精品解析：贵州省2026年初中学业水平适应性考试数学试题卷

2026年初中学业水平适应性考试 数学试题卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式闭卷 2.一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题枧为无效． 3.不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 3的相反数的是（ ） A. 3 B. -3 C. D. 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位 和座椅靠背 的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背 与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某校5个班级在募捐活动中的捐书数量（单位：本）为：20，40，40，50，50．若捐书最少的班级又多捐了20本，分析这5个班的捐书数据，不受影响的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 方差 D. 中位数 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，长度分别为半径，圆心角形成的扇面，若米， 米，则阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 9. 国产 大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．某班课后服务期间开展 大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、天工、三个不同的 软件，小伟和小红两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个 的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 11. 赵爽是我国著名的数学家，他发明的“赵爽弦图”（四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形）巧妙的证明了勾股定理，如图所示，若大正方形的面积是16，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边长分别是，则 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 12. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论： ①； ②当 时，y随x的增大而增大； ③二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为 ； ④； 其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 分解因式：____________． 14. 若m，n是方程的两根，则 的值是______． 15. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交 于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若 ，，则的面积为______． 16. 如图，在中， ，延长到D，使得，连接．取的中点E，连接，连接 并延长交于点F，若，且，则的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）在①，②，③中任选2个方程组成二元一次方程组，并求出方程组的解． 18. 为推进“体教融合”，助力学生全面发展，某校组织九年级学生参加游泳比赛，项目有：A.100米蛙泳，B.100米自由泳，C.100米蝶泳，D.100米仰泳，E.200米混合泳．体育兴趣小组随机抽取部分学生对游泳技能情况进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有______人，m的值为______，并补全条形图． （2）扇形图中，项目B对应的圆心角度数是多少？ （3）若该校九年级有600名学生，估计报名项目为A和B（100米蛙泳和100米自由泳）的共有多少人？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的表达式和n的值： （2）若点M是线段上一点，过点M作轴交反比例函数图象于点N，若点N的横坐标为 ，求线段的长． （3）直接写出关于x的不等式的解集为______． 20. 如图，在矩形 中，连接对角线，某数学兴趣小组要在上找两个点M，N，使四边形 为平行四边形，现兴趣小组的甲、乙两名同学的方案如下： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图所示，在取点M、N，使得 ． 如图所示，作 于点M， 于点N． 请回答下列问题： （1）选择其中一名同学的方案，并证明四边形 为平行四边形； （2）在矩形 中，，求乙同学作的平行四边形 的面积． 21. 赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，他进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角α是度，米． 【数据应用】晷针、晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖A到晷盘中心B的水平距离 ，均在同一平面内． 请根据上述数据，解决下列问题： （1）求该晷针北极端的长度（结果保留根号或精确到 ）； （2）求晷针的针尖A到地面的垂直高度（结果保留根号或精确到 ）． （参考数据，，） 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中 、 两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知 款手表的进价比 款手表每块多元．该商店用元购进 款手表的数量，与用元购进 款手表的数量相等． （1）求 款、 款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块 款手表利润元，每块 款手表利润 元．求全部售出后可获得的最大总利润． 23. 如图，为的直径，点D在上，平分 交于点C，过点C作直线 交的延长线于点E，连接交于点F． （1）写出图中一个与 相等的角：______； （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 24. “爆竹声声一岁除，春风送暖入屠苏．”燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，小明在安全区域燃放一款名为“鸿运当头”的烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线． 【数学建模】以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面面上的B点． 【建立模型】 （1）求该抛物线的函数表达式： 【数据计算】 （2）小明点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为3米处，是否存在安全隐患，请说明理由； 【解决问题】 （3）设喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且抛物线的顶点都在直线上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点，设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点 ，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时抛物线中a的取值范围． 25. 如图，在菱形 中， ，点E在上，作射线． 【动手操作】 （1）如图①，点E在线段上，将射线绕点D逆时针旋转与线段交于点F，根据题意在图中画出图形，则图中 ______ ， 与 的数量关系是：______； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，探究线段、的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，若点E为射线上一动点，连接，将射线绕点D逆时针旋转与射线交于点F，连接，若，当 时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平适应性考试 数学试题卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式闭卷 2.一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题枧为无效． 3.不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 3的相反数的是（ ） A. 3 B. -3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，这是中考的必考点，必须熟练掌握． 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察立体图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答． 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：要使有意义，则， 解得． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项，得到正确结果. 【详解】对选项A： ∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变， ∴，A错误； 对选项B： ∵积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，B错误； 对选项C： ∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变， ∴，计算正确，C正确； 对选项D： ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，D错误. 综上，答案选C. 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位 和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，  ，     ，   ． 6. 某校5个班级在募捐活动中的捐书数量（单位：本）为：20，40，40，50，50．若捐书最少的班级又多捐了20本，分析这5个班的捐书数据，不受影响的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】写出数据变化前后的各统计量，再逐项判断即可． 【详解】解：原捐书数据从小到大排列为：，捐书最少的班级多捐20本后，新数据从小到大排列为： A．原众数为和，新众数为，众数改变，不符合要求； B．原总和为，平均数为，新总和为，平均数为，平均数改变，不符合要求； C．方差反映数据波动程度，新数据的波动变小，因此方差变小，不符合要求； D．原数据共个数，中位数为第个数，即，新数据共个数，中位数仍为第个数，即，中位数不变，符合要求． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解题的关键．先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：C． 8. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，长度分别为半径，圆心角形成的扇面，若米， 米，则阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用大扇形的面积减去小扇形的面积即可． 【详解】解： ． 9. 国产 大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．某班课后服务期间开展 大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、天工、三个不同的 软件，小伟和小红两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列表确定所有等可能的结果数以及满足条件的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：将三个不同AI分别记为A，B，C． A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 则共有9种等可能结果，小伟和小红两位同学选择同一个 的结果数有3种， 所以两人选择同一个 的概率为． 10. 如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得： ， ∴方程的解是 ． 11. 赵爽是我国著名的数学家，他发明的“赵爽弦图”（四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形）巧妙的证明了勾股定理，如图所示，若大正方形的面积是16，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边长分别是，则 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和，建立等量关系求解． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为， ∵ 大正方形的面积是16，小正方形的面积是4， ∴ 四个直角三角形的面积之和为， ∵ 每个直角三角形的面积为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 12. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论： ①； ②当 时，y随x的增大而增大； ③二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为 ； ④； 其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口向上，可得 ，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当 时，，据此可判断③④． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与 轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当 时，y随x的增大而增大；故②正确， ∴， ∴，故①正确， 二次函数 的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为 ，故③正确， ∴由函数图象可知，当 时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 若m，n是方程的两根，则 的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程整理为一般形式，再利用根与系数的关系直接计算两根之和即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， ， 是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，． 15. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交 于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若 ，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】可求出，由作图方法可知，平分，则，据此可求出的长，由，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16. 如图，在中， ，延长到D，使得，连接．取的中点E，连接，连接 并延长交于点F，若，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，，，如图，过 作交 的延长线于 ，再进一步利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵ ，的中点为E，， ∴ ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 如图，过 作交 的延长线于 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）在①，②，③中任选2个方程组成二元一次方程组，并求出方程组的解． 【答案】（1） （2） 解：选①和②解答如下： ， ②-①得： ， 将 代入①得，解得： ， 所以该方程组的解为． 选①和③解答如下： ， ①+③得：，解得 将代入①得，解得：， 所以该方程组的解为． 选②和③解答如下： ， ②+③得：，解得 将代入②得，解得：， 所以该方程组的解为． 【解析】 【分析】（1）先利用绝对值、零次幂、二次根式的性质化简，然后再计算即可； （2）任选2个组成方程组，再运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 略 18. 为推进“体教融合”，助力学生全面发展，某校组织九年级学生参加游泳比赛，项目有：A.100米蛙泳，B.100米自由泳，C.100米蝶泳，D.100米仰泳，E.200米混合泳．体育兴趣小组随机抽取部分学生对游泳技能情况进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有______人，m的值为______，并补全条形图． （2）扇形图中，项目B对应的圆心角度数是多少？ （3）若该校九年级有600名学生，估计报名项目为A和B（100米蛙泳和100米自由泳）的共有多少人？ 【答案】（1）， ，补全条形统计图为： （2） （3） 人 【解析】 【分析】（1）先由A的人数除以占比求解本次调查的学生人数，然后由减去A、C、DE的占比即可求解，由调查得人数乘以D的占比求解D的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以项目B的占比即可求解圆心角； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：调查的人数： （人）， ， D的人数为： ， ∴参与本次调查的学生共有人，m的值为 ， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： （人）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的表达式和n的值： （2）若点M是线段上一点，过点M作轴交反比例函数图象于点N，若点N的横坐标为 ，求线段的长． （3）直接写出关于x的不等式的解集为______． 【答案】（1）， （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出一次函数的表达式，然后求出点的坐标，再由轴得到，即可求解点的坐标，即可求解； （3）将原不等式化为，再由函数图象求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点和点． ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 【小问2详解】 解：由（1）可得， 将点，代入 则 解得 ∴ ∵点的横坐标为 ， ∴ ∴ ∵轴， ∴， 将代入，则， 解得 ∴ ∴； 【小问3详解】 解： ∵，， ∴的解集为． 20. 如图，在矩形中，连接对角线，某数学兴趣小组要在上找两个点M，N，使四边形 为平行四边形，现兴趣小组的甲、乙两名同学的方案如下： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图所示，在取点M、N，使得 ． 如图所示，作 于点M， 于点N． 请回答下列问题： （1）选择其中一名同学的方案，并证明四边形 为平行四边形； （2）在矩形中，，求乙同学作的平行四边形 的面积． 【答案】（1） 证明：选择甲同学： 连接交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形 是平行四边形； 选择乙同学： ∵ ， ∴ ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ∴， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）选择甲同学：连接交 于点 ，通过对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；选择乙同学：先证明，然后证明，则 ，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先由勾股定理求解，然后对运用等面积法求解，再由勾股定理求解 ，然后求出，即可求解面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴平行四边形 的面积． 21. 赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，他进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角α是度，米． 【数据应用】晷针、晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖A到晷盘中心B的水平距离 ，均在同一平面内． 请根据上述数据，解决下列问题： （1）求该晷针北极端的长度（结果保留根号或精确到 ）； （2）求晷针的针尖A到地面的垂直高度（结果保留根号或精确到 ）． （参考数据，，） 【答案】（1） 米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点 作于点，利用余弦函数求解； （2）得出，利用正弦函数求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点 作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图所示， 由（1）得，且， ∴， ∴（米）． 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中 、 两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知 款手表的进价比 款手表每块多元．该商店用元购进 款手表的数量，与用元购进 款手表的数量相等． （1）求 款、 款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块 款手表利润元，每块 款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】（1） 款手表每块进价元， 款手表每块进价 元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设 款手表每块进价元， 款手表每块进价元，根据“用元购进 款手表的数量，与用元购进 款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进 款手表（为正整数）块，则购进 款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块 款手表利润元，每块 款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设 款手表每块进价元， 款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴ 款手表每块进价元， 款手表每块进价 元； 【小问2详解】 解：设购进 款手表（为正整数）块，则购进 款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进 款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当 时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 23. 如图，为的直径，点D在上，平分 交于点C，过点C作直线 交的延长线于点E，连接交于点F． （1）写出图中一个与 相等的角：______； （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 【答案】（1） （任意一个即可） （2） 证明：连接， ∵ ， ∴ ， 由（1）得 ， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，而 ，然后根据角平分线得到 ，再根据互余的关系求解即可； （2）连接，然后证明 ，即可得到 ，即可证明； （3）由 ，可得 ，继而求出 ，再由勾股定理求解，然后由 即可求解． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴与 相等的角有： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 24. “爆竹声声一岁除，春风送暖入屠苏．”燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，小明在安全区域燃放一款名为“鸿运当头”的烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线． 【数学建模】以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面面上的B点． 【建立模型】 （1）求该抛物线的函数表达式： 【数据计算】 （2）小明点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为3米处，是否存在安全隐患，请说明理由； 【解决问题】 （3）设喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且抛物线的顶点都在直线上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点，设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点 ，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时抛物线中a的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）解：不存在安全隐患，理由如下： 当时，， ∴当时，火星已经落地，不存在安全隐患； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入解析式求出函数值即可判断； （3）将代入，求出；将代入，求出，由抛物线的顶点坐标为，且抛物线的顶点都在直线上，得，求得，得，由，得，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为，将点代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将代入， 得， 解得(为发射点，舍去）， ∴； 将代入， 整理得， 解得(为发射点，舍去），或， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点都在直线上， ∴， 整理得， ， 解得（此时抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去）或， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴或， 解得． 25. 如图，在菱形中， ，点E在上，作射线． 【动手操作】 （1）如图①，点E在线段上，将射线绕点D逆时针旋转与线段交于点F，根据题意在图中画出图形，则图中 ______ ， 与 的数量关系是：______； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，探究线段、的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，若点E为射线上一动点，连接，将射线绕点D逆时针旋转与射线交于点F，连接，若，当 时，求的长． 【答案】（1） 如图所示， 60， （2） ，理由 解：由（1）得， ， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画图，证明出 是等边三角形，得到， ，然后证明出，得到 ； （2）由全等三角形的性质求解； （3）如图，过点E作 于点G，首先求出 ，然后根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在菱形中， ， ∴，， ∴ 是等边三角形， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点E作 于点G，连接 ， 由（1）得， 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 如图，当点E在线段上时， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ， ∴ ， 由旋转得，， ∴ 是等边三角形， ∴； 如图，当点E在段线的延长线上时， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ， ∴ ， 由旋转得，， ∴ 是等边三角形， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $