第六章 平行四边形【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第六章 平行四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 (等腰)梯形的定义 题型五 等腰梯形的性质定理 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 判断能否构成平行四边形 题型八 添一个条件成为平行四边形 题型九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型十 证明四边形是平行四边形 题型十一 全等三角形拼平行四边形问题 题型十二 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十三 利用平行四边形性质和判定证明 题型十四 平行四边形性质和判定的应用 题型十五 与三角形中位线有关的求解问题 题型十六 与三角形中位线有关的证明 题型十七 三角形中位线的实际应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点四 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点五 梯形问题的辅助线作法 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点六 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点七 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点八 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的性质求解 【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接．若，，，则平行四边形的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．32 【答案】D 【思路引导】根据作图可知，结合平行四边形的性质，可证明，所以，所以，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【规范解答】解：由作图可知，射线平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，，设，在中和在中，运用两次勾股定理即可求解． 【规范解答】解：连接，过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由题意得，的最小值就是与之间的距离，即平行四边形的高， ∴， 当P与重合、与重合时，取到最大值， ∴， ∵平行四边形周长为24， ∴，即， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 在中， 解得， ∴． 题型讲练二 利用平行四边形的性质证明 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据，得到，根据即可证明． 【规范解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图1，在中，对角线相交于点O，过O点作直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)如图2，若过O点的直线与的延长线分别交于点E，F，能得到（1）中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？ 【答案】(1)见解析 (2)能，经过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交点平分 【思路引导】（1）通过平行四边形对边平行，得到，再利用对顶角相等和平行四边形对角线平分的性质，通过证明，即可得到结论； （2）通过平行四边形对边平行，得到，再利用对顶角相等和平行四边形对角线平分的性质，通过证明，即可得到结论． 【规范解答】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：能，经过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交点平分. 理由：同（1），得，， ∴， 又， ∴， ∴． 题型讲练三 平行四边形性质的其他应用 【例3】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图1，E是格点，先作平行四边形，再在边上画点，使． (2)如图2，在延长线上找到一格点，使得，连接，为网格线上一点，在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用平移的性质将点向上平移2个单位，得到点，连接，即可得到平行四边形，取格点，连接，交于点，使得，，再根据平行四边形的性质可得，，进而得到，易证，即可得到； （2）连接，由勾股定理得到，将点向上平移5个单位，得到点，连接，可得，利用网格的特征取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，由等腰三角形三线合一可得垂直平分，可得，推出，结合，证明，推出，进而得到，再求出，得到，由三角形内角和定理可得，可得． 【规范解答】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 【变式】图1，图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫格点，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： (1)在图1中画（非矩形），使平行四边形的周长为18，所画的平行四边形的顶点必须在小正方形的格点上； (2)在图2中画出一个，三边分别为5、3、，所画的三角形的顶点必须在小正方形的格点上，并且直接写出三角形的面积__________． 【答案】(1)图形见详解； (2)图形见详解，． 【思路引导】（1）构造一个边长为5和4的平行四边形即可． （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【规范解答】（1）解：平行四边形如图所示．其中，． （2）如图所示．其中，，，； 故答案为． 【考点剖析】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 题型讲练四 (等腰)梯形的定义 【例4】如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【规范解答】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【思路引导】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 题型讲练五 等腰梯形的性质定理 【例5】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【规范解答】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 【变式】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过______，使． 【答案】或 【思路引导】本题考查了图形中的动点问题，平行四边形，等腰梯形的性质，先确定两点运动的时间，假设经过了，，分别讨论当四边形为平行四边形和等腰梯形时，列一元一次方程进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，点运动到点需要秒，点运动到点需要秒， 设经过了，，根据题意得， 当时，四边形为平行四边形，此时， ∴， 解得， 经检验， ∴符合题意； 如图所示，当四边形为等腰梯形时，， 过点作，交于点，过点作，交于点， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验， ∴符合题意； 故答案为：或． 题型讲练六 数图形中平行四边形的个数 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 【变式】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【规范解答】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 题型讲练七 判断能否构成平行四边形 【例7】（25-26八年级下·上海·期中）在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据平行四边形的判定定理，逐项验证各条件能否推出四边形是平行四边形即可． 【规范解答】解：已知在四边形中，， A 若，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B 若，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C ， ， 又， ， ，因此四边形两组对边分别平行，可判定是平行四边形，不符合题意； D ，本身即可推出， 无法推出另一组对边平行或，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）四边形中，对角线相交于点O，下列不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】根据平行四边形的判定方法，结合平行线的性质和三角形全等的判定，逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：A选项： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项： ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，又，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意. C选项： 当，时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意. D选项： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，本选项不合题意． 题型讲练八 添一个条件成为平行四边形 【例8】（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【思路引导】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 【规范解答】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 【变式】（2026·河北·模拟预测）如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题先通过已知的和，计算得出，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到，再结合平行四边形的判定定理，得出添加，或、等条件，都能判定四边形是平行四边形． 【规范解答】解：已知  ， ，则， 根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此添加，或、都可判定四边形是平行四边形． 故这个条件可以是：，答案不唯一，也可填、等． 题型讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例9】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据图形旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平行四边形的判定方法结合网格特点画图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 【变式】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． (1)的长为 ； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【思路引导】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【规范解答】（1）解：点坐标为，点坐标为， 的长为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 题型讲练十 证明四边形是平行四边形 【例10】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，相交于点，且，点在上，连接，，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】先证明，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【规范解答】证明：∵ ∴ 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【思路引导】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 题型讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题 【例11】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【规范解答】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 【变式】（25-26八年级下·上海松江·月考）下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【规范解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确； ②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误； ③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确； ④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为，满足对角占比相等，根据四边形内角和为，可计算得四个角分别为，，，，满足对角相等，邻角和为，符合平行四边形的性质，故④正确， 综上，正确的说法共有3个． 题型讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解 【例12】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 题型讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明 【例13】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的长为____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，由平行四边形的性质得，进而由勾股定理得的长，据此计算即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）学习了平行四边形的性质后，小虎对平行四边形进行了拓展性研究发现：作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交所围成的四边形是平行四边形．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①__________ ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴②______ 在和中： ∵，∴， ∴③______，， ∴， ∴④______ ∴， ∵，． ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【思路引导】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形． 【规范解答】（1）解：如图，为所求作的角平分线； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型讲练十四 平行四边形性质和判定的应用 【例14】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【规范解答】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式】某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【思路引导】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【规范解答】解：如图所示：    ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【考点剖析】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 题型讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题 【例15】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，，G为线段的中点，连接，E，F分别为的中点，则的长为______． 【答案】 【思路引导】连接，根据线段中点的定义求出的长，在 中利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求解． 【规范解答】解：连接， 为线段的中点，， ，， 在 中，由勾股定理，得 ，分别为，的中点， 为的中位线 ． 【变式】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【思路引导】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型讲练十六 与三角形中位线有关的证明 【例16】（25-26八年级下·湖南娄底·期中）在学习了“三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念： 如图，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，线段叫做梯形的中位线． 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明． 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下： 如图所示，连接并延长，与的延长线交于点，…… 请你按照他们的思路继续证明：． 【答案】见解析 【思路引导】先证明，得出，，证明为的中位线，根据中位线的性质得出，，根据线段间的关系，即可证明结论． 【规范解答】证明：连接并延长，与的延长线交于点，如图所示： ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式】（25-26八年级下·上海金山·期中）阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)甲乙丙丁 (2)选择甲（或乙或丙或丁）；证明见解析 (3)、两点间的距离为 【思路引导】（1）根据平行四边形的判定与性质结合全等三角形的判定与性质即可判断； （2）甲：先证明四边形是平行四边形，再证明，然后证明四边形是平行四边形即可；乙：证明，，再证明四边形是平行四边形即可；丙：先证明，再证明四边形是平行四边形即可；丁：根据中点坐标公式得到，的坐标，然后根据点的坐标特征即可判定； （3）连接并延长，交延长线于点，证明，得到是的中位线，根据中位线的性质即可得解． 【规范解答】（1）解：甲乙丙丁； （2）解：选择甲； 过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 、分别是、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择乙； 证明：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． ． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． 同理，，，， ， ，． ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择丙； 证明：延长至点，使，连接、、． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 选择丁； 证明：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． ， 、分别是、的中点， ，， ，； （3）解：如图，连接并延长，交延长线于点， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ， 即、两点间的距离为． 题型讲练十七 三角形中位线的实际应用 【例17】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． (3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】（1）把点代入直线得，设直线解析式为，代入得，即可求出直线解析式． （2）设，当在延长线上时，，在计算即可，当在线段上时，，再计算，即可点的坐标． （3）当时，得为中位线，故，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：设， 当在延长线上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 当在线段上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点的坐标为或． （3）当时，如图： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴为中位线， ∴． 答：的长为． 【考点剖析】本题考查了一次函数的综合知识，待定系数法求一次函数解析式，三角形中位线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案． 【规范解答】（1）证明： ，， 为的中位线， ，， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·福建南平·期中）在平行四边形中，如果，那么，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题利用平行四边形的性质求解，平行四边形邻角互补，对角相等，根据已知角度可直接计算得到结果． 【规范解答】解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴，与为邻角，满足， ∴， 又∵ 平行四边形对角相等，与是对角， ∴． 观察四个选项，选项A符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（   ） A．26 B．35 C．40 D．52 【答案】B 【思路引导】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质即可求解． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长为． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，是中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积（   ） A．先减小，再增大 B．先增大，再减小 C．逐渐减小 D．不变 【答案】D 【思路引导】如图，连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可证明，，设，，，根据，即可判断． 【规范解答】解：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， ∵，是中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，，则， ∴ ， ∴在动点运动的过程中，的面积不变． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图的对角线相交于点交于，连接，则的度数为_________________． 【答案】 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质. 根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质求出，由线段垂直平分线的性质可得，进而利用等边对等角求解． 【规范解答】解：∵ 四边形是平行四边形. ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在梯形中，，．若，则__________ 【答案】 【思路引导】先由两直线平行，同旁内角互补求出，再利用等腰梯形同一底上的角相等，得到． 【规范解答】解： ，， ， ， 梯形是等腰梯形， ． 6．（25-26八年级下·内蒙古·月考）如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 【答案】 【思路引导】运用平行四边形的性质以及，求出，再证明四边形是平行四边形，故，，最后运用勾股定理得，把数值代入计算，即可作答． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 则 ∴ 过点M作交于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 则． 7．（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）如图，的对角线，交于点，过点作直线，分别交，于点，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到、及，进而得到，证明，进而得到，从而得出结论． 【规范解答】证明：四边形是平行四边形， 、、， ， 在和中， ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级下·广西玉林·期中）在如图的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图中作一个以为顶点的平行四边形，使点落在格点上； (2)请求出（1）中所作的▱的面积和周长． 【答案】(1)详见解析 (2)面积为；周长为 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理： （1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，通过平移线段、来确定点的位置； （2）勾股定理求，利用平行四边形的性质得其余各边长和高，最后利用面积公式和周长公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， （2）解：是平行四边形，每个小正方形的边长都为1， ，，， ∴周长，面积． 9．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【思路引导】（1）证明是的中位线，推出，据此即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，求得，作于点，利用直角三角形的性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵点F是中点，点G是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【思路引导】（1）根据折叠的性质，以及同角的余角相等证明即可； （2）令与的交点为，利用平行四边形的性质和勾股定理，先求出，再结合折叠的性质，推出，进而证明，设，利用等面积法列方程求解即可． （3）当等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，过点作于点，证明，得到，即可得解；②当时，得出，结合垂线段最短，可得出不符合题意；③当时，结合斜边大于直角边，可得出不符合题意． 【规范解答】（1）证明：， ，， 由折叠的性质可得，， ， 平分； （2）解：如图，令与的交点为， 在中，， ，，， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：，即的长为； （3）解：分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， ，， 由折叠的性质可知，， 由（1）可知，平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ，不符合题意； ③当时， ，， ，不符合题意， 综上可知，的长为2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第六章 平行四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 (等腰)梯形的定义 题型五 等腰梯形的性质定理 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 判断能否构成平行四边形 题型八 添一个条件成为平行四边形 题型九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型十 证明四边形是平行四边形 题型十一 全等三角形拼平行四边形问题 题型十二 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十三 利用平行四边形性质和判定证明 题型十四 平行四边形性质和判定的应用 题型十五 与三角形中位线有关的求解问题 题型十六 与三角形中位线有关的证明 题型十七 三角形中位线的实际应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点四 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点五 梯形问题的辅助线作法 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点六 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点七 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点八 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的性质求解 【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接．若，，，则平行四边形的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．32 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 题型讲练二 利用平行四边形的性质证明 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，．求证：． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图1，在中，对角线相交于点O，过O点作直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)如图2，若过O点的直线与的延长线分别交于点E，F，能得到（1）中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？ 题型讲练三 平行四边形性质的其他应用 【例3】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图1，E是格点，先作平行四边形，再在边上画点，使． (2)如图2，在延长线上找到一格点，使得，连接，为网格线上一点，在上找一点，使得． 【变式】图1，图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫格点，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： (1)在图1中画（非矩形），使平行四边形的周长为18，所画的平行四边形的顶点必须在小正方形的格点上； (2)在图2中画出一个，三边分别为5、3、，所画的三角形的顶点必须在小正方形的格点上，并且直接写出三角形的面积__________． 题型讲练四 (等腰)梯形的定义 【例4】如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 题型讲练五 等腰梯形的性质定理 【例5】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【变式】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过______，使． 题型讲练六 数图形中平行四边形的个数 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型讲练七 判断能否构成平行四边形 【例7】（25-26八年级下·上海·期中）在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）四边形中，对角线相交于点O，下列不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型讲练八 添一个条件成为平行四边形 【例8】（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【变式】（2026·河北·模拟预测）如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 题型讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例9】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【变式】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． (1)的长为 ； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ． 题型讲练十 证明四边形是平行四边形 【例10】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，相交于点，且，点在上，连接，，若，求证：四边形是平行四边形． 【变式】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 题型讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题 【例11】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（25-26八年级下·上海松江·月考）下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解 【例12】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【变式】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 题型讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明 【例13】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的长为____________． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）学习了平行四边形的性质后，小虎对平行四边形进行了拓展性研究发现：作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交所围成的四边形是平行四边形．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①__________ ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴②______ 在和中： ∵，∴， ∴③______，， ∴， ∴④______ ∴， ∵，． ∴四边形是平行四边形． 题型讲练十四 平行四边形性质和判定的应用 【例14】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【变式】某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 题型讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题 【例15】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，，G为线段的中点，连接，E，F分别为的中点，则的长为______． 【变式】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型讲练十六 与三角形中位线有关的证明 【例16】（25-26八年级下·湖南娄底·期中）在学习了“三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念： 如图，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，线段叫做梯形的中位线． 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明． 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下： 如图所示，连接并延长，与的延长线交于点，…… 请你按照他们的思路继续证明：． 【变式】（25-26八年级下·上海金山·期中）阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 题型讲练十七 三角形中位线的实际应用 【例17】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． (3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 【变式】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·福建南平·期中）在平行四边形中，如果，那么，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（   ） A．26 B．35 C．40 D．52 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，是中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积（   ） A．先减小，再增大 B．先增大，再减小 C．逐渐减小 D．不变 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图的对角线相交于点交于，连接，则的度数为_________________． 5．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在梯形中，，．若，则__________ 6．（25-26八年级下·内蒙古·月考）如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 7．（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）如图，的对角线，交于点，过点作直线，分别交，于点，，求证：． 8．（25-26八年级下·广西玉林·期中）在如图的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图中作一个以为顶点的平行四边形，使点落在格点上； (2)请求出（1）中所作的▱的面积和周长． 9．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 10．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $