专题5.2 简单的轴对称图形（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.2 简单的轴对称图形（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 性质： 1.等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”。 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，也称 “三线合一”。 3.等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等。 【知识点2】线段的垂直平分线 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 对称性：线段是轴对称图形，有两条对称轴，一条是它的垂直平分线，另一条是它本身所在的直线。 【知识点3】角的平分线 对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的作法：在角的两边截取相等的线段，分别以这两个点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径作弧，两弧相交于一点，过角的顶点和这个交点的射线就是角平分线。 考点与题型目录 【考点一】等腰三角形 【题型1】等边对等角...........................................................2 【题型2】三线合一.............................................................3 【考点二】线段的垂直平分线 【题型3】线段垂直平分线的性质.................................................3 【题型4】线段垂直平分线的判定.................................................4 【题型5】作已知线段的垂直平分线...............................................5 【考点三】角的平分线 【题型6】角平分线的性质定理...................................................6 【题型7】作角平分线（尺规作图）...............................................6 【考点四】最短路径问题 【题型8】根据轴对称性质解决最短路径问题.......................................7 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接.............................................................9 【题型10】拓展延伸............................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】等腰三角形 【题型1】等边对等角 【例1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为 ． 【题型2】三线合一 【例2】（2025·湖北孝感·一模）如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ． 【考点二】线段的垂直平分线 【题型3】线段垂直平分线的性质 【例3】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． （1）求的面积； （2）连接，求的周长． 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【变式2】（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【题型4】线段垂直平分线的判定 【例4】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 【变式1】（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5】作已知线段的垂直平分线 【例5】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F两点作直线交于点D，连接，的周长是10，则长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 【考点三】角的平分线 【题型6】角平分线的性质定理 【例6】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． （1）用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； （2）若，，，求点到的距离． 【变式1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【题型7】作角平分线（尺规作图） 【例7】（2025·广西南宁·一模）如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 【考点四】最短路径问题 【题型8】根据轴对称性质解决最短路径问题 【例8】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接 【例1】（2021·浙江台州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 ． 【例2】如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，直线交轴，轴于，两点，， （1）求A点坐标． （2）的角平分线交于点，点，分别在线段，上（点，都不与点B重合），连接，，，且，求证：平分． 【例2】（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 简单的轴对称图形（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 性质： 1.等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”。 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，也称 “三线合一”。 3.等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等。 【知识点2】线段的垂直平分线 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 对称性：线段是轴对称图形，有两条对称轴，一条是它的垂直平分线，另一条是它本身所在的直线。 【知识点3】角的平分线 对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的作法：在角的两边截取相等的线段，分别以这两个点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径作弧，两弧相交于一点，过角的顶点和这个交点的射线就是角平分线。 考点与题型目录 【考点一】等腰三角形 【题型1】等边对等角...........................................................2 【题型2】三线合一.............................................................4 【考点二】线段的垂直平分线 【题型3】线段垂直平分线的性质.................................................7 【题型4】线段垂直平分线的判定.................................................9 【题型5】作已知线段的垂直平分线..............................................12 【考点三】角的平分线 【题型6】角平分线的性质定理..................................................14 【题型7】作角平分线（尺规作图）..............................................16 【考点四】最短路径问题 【题型8】根据轴对称性质解决最短路径问题......................................18 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接............................................................22 【题型10】拓展延伸...........................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】等腰三角形 【题型1】等边对等角 【例1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 【答案】小明的思路有道理，见分析 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由操作可知，由等边对等角得，根据得，所以，即可得解． 解：小明的思路有道理，理由如下： 由操作可知， ， ， ， ， 平分． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角得，由等腰三角形三线合一性质得是中边上的高，推出，最后由可得答案．掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴是中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分别根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】三线合一 【例2】（2025·湖北孝感·一模）如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 解：证明：，， 在和中 ． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，可判断A选项正确；由等腰三角形的性质得垂直平分，可判断B选项正确；由，，推导出，可判断C选项正确；举“反例”，，则，所以，说明与不一定相等，可判断D选项错误． 解：在和中， ， ， ， 平分，故A选项正确； ，平分， 垂直平分，故B选项正确； ，， ，故C选项正确； 假设，，则， ， 与不一定相等，故D选项错误； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 解：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为：10． 【考点二】线段的垂直平分线 【题型3】线段垂直平分线的性质 【例3】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． （1）求的面积； （2）连接，求的周长． 【答案】（1）16；（2）12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 解：（1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为． 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 【变式2】（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点E，交于点F，当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当B、P、Q三点共线，且时，最小， 过点B作于点E，交于点F，如图所示： ∴当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【题型4】线段垂直平分线的判定 【例4】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 解：（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 【变式1】（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来验证筝形的性质． 根据全等三角形的判定和性质逐个证明即可得到结果． 解：在和中 ， 故③正确； 在与中， ， ， 故①②正确， 综上①②③正确，正确的结论共3个， 故选：D． 【题型5】作已知线段的垂直平分线 【例5】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质， 先分别以A，B为圆心，以大于的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置，根据线段垂直平分线的性质即可得出小水塘的位置到A、B两块田地的距离相等． 解：小水塘的位置如下图所示： 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F两点作直线交于点D，连接，的周长是10，则长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：12． 【考点三】角的平分线 【题型6】角平分线的性质定理 【例6】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． （1）用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； （2）若，，，求点到的距离． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 解：（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：过点作，垂足为． 由（1）得平分， 又， ，即到的距离为3． 【变式1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质、三角形面积公式、等面积法求线段长等知识，过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案．熟记角平分线性质是解决问题的关键． 解：过点作于点，如图所示：   是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积为7，， ，即， ， 解得， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的点到角两边的距离相等．连接，过作，，根据角平分线的性质，利用进行计算即可． 解：如图，连接，过作，， 则：， ∴， 即：， ∵的周长是21， ∴； 故答案为：． 【题型7】作角平分线（尺规作图） 【例7】（2025·广西南宁·一模）如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线即可； （2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证． 解：（1）解：如图所示，，，即为所求； （2）解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质．通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可． 解：∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图， 根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据作法可知：是的平分线， ∴， 故答案为：． 【考点四】最短路径问题 【题型8】根据轴对称性质解决最短路径问题 【例8】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 解：连接，， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴，解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：17． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接 【例1】（2021·浙江台州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 ． 【答案】6 【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解． 解：由作图可得DF垂直平分线段AB， ∴， ∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴△AFH的周长， 故答案为：6． 【点拨】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 【例2】如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 解：（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴根据三角形内角和可得， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，直线交轴，轴于，两点，， （1）求A点坐标． （2）的角平分线交于点，点，分别在线段，上（点，都不与点B重合），连接，，，且，求证：平分． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了点的坐标，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：构造全等三角形． （1）设，，根据三角形面积公式，求出，即可求解， （2）根据角平分线性质定理，构造，得到，，进而证明，即可得证． 解：（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴，即：，解得：， ∴，，； （2）解：作，垂足为，在射线上截取一点，使， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即：， ，即：， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，即：平分． 【例2】（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）    （2）   （3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）作，交于点，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$