专题 5.2 简单的轴对称图形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.2 简单的轴对称图形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】等腰三角形性质 1 【题型 1】等边对等角 2 【题型 2】三线合一 3 【题型 3】利用等边三有形性质求值 4 【知识点二】垂直平分线 5 【题型 4】线段垂直平分线性质 6 【知识点三】角平分线的性质 7 【题型 5】角平分线的性质 7 【知识点四】尺规作图——垂直平分线与角平分线 8 【题型 6】尺规作图——线段垂直平分线作图与求值 9 【题型 7】尺规作图——角平分线作图与求值 10 二.综合培优题型精析 11 【题型 8】等边对等角与三线合一综合 11 【题型 9】等腰三角形性质与角平分线、线段垂直平分线综合 12 【题型 10】角平分线与线段垂直平分线尺规作图综合 13 三.同步检测 14 （一）选择题（8题） 14 （二）填空题（8题） 16 （三）解答题（4题） 18 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】等腰三角形性质 1、等腰三角形相关概念 相等的两边称为腰，两腰所对的角称为底角，另一个角称为顶角，顶角所对的边称为底边。 2、 等腰三角形的性质 （1）对称性：等腰三角形是轴对称图形； （2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴； （3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 【要点提示】（1）等腰三角形只有一条对称轴，特指底边的垂直平分线，腰上的高、中线所在直线不是对称轴；（2）“三线合一”仅限顶角、底边对应的线段，底角的平分线、腰上的高与中线不能混用该性质；（3）等边对等角是证明角相等的常用结论，反过来等角对等边可判定等腰三角形，注意区分性质与判定；（4）做题时看到等腰、垂直、平分、角平分线任一条件，可联想三线合一，简化证明步骤。 【题型 1】等边对等角 【例题1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【变式3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 【题型 2】三线合一 【例题2】（25-26七年级上·山东淄博·月考）小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中，． (1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为，垂足为点E，并且，你同意王云的判断吗？为什么？ (2)设，，请用含a，b的式子表示四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    【变式3】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 3、 等边三角形的性质 （1）三条边长等，属于特殊的等腰三角形。 （2）三个内角都相等，每个角都是 60∘。 （3）三线合一：每条边上的中线、高、对应角平分线重合，有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 【要点提示】（1）等边三角形是特殊等腰三角形，具备等腰三角形所有性质，可直接套用等腰三角形相关结论；（2）三个内角均为 60°，只要三角形中有一个角为60°的等腰三角形，即为等边三角形；（3）等边三角形三边、三角地位完全等同，任意一边都可作底边，任意一角都可作顶角，全线满足三线合一。 【题型 3】利用等边三有形性质求值 【例题3】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，点是边的中点，延长到，使． (1)求证：； (2)尺规作图：在图中，过点作，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】（23-24七年级下·江苏苏州·月考）如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图所示，在等边中，，，则的度数为___，___． 【变式3】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【知识点二】垂直平分线 1、 线段垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2、 线段垂直平分线性质： （1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 【要点提示】（1）线段有两条对称轴，分别为线段的垂直平分线和线段所在直线，切勿只记一条；（2）垂直平分线需同时满足垂直和平分两个条件，缺一不可；（3）核心性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端距离相等，可直接证明线段相等。 【题型 4】线段垂直平分线性质 【例题4】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中边的垂直平分线交的平分线于F，若，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【知识点三】角平分线的性质 （1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； （2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 【要点提示】（1）角的对称轴是角平分线所在直线，不是角平分线射线，注意直线与射线的区别；（2）角平分线性质中的“距离”，特指点到角两边的垂线段长度，非任意线段；（3）可直接利用该性质证明垂线段相等，简化证明，不用全等。 【题型 5】角平分线的性质 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【知识点四】尺规作图——垂直平分线与角平分线 1、 尺规作图——线段垂直平分线： （1） 分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于线段一半的长为半径画弧； （2） 在线段上下两侧各画出两组弧，使两侧弧分别相交； （3） 得到上下两个交点； （4） 过两个交点作直线，这条直线即为该线段的垂直平分线。 2、 尺规作图——角的平分线： （1） 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两条边于两个点； （2） 分别以这两个交点为圆心，选取适当等长为半径； （3） 在角的内部作弧，两弧相交于一点； （4） 连接角的顶点与该交点，所得射线即为这个角的平分线。 【题型 6】尺规作图——线段垂直平分线作图与求值 【例题6】（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【变式3】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【题型 7】尺规作图——角平分线作图与求值 【例题7】（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·月考）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【变式2】（2026·湖南邵阳·一模）如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【变式3】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，点E是直线上一点，是的平分线． (1)作的平分线； (2)求的度数； (3)直接写出的余角． 二.综合培优题型精析 【题型 8】等边对等角与三线合一综合 【例题8】（23-24八年级下·河南郑州·月考）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，在的延长线上取一点，使，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，点D，E在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【题型 9】等腰三角形性质与角平分线、线段垂直平分线综合 【例题9】（25-26八年级上·江西上饶·期中）作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【变式3】（25-26八年级下·四川·期中）如图，中，是边的垂直平分线交边于点E，过点A作于点A，交延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型 10】角平分线与线段垂直平分线尺规作图综合 【例题10】（25-26八年级上·广东广州·期中）亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为________． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 三.同步检测 （一）选择题（8题） 1．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 6．（25-26八年级上·青海果洛·月考）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． （二）填空题（8题） 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 10．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 11．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 12．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 14．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． （三）解答题（4题） 17．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 18．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 19．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 简单的轴对称图形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】等腰三角形性质 1 【题型 1】等边对等角 2 【题型 2】三线合一 4 【题型 3】利用等边三有形性质求值 8 【知识点二】垂直平分线 11 【题型 4】线段垂直平分线性质 12 【知识点三】角平分线的性质 16 【题型 5】角平分线的性质 16 【知识点四】尺规作图——垂直平分线与角平分线 20 【题型 6】尺规作图——线段垂直平分线作图与求值 20 【题型 7】尺规作图——角平分线作图与求值 25 二.综合培优题型精析 28 【题型 8】等边对等角与三线合一综合 28 【题型 9】等腰三角形性质与角平分线、线段垂直平分线综合 32 【题型 10】角平分线与线段垂直平分线尺规作图综合 37 三.同步检测 40 （一）选择题（8题） 40 （二）填空题（8题） 45 （三）解答题（4题） 50 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】等腰三角形性质 1、等腰三角形相关概念 相等的两边称为腰，两腰所对的角称为底角，另一个角称为顶角，顶角所对的边称为底边。 2、 等腰三角形的性质 （1）对称性：等腰三角形是轴对称图形； （2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴； （3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 【要点提示】（1）等腰三角形只有一条对称轴，特指底边的垂直平分线，腰上的高、中线所在直线不是对称轴；（2）“三线合一”仅限顶角、底边对应的线段，底角的平分线、腰上的高与中线不能混用该性质；（3）等边对等角是证明角相等的常用结论，反过来等角对等边可判定等腰三角形，注意区分性质与判定；（4）做题时看到等腰、垂直、平分、角平分线任一条件，可联想三线合一，简化证明步骤。 【题型 1】等边对等角 【例题1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等及平行线内错角相等的性质是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出，再利用平行线性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为是解题的关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度，则顶角为度． 根据三角形内角和定理，得，即， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型 2】三线合一 【例题2】（25-26七年级上·山东淄博·月考）小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中，． (1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为，垂足为点E，并且，你同意王云的判断吗？为什么？ (2)设，，请用含a，b的式子表示四边形的面积． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得四边形的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：同意王云的判断，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，（三线合一定理）； （2）解：∵，， ∴四边形的面积 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，熟练掌握相关的定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， ∴°， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 先利用三线合一得到，进而求出，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：，点是中点， ， ， ，， ， ， ， ，∴， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 3、 等边三角形的性质 （1）三条边长等，属于特殊的等腰三角形。 （2）三个内角都相等，每个角都是 60∘。 （3）三线合一：每条边上的中线、高、对应角平分线重合，有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 【要点提示】（1）等边三角形是特殊等腰三角形，具备等腰三角形所有性质，可直接套用等腰三角形相关结论；（2）三个内角均为 60°，只要三角形中有一个角为60°的等腰三角形，即为等边三角形；（3）等边三角形三边、三角地位完全等同，任意一边都可作底边，任意一角都可作顶角，全线满足三线合一。 【题型 3】利用等边三有形性质求值 【例题3】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，点是边的中点，延长到，使． (1)求证：； (2)尺规作图：在图中，过点作，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由等边三角形性质可得平分，，又，则，然后通过三角形外角性质得，再由等角对等边即可求证； （）根据作垂线的方法即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，点是边的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，即为所求． 【变式1】（23-24七年级下·江苏苏州·月考）如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质得，，再证明得到，则，然后根据三角形外角定理计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图所示，在等边中，，，则的度数为___，___． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了等边三角形三线合一的性质，难度适中．根据等边三角形角平分线与垂直平分线合一的性质即可得出的度数，再根据等边三角形三边相等的性质即可得出的长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：，6． 【变式3】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三线合一，以及等角对等边即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形，是的边上的中线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 【知识点二】垂直平分线 1、 线段垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2、 线段垂直平分线性质： （1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 【要点提示】（1）线段有两条对称轴，分别为线段的垂直平分线和线段所在直线，切勿只记一条；（2）垂直平分线需同时满足垂直和平分两个条件，缺一不可；（3）核心性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端距离相等，可直接证明线段相等。 【题型 4】线段垂直平分线性质 【例题4】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中边的垂直平分线交的平分线于F，若，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，，则，，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由得等腰三角形，计算的度数，再由 MN 垂直 AB，在中求的度数； （2）与（1）步骤相同，代入计算； （3）设 为，用代数推导与的关系，证明规律． 【详解】（1）解：，， ． 垂直平分， ． （2）解：由（1）可知，． 垂直平分， ． （3）解：规律是． 证明：设，则有， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【知识点三】角平分线的性质 （1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； （2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 【要点提示】（1）角的对称轴是角平分线所在直线，不是角平分线射线，注意直线与射线的区别；（2）角平分线性质中的“距离”，特指点到角两边的垂线段长度，非任意线段；（3）可直接利用该性质证明垂线段相等，简化证明，不用全等。 【题型 5】角平分线的性质 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、中线的定义、角平分线的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）通过倍长中线法（延长到，使）构造全等三角形，将、和转化到同一个三角形中，再利用三边关系求出的范围，进而得到的范围． （2）利用中线定义，结合的周长，通过等量代换计算的周长． （3）利用角平分线的性质得到点到的距离，再分别计算两个小三角形的面积并求和． 【详解】（1）解：在中∵，，． ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是的角平分线，点到边的距离为， ∴点到边的距离也为， ∵，，， ∴， ∴． 【知识点四】尺规作图——垂直平分线与角平分线 1、 尺规作图——线段垂直平分线： （1） 分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于线段一半的长为半径画弧； （2） 在线段上下两侧各画出两组弧，使两侧弧分别相交； （3） 得到上下两个交点； （4） 过两个交点作直线，这条直线即为该线段的垂直平分线。 2、 尺规作图——角的平分线： （1） 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两条边于两个点； （2） 分别以这两个交点为圆心，选取适当等长为半径； （3） 在角的内部作弧，两弧相交于一点； （4） 连接角的顶点与该交点，所得射线即为这个角的平分线。 【题型 6】尺规作图——线段垂直平分线作图与求值 【例题6】（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）解：边的中垂线，如图1即为所求； （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 【变式1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【答案】55 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数，即可作答． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【题型 7】尺规作图——角平分线作图与求值 【例题7】（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明可得，从而可得平分;; （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，作射线，则平分． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴, ∴, 即平分； （2）解：如图，是的平分线． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·月考）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】过点G作于点H，证明，可求，当点P与点H重合时，取最小值，即可求得此时的长． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 当点P与点H重合时，取最小值，此时． 【变式2】（2026·湖南邵阳·一模）如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【答案】/40度 【分析】由作图可得平分，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，点E是直线上一点，是的平分线． (1)作的平分线； (2)求的度数； (3)直接写出的余角． 【答案】(1)见解析 (2) (3)和 【分析】（1）根据角平分线的作法画图； （2）根据角平分线的性质求出角之间的关系； （3）根据余角定义进行求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴的余角为和． 【点睛】重点掌握角平分线的作法和性质，余角的定义． 二.综合培优题型精析 【题型 8】等边对等角与三线合一综合 【例题8】（23-24八年级下·河南郑州·月考）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，在的延长线上取一点，使，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，由得，进而得，然后根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，于点D， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，点D，E在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）利用等腰三角形三线合一的性质进行证明即可； （2）通过构造辅助线，利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质进行线段的等量代换和计算． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作于点H， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型 9】等腰三角形性质与角平分线、线段垂直平分线综合 【例题9】（25-26八年级上·江西上饶·期中）作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形重心的相关知识，线段垂直平行线的判定和性质等知识． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出M，N分别为和的中点，则连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）连接，它们相交于点O，延长，它们相交于V点，通过证明可判断垂直平分，同理可证点S在的垂直平分线上，从而得到，则，即． 【详解】（1）解：连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点C作于H，连接，先证明是的垂直平分线得到，进而推出当、在上时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵，是边上的高， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当、在上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·四川·期中）如图，中，是边的垂直平分线交边于点E，过点A作于点A，交延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知，，证明，即可证明； （2）连接，根据余角的定义求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形三线合一得到，，根据等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：由线段垂直平分线可知，，， ， ， ∴， 在△和△中，， ， ； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． 【题型 10】角平分线与线段垂直平分线尺规作图综合 【例题10】（25-26八年级上·广东广州·期中）亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的定义及其尺规作图，三角形内角和定理，等边对等角，由作图方法可得垂直平分，平分，由等边对等角得到，再由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟悉角平分线的性质：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，角平分线的尺规作图方法，是解题的关键． 将“凉亭到小路的距离相等”转化为“点在与相交所成角的平分线上”，判断点为的角平分线与的交点的作图即可． 【详解】解：甲方案：在的垂直平分线上， 到的距离相等，不一定到和的距离相等， 乙方案：平分， 由角平分线的性质定理可得：到小路的距离相等， ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 【答案】B 【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 【答案】1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线平分线段是解题的关键． 先由垂直平分线的性质求出的长度，再利用角平分线的性质，得到点到直线的距离等于． 【详解】解：过点作 于点 ∵是 的垂直平分线，且 ∴是的中点， ∵，即 ∴点到直线的距离为 ∵平分 ∴点到直线 的距离等于点到直线的距离 ∴点到直线的距离为． 故答案为：． 三.同步检测 （一）选择题（8题） 1．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，根据即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴的周长是． 故选：B． 3．（20-21八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 4．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 6．（25-26八年级上·青海果洛·月考）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出的度数，结合，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】， ， ， ， 由折叠的性质得：， ． 8．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，以及角的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知，，计算出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：C． （二）填空题（8题） 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 10．（25-26八年级上·广东江门·月考）如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 11．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图—作线段和作线段的垂直平分线，由作图知，，垂直平分线段，则，则由即可求得周长． 【详解】解：由作图知，，垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12． 12．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【分析】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【答案】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． （三）解答题（4题） 17．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 18．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）证明即可． 【详解】（1）解：射线即为所求； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 19．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质得出，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵为中垂线， ， ， 由作图可得，， ， ， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 根据题意， ， ． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 【答案】（感知）角平分线上的点到两边距离相等 （探究） （应用） 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解． （感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理． （探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比． （应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $