折叠知， ∵为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行的判定与性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识，掌握内错角相等两直线平行是解答本题的关键． 题型六、利用平行四边形性质和判定证明 16．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别在的延长线上，且，，请判断四边形的形状，并说明理由．    【答案】四边形是平行四边形 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法和性质，属于中考常考题型． 根据平行四边形的性质可得，再根据，得出，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形． 【详解】解：结论：四边形是平行四边形． 理由：∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形． 17．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质的判定． 根据点E、F分别为边的中点以及四边形是平行四边形，得出，，即可证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可求解； 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，又已知四边形是平行四边形， ∴题图中共有4个平行四边形． 故选：B． 18．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时， ∴， ∴四边形是平行四边，故B选项不合题意； 当时，同理可得，故C选项不合题意， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∴，则四边形是平行四边，故D选项不合题意 当时不能证明三角形全等，无条件证明四边形是平行四边，故A选项符合题意， 故选：A． 题型七、与三角形中位线有关的求解问题 19．（23-24八年级下·山西大同·期末）某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地上围一个四边形花坛．已知点E，F分别是边，的中点，测量得米，则的长是（    ） A．8米 B．10米 C．16米 D．32米 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了中位线．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质，平行于底边且等于底边的一半．由题意知，是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是的中位线， ∴米， 故选：A． 20．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，四边形为平行四边形，分别为边上的点，且． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别为的中点，若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质； （1）先证明，，再证明，从而可得结论； （2）利用三角形的中位线的性质可得，再结合平行四边形的性质可得答案； 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ． ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：分别为的中点， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形的周长为． 21．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理得，由三角形中位线定理得，，，，结合角平分线的定义得，，进一步得，，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点，分别是，的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的长度为． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，角分平线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识点．解题的关键是掌握勾股定理，三角形中位线定理． 题型八、与三角形中位线有关的证明 22．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，连接DE，且BD是的角平分线．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先根据三角形中位线定理得到，，进而证明四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，再由角平分线的定义证明，推出，则． 【详解】证明：∵点D、E、F分别是AC、BC、AB中点， ，， 四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE， ， BD是的角平分线， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证明四边形ADEF是平行四边形是解题的关键． 23．（22-23八年级下·山西晋中·期末）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转． (1)观察猜想 若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　； (2)类比探究 若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、等腰三角形的性质和判定、面积问题(旋转综合题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由旋转性质和“”可证，即可求解； （2）由旋转性质和“”可证，可得，由外角的性质可得结论； （3）先证明是等腰直角三角形，可得，则当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即可求面积最大值． 【详解】（1）解：如图1，， ， ， ， ， ， ， 由旋转得: , , 在和中 ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：如图，设与的交点为点P， 绕点A旋转到如图3所示的位置，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外角，也是的外角， ， ， ； （3）解： M，P，N分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即面积有最大值， 的最大值为， 面积的最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，掌握“手拉手”型的旋转模型、线段和最值问题的解法，灵活运性质解决问题是解题的关键． 24．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图1，已知点、、、分别是四边形各边、、、的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． 解答下列问题： （1）如图2，将图1中的点移动至与点重合的位置，、、仍是、、的中点，求证四边形是平行四边形． （2）如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，在格点上找一点，使点与、、的中点、、组成的四边形是平行四边形，且四条边相等，并求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析， 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、勾股定理与网格问题 【分析】（1）连接，由、是、的中点，为中位线，得到，且，同理得到．且，由此证明即可； （2）由C点位置可知C是AB的中点，同（1）原理可以得到四边形是平行四边形，要让四边形四边相等，因此只需要BC=BD即可． 【详解】解：（1）证明：连接， ∵、是、的中点， 为中位线， ∴，且， 同理，．且， ∴且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：点的位置如图所示 如图，∵是的中位线，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 题型九、多边形内角和问题 25．（22-23八年级下·山西晋中·期末）菠萝是夏季的一种时令水果，外披坚硬晶亮的“铠甲”，铠甲由多个六边形组成，体现无坚不摧的几何之美．如图，，则 ．    【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】先求出六边形的内角和，问题即可得解． 【详解】六边形的内角和为：， 即：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和的计算公式，n边形内角和为：，掌握多边形内角和的计算公式，是解答本题的关键． 26．（22-23八年级下·山西晋城·期末）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可解答． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得． 所以这个多边形是五边形． 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 27．（22-23八年级下·山西运城·期末）中考·激励卡中有一个多边形卡片，它的每一个内角都是，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得 所以，这个多边形是五边形 故选：B． 【点睛】本题主要考查多边形的内角问题，属于基础题型，难度不大．解题的关键是熟练运用多边形的内角和公式． 题型十、正多边形的内角问题 28．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、正多边形的外角问题、正多边形的内角问题 【分析】根据正多边形的外角和是，求出这个正多边形的每个内角，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：∵正五边形， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的外角和内角的度数是常用的一种方法． 29．（23-24八年级下·山西太原·期末）“交木如井．画以藻文”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一副“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形．这个正八边形的每个内角的度数为 ． 【答案】135 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键； 根据多边形内角和公式列式计算即可解答； 【详解】“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形， 这个正八边形的每个内角的度数为， 故答案为：135． 30．（23-24八年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【答案】任务一：问题①360；问题②不能，理由见解析 任务二：问题③三角形，四边形；问题④ 【知识点】正多边形的内角问题、平面镶嵌 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案． 【详解】解：任务一： 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 问题④：由图形并结合题意可得：的度数为． 题型十一、正多边形的外角问题 31．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的外角问题 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，三角形内角和等知识，其中正多边形外角的和的运用是关键． 32．（22-23八年级下·山西太原·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中的度数和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和是是解题关键． 33．（23-24八年级下·山西运城·期末）在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个外角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的外角，根据多边形的外角公式为（为边形的边数）即可求． 【详解】正八边形的一个外角度数为： 故选：C 【例1】如图，▱ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，顺次连接A，E，C，F，A．求证：四边形AECF是平行四边形，并写出最后一步推理的依据． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，然后求出OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确的作出辅助线是解题的关键． 【例2】如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】由条件可证得证得四边形BCFD为平行四边形，即可求证． 【详解】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点， ∴∥，且． ∵EF＝DE， ∴， ∴， ∴四边形BCFD为平行四边形， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 快速证明四边形是平行四边形核心方法 边: 两组对边分别平行(定义); 两组对边分别相等; 一组对边平行且相等。 角:两组对角分别相等。 对角线:对角线互相平分。 添加辅助线 -- 连接对角线或构造平行线核心方法 连接对角线:利用平行四边形对角线互相平分的性质，转化为三角形全等或线段相等问题。 构造平行线:通过作平行线，将问题转化为平行四边形或相似三角形，简化计算。 1．如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而由的周长为即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在平行四边形ACBD中，对角线CD⊥AD，且与另一条对角线AB相交于点M，若AD，AC边长分别为5和13，则MB的长为（    ） A．13 B．12 C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】先通过勾股定理求出CD的长，再用CD的一半MD结合勾股定理求出AM长，AM=BM，即可求得BM长． 【详解】∵△ADC为直角三角形 ∴DC= ∴MB=MA= 故选D. 【点睛】本题考查直角三角形特性，平行四边形特性，勾股定理，掌握这些是本题关键． 3．如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形、根据三线合一证明 【分析】此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题，根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴ ∵等腰和等腰，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，故B选项正确； 在和中， ∴ ∴，故C选项正确； ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的中线，故A选项正确； ∵， ∴， ∴不可能平分，故D选项错误； 故选：D． 4．如图，在平行四边形中，，，对角线，将平行四边形平移4个单位长度得到平行四边形，，分别为和的中点，连接，则的长度不可能为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】取中点连接，，由直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到，由平移的性质得到，由三角形的三边关系定理，即可得到，因此．故的值不可能是6． 【详解】解：取中点连接，， ， ， ， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， 是中点，是中点， 由平移的性质得到， ， ， ． 的值不可能是6． 故选：D．    【点睛】本题考查平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形的三边关系，关键是取中点连接，，由三角形中位线定理求出的长，由三角形的三边关系即可求解． 5．如图，在平行四边形中，，的平分线和的平分线交于点，若点恰好在边上，则的值为 ．    【答案】36 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，． 故答案为：36． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，解题关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答． 6．永祚寺双塔（如图1），又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的最高的古建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其外角和的度数为 ．    【答案】 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】直接根据多边形的外角和为即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 外角和的度数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键． 7．学校内的一条小路是用不同的多边形地砖铺成的．其中一块地砖的形状是七边形，则其内角和是 ． 【答案】900° 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形内角和公式，直接计算即可求解． 【详解】解：由题意得：七边形的内角和=（7-2）×180°=900°， 故答案是：900°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和，掌握多边形的内角和计算公式是解题的关键． 8．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点E，于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定， 角平分线的定义： （1）先证明，得到，再根据，利用等腰三角形性质得到结论； （2）根据平行四边形性质和，求出BE和AB，问题得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，即， ， 平分， ， ， 又， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ． 9．如图，的对角线，交于点， 点，分别是，的中点， 连接，， 试判断线段与的关系， 并说明理由． 【答案】，，理由见详解 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线，并证明四边形为平行四边形是解题关键．连接、，证明四边形为平行四边形，即可证明结论． 【详解】解：，，理由如下： 如下图，连接、， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，． 10．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 年月日星期一 今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：    I.若是边的中点，且，则是边的中点． II.若，且，则分别是边的中点． III.若是边的中点，且，则是边的中点． 任务： (1)从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）    (2)从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明． 【答案】(1)假命题为命题I．所画图形见解析 (2)真命题为命题II．证明见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据三角形的中位线定理解答即可； （2）根据平行四边形的判定和性质进行解答即可得到答案． 【详解】（1）解：假命题为命题I， 所画图形如解图1，   ， 如图，是边的中点，且，但显然不是的中点； （2）解：真命题为命题II， 证明：如解图，过点作交边于点，连接，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 分别是边的中点． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题06 平行四边形 平行四边形 1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 特别提醒 平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法: ∵四边形A B C D是平行四边形， 2．平行四边形的表示方法 平行四边形用＂＂表示，如图 ，平行四边形A B C D记作＂＂，读作＂平行四边形 A B C D＂． 3.平行四边形的对角线 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线 平行四边形的边、角性质 1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 2.边的性质平行四边形的对边平行且相等 几何语言:如图，四边形 ABCD 是平行四边形 3.角的性质平行四边形的对角相等、邻角互补 几何语言:如图 ，∵ 特别提醒 1. 从边看:平行四边形的对边平行且相等2.从角看:平行四边形的对角相等、邻角互补注意:要根据推理证明的需要，合理选用平行四边形的性质 平行四边形的对角线性质 1.对角线的性质平行四边形的对角线互相平分.几何语言:如图 , 2.拓展性质 (1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分. (2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 平行四边形的判定 1． 判定方法 判定平行四边形可以从对边和对角线两个方面入手 。如图，在口A B C D中，A C, B D相交于点 ，具体方法如下表所示． 2． 灵活选择平行四边形判定定理的方法 (1)已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行， (2)已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等 (3)已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分 特别提醒 1.平行四边形的判定定理和性质定理是互逆定理，解题时要注意区别，不能混淆 2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形 3.两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形 两条平行线之间的距离 1. 定义如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离 特别提醒 距离是指垂线段的长度，是正值； 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值，不随位置的不同而改变; 平行线间的距离处处相等，因此，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置； 任意两条平行线间的距离都是存在的，且是唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度 三种距离之间的区别与联系: 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度 2. 性质平行线间的距离处处相等 三角形的中位线 1.三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ,∴ 特别提醒 一个三角形有三条中位线 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形三个面积相等的平行四边形. 三角形的中位线与三角形的中线的区别: 三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段而三角形的中位线则是连接两边中点的线段. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 2.三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 ∴ 3. 三角形中位线的应用 (1) 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系:一是位置关系，可以用来证两直线平行;二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 (2)中位线具有平移角、信分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地，若知道了三角形的中位线，即可找到三角形两边的中点 多边形的内角和 2.多边形内角和公式的常见应用 (1)已知多边形的边数，求内角和；(2)已知多边形的内角和，求边数； （3） (4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数 特别解读 1．从 边形的内角和公式 可知 边形的内角和一定是 的整数倍。 2．多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加 1 ，内角和就增加 。 多边形的外角和 1.多边形的外角与外角和的定义 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和 特别解读 1. 多边形的外角和是指在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和 2.多边形的外角和恒等于3600与边数无关 2.定理多边形的外角和都等于3600 3.常见应用 (1)已知外角度数求正多边形的边数； (2)已知正多边形的边数求外角度数。 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）在平行四边形中，，则对角线的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·山西长治·期末）已知，一次函数的图象与轴交于点，点也在这条直线上且横坐标为，点是轴上一个动点，点在直线上，以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标 ． 题型二、利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 6．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 题型三、判断能否构成平行四边形 7．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下列说法：①一组对边相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．①②③ 8．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·山西太原·期末）在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 题型四、证明四边形是平行四边形 10．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 11．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：四边形是平行四边形． 12．（23-24八年级下·山西太原·期末）综合与实践 (1)【独立思考】如图1，点 D 是等边内一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接，试猜想线段与的数量关系，并说明理由： (2)【实践探究】如图2，将绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由： (3)【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）． 题型五、利用平行四边形的判定与性质求解 13．（22-23八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 已知线段AD向下平移m个单位后，再向右平移n个单位至线段BC，点A，D的对应点分别为点B、C，连接AB、CD、AC、BD，AC与BD交于O点． (1)如图1，求证：OB=OD． (2)如图2，过D点作DM⊥BC于M，N为CD的中点，连接MN，若∠ADB=45°，，MN=4，求的值． (3)在（2）的条件下，H在BC上移动，当为等腰三角形时，请直接写出HC的长． 14．（22-23八年级下·山西太原·期末）综合与探究： 问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'． (1)初步思考：求证：DE＝AC； (2)操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题． A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离． B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长． 15．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，D为AC的中点，E为边AB上的动点，连接DE，将沿DE对折得到，连接CF． (1)求证：． (2)若，求AE的长． 题型六、利用平行四边形性质和判定证明 16．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别在的延长线上，且，，请判断四边形的形状，并说明理由．    17．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 题型七、与三角形中位线有关的求解问题 19．（23-24八年级下·山西大同·期末）某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地上围一个四边形花坛．已知点E，F分别是边，的中点，测量得米，则的长是（    ） A．8米 B．10米 C．16米 D．32米 20．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，四边形为平行四边形，分别为边上的点，且． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别为的中点，若，求四边形的周长． 21．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 题型八、与三角形中位线有关的证明 22．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，连接DE，且BD是的角平分线．求证：． 23．（22-23八年级下·山西晋中·期末）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转． (1)观察猜想 若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　； (2)类比探究 若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值． 24．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图1，已知点、、、分别是四边形各边、、、的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． 解答下列问题： （1）如图2，将图1中的点移动至与点重合的位置，、、仍是、、的中点，求证四边形是平行四边形． （2）如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，在格点上找一点，使点与、、的中点、、组成的四边形是平行四边形，且四条边相等，并求出的面积． 题型九、多边形内角和问题 25．（22-23八年级下·山西晋中·期末）菠萝是夏季的一种时令水果，外披坚硬晶亮的“铠甲”，铠甲由多个六边形组成，体现无坚不摧的几何之美．如图，，则 ．    26．（22-23八年级下·山西晋城·期末）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 27．（22-23八年级下·山西运城·期末）中考·激励卡中有一个多边形卡片，它的每一个内角都是，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 题型十、正多边形的内角问题 28．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·山西太原·期末）“交木如井．画以藻文”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一副“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形．这个正八边形的每个内角的度数为 ． 30．（23-24八年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 题型十一、正多边形的外角问题 31．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 32．（22-23八年级下·山西太原·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中的度数和为（　　）    A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·山西运城·期末）在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个外角度数为（    ） A． B． C． D． 【例1】如图，▱ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF，顺次连接A，E，C，F，A．求证：四边形AECF是平行四边形，并写出最后一步推理的依据． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，然后求出OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确的作出辅助线是解题的关键． 【例2】如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】由条件可证得证得四边形BCFD为平行四边形，即可求证． 【详解】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点， ∴∥，且． ∵EF＝DE， ∴， ∴， ∴四边形BCFD为平行四边形， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 快速证明四边形是平行四边形核心方法 边: 两组对边分别平行(定义); 两组对边分别相等; 一组对边平行且相等。 角:两组对角分别相等。 对角线:对角线互相平分。 添加辅助线 -- 连接对角线或构造平行线核心方法 连接对角线:利用平行四边形对角线互相平分的性质，转化为三角形全等或线段相等问题。 构造平行线:通过作平行线，将问题转化为平行四边形或相似三角形，简化计算。 1．如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ACBD中，对角线CD⊥AD，且与另一条对角线AB相交于点M，若AD，AC边长分别为5和13，则MB的长为（    ） A．13 B．12 C． D． 3．如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 4．如图，在平行四边形中，，，对角线，将平行四边形平移4个单位长度得到平行四边形，，分别为和的中点，连接，则的长度不可能为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在平行四边形中，，的平分线和的平分线交于点，若点恰好在边上，则的值为 ．    6．永祚寺双塔（如图1），又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的最高的古建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其外角和的度数为 ．    7．学校内的一条小路是用不同的多边形地砖铺成的．其中一块地砖的形状是七边形，则其内角和是 ． 8．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点E，于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．如图，的对角线，交于点， 点，分别是，的中点， 连接，， 试判断线段与的关系， 并说明理由． 10．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 年月日星期一 今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：    I.若是边的中点，且，则是边的中点． II.若，且，则分别是边的中点． III.若是边的中点，且，则是边的中点． 任务： (1)从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）    (2)从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$