专题02 排列与排列数15种常见考法归类讲义（97题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题02 排列与排列数15种常见考法归类（97题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 排列的概念 考点二 列举法解决排列问题 考点三 画树状图解决排列问题 考点四 利用排列数公式求值 考点五 利用排列数解方程或不等式 考点六 利用排列数公式证明恒等式 考点七 无限制条件的排列问题 考点八 特殊元素或特殊位置问题 考点九 “相邻”问题 考点十 “不相邻”问题 考点十一 “相邻”与“不相邻”综合 考点十二 定序问题 考点十三 间接法 考点十四 数字排列问题 考点十五 排列的综合应用 知识点1 排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 注：(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”. (2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. 知识点2　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同． 知识点3 排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 注：排列与排列数不相同，排列数是元素排列的个数，两者显然不同． 知识点4　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 知识点5 求解排列应用问题的六种常用方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 策略方法 1. 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 判断依据：是否与顺序有关。 变换元素位置，若结果发生改变 → 与顺序有关 → 排列问题 变换元素位置，若结果不发生改变 → 与顺序无关 → 组合问题（非排列） 排列的两大要素：① 从n个不同元素中取出m个元素；② 按照一定顺序排成一列。 2. 树形图法解决排列问题 适用场景：元素个数较少、需要一一列举、分类清晰的简单排列问题。 画法步骤： （1）定首位：以某一元素在首位为标准，依次确定首位所有可能，作为第一层分支； （2）定后续位：在每一个分支上，继续按余下元素确定第二位、第三位……； （3）写完型：按分支依次写出完整排列，保证不重、不漏。 优点：直观、易懂、不易错，适合基础题与课堂示范。 3. 简单排列问题的通用解题思路 核心依据：分步乘法计数原理 常用两种分析角度： 元素分析法：先考虑有约束条件的特殊元素，再安排无约束的普通元素； 位置分析法：先考虑有限制的特殊位置（如首位、个位、末位），再填充其余位置。 4. 排列数公式的选择与使用技巧 （1）乘积形式 适用：直接计算具体数值、填空题、选择题快速求值。 （2）阶乘形式 适用：解方程、解不等式、证明恒等式、化简含阶乘的式子。 （3）常用规定 5. 排列应用问题6大标准解法（最核心） （1）优先法——特殊元素/特殊位置问题 适用：某些元素只能在/不在某些位置，或某些位置只能放/不能放某些元素。 做法： 优先排特殊元素或特殊位置； 再排剩余普通元素/位置。 （2）捆绑法——“相邻”问题 适用：题干出现“必须相邻”“连在一起”“不分开”等要求。 做法： 先捆绑：把相邻元素看成一个整体（大元素）； 再排序：将整体与其他元素一起全排列； 松绑排内部：对捆绑在一起的元素内部再全排列；（注意内部元素是否同元） 总方法数：两步结果相乘。 （3）插空法——“不相邻”问题 适用：题干出现“不能相邻”“不连在一起”“互不相邻”等要求。 做法： 先排无限制元素，形成若干空隙（包括两端）； 再插空：把要求不相邻的元素放入空隙中； 总方法数：两步结果相乘。 （4）除序法——“定序问题” 适用：某些元素相对顺序固定（如“A必须在B左边”“甲乙丙顺序不变”）。 做法： 先对所有元素全排列； 再除以“定序元素”的全排列数（抵消重复顺序）； 公式： （5）间接法（排除法）——正难则反 适用：正面情况多、复杂、不好列式；反面情况少、易计算。 做法： 总排列数 − 不符合条件的排列数 = 符合条件的排列数。 提醒：注意是否有多重限制，避免多减、漏减。 （6）直接法——无限制/简单限制 适用：限制条件少、可直接分步计算。 做法：按位置或元素依次分析，直接列式计算。 6. 排队问题综合解题套路 (1)相邻 ➝ 捆绑法 (2)不相邻 ➝ 插空法 (3)定序 ➝ 除序法 (4)在/不在某位置 ➝ 优先法 (5)正面复杂 ➝ 间接法 (6)元素少、易列举 ➝ 树形图/列举法 7. 数字排列问题高频要点 (1)0不能在首位（最易错点），首位优先排非0数字； (2)偶数：个位必须是0、2、4、6、8；奇数：个位必须是1、3、5、7、9； (3)比某数大/小：从最高位到最低位依次比较，分类讨论； (4)密码、电话号码、车牌、回文数：均与顺序有关，一律按排列处理； (5)卡片/数字可重复：注意是否“放回”，不可直接用排列数。 8. 排列问题常见易错提醒 (1)混淆排列（有序）与组合（无序）； (2)忽略0不能在首位； (3)捆绑法忘记排内部顺序； (4)插空法数错空隙个数； (5)定序问题忘记除以定序元素的全排列； (6)间接法多减或漏减不符合条件的情况； (7)排列数公式下标、上标写反，计算出错。 考点一 排列的概念 1．【多选】（2026高二·重庆·期中）下列问题中，属于排列问题的是（   ） A．从5人中选2人担任正、副组长 B．从5人中选2人参加演讲比赛 C．从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D．从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 2．【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 3．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 4．（2026高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 5．【多选】（2026高二·全国·寒假作业）已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从中选出3个字母；④从这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，其中是排列问题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 7．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 考点二 列举法解决排列问题 8．（2026高二·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 9．（2026高二·全国·课后作业）请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 10．（2026高二·江苏·专题练习）写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 11．（2026高二·全国·课后作业）（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 12．（2026高二·全国·课后作业）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法. 考点三 画树状图解决排列问题 13．（2026高二·江苏·专题练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 14．（2026高二·全国·课后作业）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 15．（2026高二·全国·课后作业）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答． 考点四 利用排列数公式求值 16．（2026高二·江苏镇江·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 17．（2026高二·湖北武汉·期中）若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 18．（2026高二·湖北十堰·月考）计算：（    ） A．120 B．90 C．60 D．30 19．（2026高二·四川遂宁·月考）的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 20．（2026高二·上海·月考）若n为正整数，用排列数表示______． 21．（2026高二·全国·课后作业）计算：________． 22．（2026高二·全国·课堂例题）计算：. 考点五 利用排列数解方程或不等式 23．（2026高二·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 24．（2026高二·安徽·月考）已知，则n的值为____. 25．（2026高二·吉林·期末）若，则_________. 26．（2026高二·全国·课堂例题）求中的x． 27．（2026高二·山东聊城·期中）满足不等式（）的的值可能为（   ） A．8 B．9 C．7 D．11 28．（2026高二·河北保定·期中）若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 29．（2026高二·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 30．（2026高二·湖北襄阳·月考）（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 31．（2026高二·安徽芜湖·期中）（1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 32．（2026高二·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 考点六 利用排列数公式证明恒等式 33．（2026高二·全国·课堂例题）证明： ． 34．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 36．（2026高二·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 37．（2026高二·全国·课堂例题）求证：． 考点七 无限制条件的排列问题 38．（2026高二·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 39．（2026高二·江苏泰州·期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 40．（2026高二·浙江·期中）将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（    ） A． B． C． D． 考点八 特殊元素或特殊位置问题 41．（2026高二·浙江·期中）从含甲和乙的六人中选四人参加学校接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选中乙，则乙不跑第四棒，则不同的参赛方案共有（    ）种 A．72 B．84 C．108 D．120 42．（2026高二·江苏无锡·期中）某班上午要上语文、数学、外语和体育四门课，外语老师因故不能上第三节和第四节，不同的排课方法有（   ） A．6种 B．8种 C．12种 D．20种 43．（2026高二·重庆·月考）立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．52种 44．（2026高二·重庆江津·月考）某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 45．（2026·重庆·模拟预测）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 考点九 “相邻”问题 46．（2026高二·河北衡水·月考）将、、、、这个字母排成一排，若c与e必须相邻，则不同的排法种数（ ） A． B． C． D． 47．（2026高二·江苏淮安·月考）四个人站在一排，其中甲乙必须站在一起，则不同站法种数为（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 48．（2026高二·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 49．（2026高三·云南楚雄·月考）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（    ）种不同的排法. A．528 B．312 C．264 D．216 50．（2026高二·北京海淀·期中）有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 51．（2026高二·江苏南京·月考）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 52．（2026高二·广东·期中）甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标B，C，D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（    ） A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种 53．（2026高二·重庆·月考）重庆大学和西南大学各派4人参加重庆市大学生辩论赛，比赛结束后8人分两排合影留念，最佳辩手（两校各一名）站在前排，其余人站后排，同校选手相邻，则不同的站法有（   ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 54．（2026高二·河南·期中）含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（   ） A．12 B．16 C．32 D．34 55．（2026高二·四川德阳·月考）某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（   ）种 A．4 B．8 C．12 D．24 考点十 “不相邻”问题 56．（2026高二·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 57．（2026高二·河南商丘·月考）参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 58．（2026高二·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 59．（2026·湖南·模拟预测）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 60．（2026高二·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 61．（2026高二·山东青岛·月考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 62．（2026高三·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（   ） A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 考点十一 “相邻”与“不相邻”综合 63．（2026高二·湖北武汉·期中）有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 64．（2026高二·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 65．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 66．（2026高二·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 67．（2026·上海闵行·模拟预测）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 68．（2026高二·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 69．（2026·陕西西安·模拟预测）一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（    ） A．48种 B．72种 C．144种 D．216种 70．（2026高三·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 考点十二 定序问题 71．（2026高二·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 72．（2026高三·全国·专题练习）五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 73．（2026高二·全国·专题练习）7个人按照下列要求排成一纵队：A，B，C三人的前后顺序一定，有多少种不同的排法？（用数字作答） 74．（2026高二·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 75．（2026高三·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 76．（2026高二·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 77．（2026高二·全国·课后作业）如图，某码头边叠放着两堆集装箱，一堆4个，一堆3个．现需要将它们全部搬到货船上，每次只能搬其中一堆最上面的1个集装箱，则搬运方案共有______种． 考点十三 间接法 78．（2026高三·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 79．（2026高二·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 80．（2026高三·广东广州·月考）在中不重复地选取4个数字，共能组成（    ）个不同的四位数. A．96 B．18 C．120 D．84 81．（2026高三·上海·随堂练习）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为_______． 82．（2026高二·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有_______种.（用数字作答） 考点十四 数字排列问题 83．（2026高二·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 84．（2026高二·宁夏吴忠·期中）由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（   ） A．360 B．180 C．156 D．150 85．（2026·陕西榆林·模拟预测）在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 86．（2026高二·河南郑州·月考）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）． (1)求可组成多少个四位数； (2)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数． 87．（2026高二·浙江温州·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个不含0的四位数？ (2)能组成多少个被5整除的四位数？ (3)能组成多少个小于1000的数？ 考点十五 排列的综合应用 88．（2026高二·福建福州·期中）尚德中学某班级6个学生在活动中拍照，其中男女生各3个. (1)6人要求站两排，女生站前排，有多少种排法；（列式并用数字作答） (2)6人要求站一排，男生不相邻，有多少种排法；（列式并用数字作答） (3)6人要求站一排，3名男生中有且只有甲乙两个男生相邻；（列式并用数字作答） 89．（2026高二·广东清远·期中）包含甲乙丙在内的7人站成一排. (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 90．（2026高二·重庆·期中）在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. (1)若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； (2)若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； (3)就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 91．（2026高二·广东佛山·期中）有4名男生､3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，女生互不相邻； (3)全体排成一排，已知甲､乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾； 92．（2026高二·重庆江津·月考）江津中学举办校园艺术节文艺汇演，节目单中有7个节目，其中舞蹈类节目4个，歌唱类节目3个，各类节目内部也分别不同.要求对这7个节目进行排序，回答下列问题： (1)若要求3个歌唱类节目必须排在一起，共有多少种不同的节目排序方法？ (2)若要求3个歌唱类节目两两不能相邻，共有多少种不同的节目排序方法？ 93．（2026高二·江苏泰州·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 94．（2026高二·新疆克拉玛依·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，一共有多少种不同的排法? (2)5位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法? (3)5位同学站成一排，要求丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)5位同学站成一排，甲乙顺序一定，有多少种不同的排法? (5)将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 95．（2026高二·福建·期中）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 96．（2026高二·河北衡水·期中）某班级有8名学生，其中4名男生、4名女生.现组织三项活动： (1)将8名学生平均分成4个小组，小组之间无顺序，且每个小组恰好有1名男生和1名女生.求不同的分组方式有多少种？ (2)将8名学生排成一排，要求任意两个男生都不相邻，且最左边必须是男生.求不同的排列方式有多少种？ (3)从8名学生中选出4人组成“辩论队”，再从中选出2人分别担任“主辩”和“副辩”.设要求选出的4人中有名男生，名女生，，且担任主辩的必须是男生.求不同的选派方案有多少种？ 97．（2026高二·广东深圳·月考）某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． (1)将这6名学生排成一排，共有多少种不同的排法？ (2)将这6名学生排成一排，且2名女生相邻，共有多少种不同的排法？ (3)从这6名学生中选出3人参加某公益活动，共有多少种不同的选择方法？ (4)从这6名学生中选出3人参加某公益活动，且被选出的这3人中既有男生又有女生，共有多少种不同的选择方法？ $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题02 排列与排列数15种常见考法归类（97题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 排列的概念 考点二 列举法解决排列问题 考点三 画树状图解决排列问题 考点四 利用排列数公式求值 考点五 利用排列数解方程或不等式 考点六 利用排列数公式证明恒等式 考点七 无限制条件的排列问题 考点八 特殊元素或特殊位置问题 考点九 “相邻”问题 考点十 “不相邻”问题 考点十一 “相邻”与“不相邻”综合 考点十二 定序问题 考点十三 间接法 考点十四 数字排列问题 考点十五 排列的综合应用 知识点1 排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 注：(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”. (2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. 知识点2　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同． 知识点3 排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 注：排列与排列数不相同，排列数是元素排列的个数，两者显然不同． 知识点4　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 知识点5 求解排列应用问题的六种常用方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 策略方法 1. 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 判断依据：是否与顺序有关。 变换元素位置，若结果发生改变 → 与顺序有关 → 排列问题 变换元素位置，若结果不发生改变 → 与顺序无关 → 组合问题（非排列） 排列的两大要素：① 从n个不同元素中取出m个元素；② 按照一定顺序排成一列。 2. 树形图法解决排列问题 适用场景：元素个数较少、需要一一列举、分类清晰的简单排列问题。 画法步骤： （1）定首位：以某一元素在首位为标准，依次确定首位所有可能，作为第一层分支； （2）定后续位：在每一个分支上，继续按余下元素确定第二位、第三位……； （3）写完型：按分支依次写出完整排列，保证不重、不漏。 优点：直观、易懂、不易错，适合基础题与课堂示范。 3. 简单排列问题的通用解题思路 核心依据：分步乘法计数原理 常用两种分析角度： 元素分析法：先考虑有约束条件的特殊元素，再安排无约束的普通元素； 位置分析法：先考虑有限制的特殊位置（如首位、个位、末位），再填充其余位置。 4. 排列数公式的选择与使用技巧 （1）乘积形式 适用：直接计算具体数值、填空题、选择题快速求值。 （2）阶乘形式 适用：解方程、解不等式、证明恒等式、化简含阶乘的式子。 （3）常用规定 5. 排列应用问题6大标准解法（最核心） （1）优先法——特殊元素/特殊位置问题 适用：某些元素只能在/不在某些位置，或某些位置只能放/不能放某些元素。 做法： 优先排特殊元素或特殊位置； 再排剩余普通元素/位置。 （2）捆绑法——“相邻”问题 适用：题干出现“必须相邻”“连在一起”“不分开”等要求。 做法： 先捆绑：把相邻元素看成一个整体（大元素）； 再排序：将整体与其他元素一起全排列； 松绑排内部：对捆绑在一起的元素内部再全排列；（注意内部元素是否同元） 总方法数：两步结果相乘。 （3）插空法——“不相邻”问题 适用：题干出现“不能相邻”“不连在一起”“互不相邻”等要求。 做法： 先排无限制元素，形成若干空隙（包括两端）； 再插空：把要求不相邻的元素放入空隙中； 总方法数：两步结果相乘。 （4）除序法——“定序问题” 适用：某些元素相对顺序固定（如“A必须在B左边”“甲乙丙顺序不变”）。 做法： 先对所有元素全排列； 再除以“定序元素”的全排列数（抵消重复顺序）； 公式： （5）间接法（排除法）——正难则反 适用：正面情况多、复杂、不好列式；反面情况少、易计算。 做法： 总排列数 − 不符合条件的排列数 = 符合条件的排列数。 提醒：注意是否有多重限制，避免多减、漏减。 （6）直接法——无限制/简单限制 适用：限制条件少、可直接分步计算。 做法：按位置或元素依次分析，直接列式计算。 6. 排队问题综合解题套路 (1)相邻 ➝ 捆绑法 (2)不相邻 ➝ 插空法 (3)定序 ➝ 除序法 (4)在/不在某位置 ➝ 优先法 (5)正面复杂 ➝ 间接法 (6)元素少、易列举 ➝ 树形图/列举法 7. 数字排列问题高频要点 (1)0不能在首位（最易错点），首位优先排非0数字； (2)偶数：个位必须是0、2、4、6、8；奇数：个位必须是1、3、5、7、9； (3)比某数大/小：从最高位到最低位依次比较，分类讨论； (4)密码、电话号码、车牌、回文数：均与顺序有关，一律按排列处理； (5)卡片/数字可重复：注意是否“放回”，不可直接用排列数。 8. 排列问题常见易错提醒 (1)混淆排列（有序）与组合（无序）； (2)忽略0不能在首位； (3)捆绑法忘记排内部顺序； (4)插空法数错空隙个数； (5)定序问题忘记除以定序元素的全排列； (6)间接法多减或漏减不符合条件的情况； (7)排列数公式下标、上标写反，计算出错。 考点一 排列的概念 1．【多选】（2026高二·重庆·期中）下列问题中，属于排列问题的是（   ） A．从5人中选2人担任正、副组长 B．从5人中选2人参加演讲比赛 C．从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D．从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 【答案】AC 【详解】对于A，从5人中选2人担任正、副组长，与选出的两个人顺序不同是不同的安排方法， 如选甲乙表示甲担任正组长，乙担任副组长，选乙甲表示乙担任正组长，甲担任副组长，故属于排列问题，故A符合题意； 对于B，从5人中选2人参加演讲比赛，比如选甲乙与乙甲是同一种选法，所以不是排列问题，故B不符合题意； 对于C，从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点与顺序有关，如选1，2两个景点表示第一天参观1号景点，第二天参观2号景点；如选2，1两个景点表示第一天参观2号景点，第二天参观1号景点，所以是排列问题，故C符合题意； 对于D，从10个相同大小的球中选3个放入箱子里，因为小球相同，任意拿3个放入箱子里只有1种方法，故与顺序无关，故不是排列问题，故D不符合题意. 2．【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 3．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 4．（2026高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的定义，是否与顺序相关是确定一个问题是否为排列问题的关键，据此逐项判断即可． 【详解】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，两数的商与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，因为椭圆的焦点在x轴上，故与取的两数顺序无关，故③是组合问题； 对于④，取得两数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，取得两数与顺序有关，故⑤是排列问题； 所以，②④⑤与两数的顺序有关，为排列问题. 故选：B. 5．【多选】（2026高二·全国·寒假作业）已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从中选出3个字母；④从这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，其中是排列问题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】根据排列的定义判断即可． 【详解】排列的定义：从n个不同对象中，任取个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列，由此可知①④为排列问题，而②③是组合问题，并非排列问题． 故选：AD． 6．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 【答案】(1)是排列问题 (2)不是排列问题 (3)是排列问题 【分析】根据排列的定义，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）解：由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关， 所以这是一个排列问题． （2）解：因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序， 所以这不是排列问题． （3）解：因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以（1）（3）是排列问题，（2）不是排列问题． 7．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【答案】(1)是排列，理由见解析 (2)不是排列，理由见解析 (3)不是排列，理由见解析 (4)是排列，理由见解析 (5)是排列，理由见解析 【分析】（1）选出两个人参加两个不同的活动与顺序有关，所以是排列； （2）4名同学中选出2名参加一项活动，与顺序无关，所以不是排列； （3）选出两个三位数求和，交换两个结果不变，说明与顺序无关，不是排列； （4）选出两个互质的三位数求其商，交换两个数顺序，商的结果也不同，所以与顺序有关，所以是排列； （5）三名学生坐到4个空位，任意交换两个学生的位置，其结果也不相同，所以是排列. 【详解】（1）是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． （2）不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． （3）不是排列，因为选出的两个三位数求其和对顺序没有要求． （4）是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化， 且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． （5）是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 考点二 列举法解决排列问题 8．（2026高二·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）利用组合的定义即可得出； （2）利用排列的定义即可得出； 【详解】（1）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有组合有： ，，，，，，，，，； （2）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有排列有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，. 9．（2026高二·全国·课后作业）请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据排列的定义将所求排列逐一列出，做到不多不漏即可. 【详解】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种： . （2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种： . 10．（2026高二·江苏·专题练习）写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【答案】(1)12； (2)24个，答案见解析. 【分析】（1）利用列举法列出所有两位数即可作答. （2）利用树状图列出符合要求的四位数，再写出所有四位数作答. 【详解】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数. （2）画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431， 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数. 11．（2026高二·全国·课后作业）（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【答案】（1）见解析，24；（2）见解析，24. 【分析】（1）写出所有三位数，利用排列数公式求出排列数； （2）写出所有四位数，利用排列数公式求出排列数. 【详解】（1）所有的三位数为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数. 故排列数是. （2）所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314， 2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231， 4312，4321，共24个四位数. 故排列数是. 12．（2026高二·全国·课后作业）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法. 【答案】答案见详解． 【分析】根据题意直接写出所有试验方法即可． 【详解】写出所有不同的试验方法如下： ，，，，，，，，， ，，，，，共14种. 考点三 画树状图解决排列问题 13．（2026高二·江苏·专题练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 【答案】18个，答案见解析. 【分析】根据给定条件，利用树形图列出符合要求的所有三位数，再写出所有三位数作答. 【详解】画出树形图，如图：    由树形图知，符合条件的三位数共有18个， 它们是102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. 14．（2026高二·全国·课后作业）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【答案】（1）12；（2）答案见解析 【分析】用树形图列出所有的排列，即可得答案. 【详解】（1）由题意作“树形图”，如下． 故组成的所有两位数为，共有12个． （2）由题意作“树形图”，如下． 故所有的排列为：，. 15．（2026高二·全国·课后作业）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答． 【答案】共6种安排方案，树状图见解析 【分析】根据题意画出树状图即可求解 【详解】树状图如图所示 ， 由树状图可知，共有6种不同的安排方案 考点四 利用排列数公式求值 16．（2026高二·江苏镇江·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数公式即可求解. 【详解】根据排列数公式， 可得. 17．（2026高二·湖北武汉·期中）若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】由 . 18．（2026高二·湖北十堰·月考）计算：（    ） A．120 B．90 C．60 D．30 【答案】A 【详解】. 19．（2026高二·四川遂宁·月考）的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 【答案】D 【详解】. 20．（2026高二·上海·月考）若n为正整数，用排列数表示______． 【答案】 【详解】排列数公式：， 原式共个连续正整数相乘， 最大数为，个数为，所以. 21．（2026高二·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】利用排列数公式直接计算化简即可. 【详解】． 故答案为： 22．（2026高二·全国·课堂例题）计算：. 【答案】 【分析】根据题意，利用排列数公式，准确计算，即可求解. 【详解】法一：根据排列公式，可得． 法二：根据排列数公式，可得． 考点五 利用排列数解方程或不等式 23．（2026高二·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 24．（2026高二·安徽·月考）已知，则n的值为____. 【答案】4 【分析】利用排列数公式列式计算即得. 【详解】由，解得. 故答案为：4. 25．（2026高二·吉林·期末）若，则_________. 【答案】3 【分析】应用排列公式解排列数方程即可. 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 26．（2026高二·全国·课堂例题）求中的x． 【答案】 【分析】应用排列数公式化简计算结合的范围求解. 【详解】原方程可化为， 即，化简得，解得． 由题意知解得． 所以原方程的解为． 27．（2026高二·山东聊城·期中）满足不等式（）的的值可能为（   ） A．8 B．9 C．7 D．11 【答案】D 【详解】由可得 故，化简得，故，D选项满足条件. 28．（2026高二·河北保定·期中）若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由， 则，解得， 又，故的最小值为6. 29．（2026高二·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【详解】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 30．（2026高二·湖北襄阳·月考）（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数展开原方程，再结合的范围求解； （3）根据排列数展开原不等式，再结合的范围求解. 【详解】（1）分子：， 分母：， 约分化简得： （2）由，得. 根据排列数公式展开原方程：， 约去，可得， 化简得：，即， 解得或（舍去），故解为. （3）由，，得. 根据排列数展开原不等式：， 整理得：， 因式分解得，由于时，， 故不等式等价于，即， 结合定义域得解集为. 31．（2026高二·安徽芜湖·期中）（1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）（2）利用排列数的阶乘计算公式化简求解即得. 【详解】（1）因，则， 即， 又且，则得．     （2）由得， 因为且，则得，即，解得； 由得， 化简得，即，解得或， 又因为，，所以且， 故． 32．（2026高二·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【分析】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 考点六 利用排列数公式证明恒等式 33．（2026高二·全国·课堂例题）证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 34．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：ABCD 35．（2026高二·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】分别利用排列数定义和性质直接证明即可. 【详解】（1）左边右边； （2）左边右边. 36．（2026高二·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 37．（2026高二·全国·课堂例题）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 考点七 无限制条件的排列问题 38．（2026高二·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【分析】应用排列数求不同排法数即可. 【详解】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 39．（2026高二·江苏泰州·期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】将四个数字全排列即可. 【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个. 故选：D 40．（2026高二·浙江·期中）将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全排列得到五个数随机排成的数列总数，再列举出满足要求的2个数列，计算出概率. 【详解】1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，共有种情况， 其中为单调数列的有2个，即1，2，3，4，5和5，4，3，2，1， 所以概率为. 故选：A 考点八 特殊元素或特殊位置问题 41．（2026高二·浙江·期中）从含甲和乙的六人中选四人参加学校接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选中乙，则乙不跑第四棒，则不同的参赛方案共有（    ）种 A．72 B．84 C．108 D．120 【答案】C 【详解】若乙未被选中，则甲有2个位置选择，剩余的3个位置从余下的4人选3人排列，方案数为：种； 若乙被选中，且甲跑第一棒，则乙有2个位置可以选择，剩余2个位置从余下的4人选2人排列， 方案数为：种； 若乙被选中，且甲跑第四棒，则乙有3个位置可以选择，剩余2个位置从余下的4人选2人排列， 方案数为：种； 因此所有不同的参赛方案共有种. 42．（2026高二·江苏无锡·期中）某班上午要上语文、数学、外语和体育四门课，外语老师因故不能上第三节和第四节，不同的排课方法有（   ） A．6种 B．8种 C．12种 D．20种 【答案】C 【详解】优先安排受限科目外语，外语只能排第、节，共种排法. 剩余语文、数学、体育三门课全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理，总排课方法：种. 43．（2026高二·重庆·月考）立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．52种 【答案】B 【详解】数列排在第一道的排序方法有种； 数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种. 根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种. 根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种. 44．（2026高二·重庆江津·月考）某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 【答案】C 【详解】先排魔术节目，有种选择，再将其他节目排列，共有种排序方法. 45．（2026·重庆·模拟预测）树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（ ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】4名学生排列总数：， 甲跑第一棒的情况：， 丁跑第四棒的情况：， 甲跑第一棒且丁跑第四棒的情况：， 总顺序数：． 考点九 “相邻”问题 46．（2026高二·河北衡水·月考）将、、、、这个字母排成一排，若c与e必须相邻，则不同的排法种数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，将c与e捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序， 因此不同的排法种数为种. 47．（2026高二·江苏淮安·月考）四个人站在一排，其中甲乙必须站在一起，则不同站法种数为（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【详解】甲乙站在一起有种情况， 将甲乙捆绑在一起与另外两人排列有种情况， 所以不同站法种数为. 48．（2026高二·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【分析】由捆绑法即可求解. 【详解】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种； 捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ， 分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 . 49．（2026高三·云南楚雄·月考）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（    ）种不同的排法. A．528 B．312 C．264 D．216 【答案】A 【分析】先固定老师位置，再分甲乙在老师左侧、右侧两种情况，分别计算位置选择数、甲乙排列数与其余人排列数，最后相加得总排法数. 【详解】按照的序号进行编号，老师的左边编号，右边编号， 若甲乙站在老师的左边，则安排情况为，共3种选择， 甲乙可互换位置，丙排在右侧有3种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师左边时共有种排法； 若甲乙站在老师的右边，则安排情况为，共2种情况， 甲乙可互换位置，丙只有一种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师的右边时共有种排法， 所以不同的排法共有种情况. 50．（2026高二·北京海淀·期中）有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】A 【详解】将和视为一个整体（内部有种排列），则总共有个元素：捆绑体、、、， 全排列数为 种， 再排除在第位的情况：此时固定在第位，剩余个元素（捆绑体、、）的全排列为 种， 因此符合条件的排法为 种. 51．（2026高二·江苏南京·月考）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 【答案】B 【详解】由题意，先让3人坐定，有种方法， 然后将相邻的两个空位看作一个座位，再将两个座位插入3人形成的4个空位中，有种方法， 因此，恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为. 52．（2026高二·广东·期中）甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标B，C，D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（    ） A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种 【答案】B 【分析】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标全排列. 【详解】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标进行全排列，共有种. 53．（2026高二·重庆·月考）重庆大学和西南大学各派4人参加重庆市大学生辩论赛，比赛结束后8人分两排合影留念，最佳辩手（两校各一名）站在前排，其余人站后排，同校选手相邻，则不同的站法有（   ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 【答案】B 【详解】前排两名最佳辩手的站法有种， 后排同校选手相邻，根据“捆绑法”可得不同站法有种. 根据分步乘法计数原理，不同的站法有种. 54．（2026高二·河南·期中）含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（   ） A．12 B．16 C．32 D．34 【答案】C 【分析】根据排列组合，对乙丙进行捆绑，与丁、戊全排，再把甲插入（不在最左端），再减去丙在右端的情况即可． 【详解】解：设5人为甲乙丙丁戊， 对乙丙进行捆绑（先不考虑丙的位置问题），与丁、戊全排，再把甲插入（不在最左端） 则有种， 其中丙在右端时，甲、丁、戊的排法，先排丁、戊，再把甲插入（不在最左端）有种， 故满足要求的不同站法种数为种． 55．（2026高二·四川德阳·月考）某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（   ）种 A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【分析】按 “特殊元素优先处理” 的思路，分三步完成，再根据分步乘法计数原理得到总排列数. 【详解】首先安排三星堆博物馆的位置，要求三星堆必须排在第一个或最后一个，共2种排法； 由于德阳文庙与白马关必须相邻，用捆绑法将二者看作1个整体，二者内部可交换顺序，共种排法； 捆绑后的整体和绵竹年画村共2个元素，排列在剩余的空位中，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排列数为种. 考点十 “不相邻”问题 56．（2026高二·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 【答案】480 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解发. 【详解】依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为. 故答案为：480 57．（2026高二·河南商丘·月考）参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 【答案】 【分析】先将进行排列，再利用插空法即可. 【详解】先将进行排列，再将插进形成的个空隙中， 共有种. 故答案为： 58．（2026高二·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 【答案】A 【分析】先考虑和不相邻的排法，再考虑和不相邻，且A站两端的情况，相减后得到答案. 【详解】先考虑和不相邻的排法： 先排A,B,C,D,E，有种排法， A,B,C,D,E排好后有6个空隙（含两端），从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法有：种； 再考虑A站两端且F、G不相邻”的排法： 先排A在两端，有种（如A在最左端），再排B,C,D,E共4人，排法数：种， 此时5人（A,B,C,D,E）排好后有5个空隙（A的左边不算空隙）， 从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法：种， 所以要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为种. 59．（2026·湖南·模拟预测）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 【答案】C 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 60．（2026高二·河南平顶山·期中）已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 61．（2026高二·山东青岛·月考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 【答案】B 【分析】利用插空法分步考虑即可，需要注意限制条件. 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 62．（2026高三·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（   ） A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 【答案】D 【分析】分类讨论求解， 第一类，甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻；第二类，甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件.从而得解. 【详解】甲和乙之间恰好有1人，有两种情况： 甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻，有种， 甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件，有种，共有种． 故选：D. 考点十一 “相邻”与“不相邻”综合 63．（2026高二·湖北武汉·期中）有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将丙和丁看作一个整体（捆绑），内部可以交换顺序，有种， ①先排（丙丁）和戊，有种排法，这两个排好后，会产生个空位（包括两端）， ②从个空位中选个来排甲和乙，有种排法， 所以总排法为种． 64．（2026高二·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将看成一个整体，与除外的两人进行排列，形成了四个空， 再将插入这四个空中， 所以所有不同排法有种. 故答案为：. 65．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】B 【分析】先按李老师在排头或排尾分两种情况，再按甲的位置细分，用总排列数减去乙丙相邻的排列数得出符合条件的排法，最后利用对称性得到总数. 【详解】分两种情况： （1）李老师在排头（位置1）：此时甲在位置2或3， 当甲在位置2时：剩余位置3、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共3对，相邻排列数为种，所以不相邻排列有种； 当甲在位置3时：剩余位置2、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共2对，相邻排列时为种，所以不相邻排列有种； 所以共有种； （2）李老师在排尾（位置6）：排法与排头对称，所以也有28种； 综上，共有种排法. 66．（2026高二·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 【答案】72 【详解】根据题意，分两步进行分析： 指导老师和学员站在两端，有种情况， 中间5人分两种情况讨论： 若、相邻且、相邻，、不相邻，有种安排方法； 若、相邻且、都不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有种安排方法， 综上所述，共有种排法. 67．（2026·上海闵行·模拟预测）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 68．（2026高二·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 69．（2026·陕西西安·模拟预测）一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（    ） A．48种 B．72种 C．144种 D．216种 【答案】B 【详解】三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法， 若两个家庭之间有1个空位的排法有； 若两个家庭之间有2个空位的排法有； 所以符合要求的排座方式一共有种. 70．（2026高三·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 考点十二 定序问题 71．（2026高二·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 【答案】60 【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 72．（2026高三·全国·专题练习）五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【答案】 【分析】用5个元素的全排列个数除以2各元素的全排列个数可得答案. 【详解】五个人并排站在一排，共有种， 其中甲、乙两人共有种顺序，各占一半， 所以甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)的不同的排法有种， 故答案为：60 【点睛】本题考查了排列中的定序问题，一般地，个元素排成一排，其中个元素的定序排列的种数为，属于基础题. 73．（2026高二·全国·专题练习）7个人按照下列要求排成一纵队：A，B，C三人的前后顺序一定，有多少种不同的排法？（用数字作答） 【答案】840 【分析】先求7人随意站队的排法，然后除以三人的内部顺序即可得答案. 【详解】7人全排列共种，除以A、B、C内部全排列种，共种. 74．（2026高二·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 75．（2026高三·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先计算盏灯笼任意挂有种不同的挂法，再除以左边顺序一定种，右边顺序一定种，即可求解. 【详解】若盏灯笼任意挂，不同的挂法由种， 又因为左右两边盏灯顺序一定，故有种， 故选：D 【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. （5）多排问题直排法； 76．（2026高二·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】60 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 77．（2026高二·全国·课后作业）如图，某码头边叠放着两堆集装箱，一堆4个，一堆3个．现需要将它们全部搬到货船上，每次只能搬其中一堆最上面的1个集装箱，则搬运方案共有______种． 【答案】35 【分析】将问题看作定序问题求解．先将7个集装箱全排列，然后除以4个集装箱的全排列与3个集装箱的全排列即可. 【详解】不同的搬运方案共有（种）． 故答案为：35. 考点十三 间接法 78．（2026高三·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 【答案】C 【分析】先计算，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案. 【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分， 所以这5名同学的可能排名有种. 故选：C 79．（2026高二·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【分析】利用间接法计算可得答案. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况， 甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况， 总共的情况有. 故选：C． 80．（2026高三·广东广州·月考）在中不重复地选取4个数字，共能组成（    ）个不同的四位数. A．96 B．18 C．120 D．84 【答案】A 【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可. 【详解】四位数首位不能为零， 故为种不同的四位数， 故选：A. 81．（2026高三·上海·随堂练习）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为_______． 【答案】36 【分析】采用捆绑法和间接法即可求解. 【详解】先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去数学排第一节的排法即可， 即不同排法的种数为． 故答案为：36. 82．（2026高二·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有_______种.（用数字作答） 【答案】84 【分析】由捆绑法、间接法即可求解. 【详解】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 考点十四 数字排列问题 83．（2026高二·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】分析千位数是4、3、2三种情况，求出四位偶数中大于的数的个数，即可得答案. 【详解】当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 84．（2026高二·宁夏吴忠·期中）由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（   ） A．360 B．180 C．156 D．150 【答案】B 【详解】第1步，个位上的数字为2或4或6，有3种方法， 第2步，从其余5个数中选3个排在千位、百位和十位，有种方法， 故可以组成个符合条件的数． 85．（2026·陕西榆林·模拟预测）在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 【答案】60 【详解】首位是3，末位是4的有2个；首位是3，末位是6的有2个； 首位是4，末位是6的有个；首位是5，末位是4的有个； 首位是5，末位是6的有个；首位是6，末位是4的有个； 首位是7，末位是4的有个；首位是7，末位是6的有个， 所以由分类加法计数原理知共60个． 86．（2026高二·河南郑州·月考）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）． (1)求可组成多少个四位数； (2)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先排千位数，再排其余数位； （2）按千位数字分类讨论，逐步缩小范围． 【详解】（1）四位数字的千位不能为0，有种； 其余三位数从剩下的5个数字中选3个排列，有种； 由分步乘法计数原理得：种． （2）千位为1：后三位从其余5个数中选3个排列，共有个； 千位为2：从第个数开始，共计个， ，即求千位为2的第个数； 百位为0：共计个，对应第个数； 百位为1：共计个，对应第个数； 第个数是千位为2，百位为3的最小四位数，即为：． 87．（2026高二·浙江温州·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个不含0的四位数？ (2)能组成多少个被5整除的四位数？ (3)能组成多少个小于1000的数？ 【答案】(1)120 (2)108 (3)131 【分析】（1）需从这5个数字中选4个进行排列，使用排列数公式计算； （2）分两类讨论：个位为0时，从剩余5个数字选3个排列；个位为5时，千位不能为0，先确定千位可选数字，再从剩余数字选2个排列，最后用分类加法计数原理汇总； （3）分三类计算：一位数直接统计可选数字个数；两位数先确定十位（不能为0）再确定个位；三位数先确定百位（不能为0）再确定十位和个位，最后用分类加法计数原理汇总. 【详解】（1）， 所以能组成个不含0的四位数. （2）个位为的情况有：个 个位为5的情况有：个 所以能组成个被5整除的四位数 （3）一位数的情况有：个 两位数的情况有：个 三位数的情况有：个 所以能组成个小于的数. 考点十五 排列的综合应用 88．（2026高二·福建福州·期中）尚德中学某班级6个学生在活动中拍照，其中男女生各3个. (1)6人要求站两排，女生站前排，有多少种排法；（列式并用数字作答） (2)6人要求站一排，男生不相邻，有多少种排法；（列式并用数字作答） (3)6人要求站一排，3名男生中有且只有甲乙两个男生相邻；（列式并用数字作答） 【答案】(1)36 (2)144 (3)144 【分析】（1）使用排列数求解； （2）使用插空法求解； （3）使用捆绑法和插空法求解. 【详解】（1）根据题意，3名女生站前排有种，3名男生站后排有种，根据分步计数原理可得种排法. （2）6名学生站一排，男生不相邻，先排女生有种，有4个空位再排3名男生，有种，根据分步计数原理可得种排法. （3）根据题意，先排3个女生种，再把甲乙捆绑和另外一个男生插入4个空位有种，根据分步计数原理可得种排法. 89．（2026高二·广东清远·期中）包含甲乙丙在内的7人站成一排. (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 【答案】(1)5040 (2)240 (3)720 (4)1440 (5)840 【详解】（1）7人站成一排，共有种不同的排法. （2）先排甲、乙两人，共有种不同的排法， 再排其他人，共有种不同的排法， 所以共有种不同的排法. （3）把甲、乙、丙三人看成一个整体，再与其他人一起排队， 所以共有种不同的排法. （4）先排其余4人，再把甲乙丙插入4人形成的5个空位（含两端），保证均不相邻， 所以共有种不同的排法. （5）7人的全排列中，甲乙丙的相对顺序共种，仅1种符合要求， 所以共有种不同的排法. 90．（2026高二·重庆·期中）在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. (1)若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； (2)若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； (3)就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把每对夫妇看成一个整体，A，B也看成一个整体，转化为5个元素的排列，再求安排到圆桌的排法即可； （2）利用捆绑法与插空法求解即可； （3）先选出符合条件的6人，再利用捆绑法求解即可. 【详解】（1）每对夫妇看成一个整体，当作一个元素，A，B也看成一个整体，当作一个元素， 所以问题就是5个不同的元素的排序问题，5个不同的元素排成一列有种不同的排法， 把这一列的5个元素排在一个圆桌上时有种不同的排法； 又每个元素内部各有2种不同的排法， 所以共有； （2）甲、乙两对夫妇相邻，且甲妻与乙妻相邻，则这四人形成一个整体，内部排法有(甲-甲妻-乙妻-乙)和(乙-乙妻-甲妻-甲)2种把这两对夫妇看作一个元素， 另外每对夫妇看作一个元素，这3个元素排成一列有种不同的排法， 再安排到圆桌就座时有种不同的方法， 再把，A，B插入前面三个元素形成的三个空位中有种不同的方法， 又前面三个元素内部各有2种不同的排法，所以共有种不同的排法； （3）4对夫妇任选1对夫妇有种不同的选法，再从3对夫妇和A，B共选4人， 若A，B都选，从3对夫妇选2人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 若A，B选1人，从3对夫妇选3人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 综上所述：随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻的排法有. 91．（2026高二·广东佛山·期中）有4名男生､3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，女生互不相邻； (3)全体排成一排，已知甲､乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾； 【答案】(1)720 (2)1440 (3)3720 【分析】（1）利用相邻问题捆绑法列式求解. （2）利用不相邻问题插空法列式求解. （3）利用全排列问题，结合排除法列式求解. 【详解】（1）依题意，女生相邻，先排3名女生，有种； 再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种， 所以全体排成一排，女生必须站在一起有种. （2）先排4名男生，有，这4名男生产生5个空隙， 在这5个空隙中插入3个女生，有种， 所以全体排成一排，女生互不相邻有种. （3）7人全排列有，甲站在排头的有种， 乙站在排尾的有种，甲站在排头且乙站在排尾的有种， 所以甲不站在排头，乙不站在排尾的有种. 92．（2026高二·重庆江津·月考）江津中学举办校园艺术节文艺汇演，节目单中有7个节目，其中舞蹈类节目4个，歌唱类节目3个，各类节目内部也分别不同.要求对这7个节目进行排序，回答下列问题： (1)若要求3个歌唱类节目必须排在一起，共有多少种不同的节目排序方法？ (2)若要求3个歌唱类节目两两不能相邻，共有多少种不同的节目排序方法？ 【答案】(1)720 (2)1440 【详解】（1）因为3个歌唱类节目必须排在一起，用捆绑法， 将歌唱类节目捆绑在一起，共有 （2）因为3个歌唱类节目不能相邻，用插空法， 先将舞蹈类节目进行排列共有种， 形成五个空，选三个空将歌唱类节目排列，共有种， 所以一共有 93．（2026高二·江苏泰州·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480 (2)360 (3)540 【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 94．（2026高二·新疆克拉玛依·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，一共有多少种不同的排法? (2)5位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法? (3)5位同学站成一排，要求丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)5位同学站成一排，甲乙顺序一定，有多少种不同的排法? (5)将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1)120 (2)48 (3)72 (4)60 (5)150 【分析】（1）5位同学站成一排，全排列即可； （2）相邻问题用捆绑法； （3）不能相邻问题用插空法； （4）顺序一定的排列问题用倍缩法求解； （5）第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【详解】（1）5位同学站成一排，5人全排列，所以有种不同的排法. （2）因为甲、戊相邻，故先把甲、戊捆绑，然后与其余人全排列， 所以有种不同的排法. （3）首先将甲、乙、戊三人一起排，有种排法， 此时，共有4个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． （4）5人全排列中，甲乙的顺序有种，因为甲乙顺序一定， 所以有种不同的排法. （5）①将5位同学分成3组， 若分成1、1、3的三组，有种分法， 若分成1、2、2的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； ②将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 95．（2026高二·福建·期中）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)24 (2)16 (3)144 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可． 【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种. （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种. （3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 96．（2026高二·河北衡水·期中）某班级有8名学生，其中4名男生、4名女生.现组织三项活动： (1)将8名学生平均分成4个小组，小组之间无顺序，且每个小组恰好有1名男生和1名女生.求不同的分组方式有多少种？ (2)将8名学生排成一排，要求任意两个男生都不相邻，且最左边必须是男生.求不同的排列方式有多少种？ (3)从8名学生中选出4人组成“辩论队”，再从中选出2人分别担任“主辩”和“副辩”.设要求选出的4人中有名男生，名女生，，且担任主辩的必须是男生.求不同的选派方案有多少种？ 【答案】(1)24 (2)2304 (3)216 【分析】（1）将4名女生与4名男生进行配对即可； （2）利用插空法解决不相邻问题； （3）先由题意得到选出的4人中有2男2女，确定选人方案；再根据“主辩”和“副辩”的要求求出选法数，由分步计数乘法即可求解. 【详解】（1）要使每个小组恰有1名男生和1名女生，只需将4名女生全排列到4名男生所在的位置中即可，共有种. （2）先排4名女生，有种方法，产生5个空位.由于最左边必须是男生，则第1个空位必选， 再从剩下4个空位中选3个插空，共有种. （3）由题意，可知，所以选出的4人中2男2女. 选人方案有种； 对于确定的4人，主辩（男生）有2种选法，副辩（剩余3人）有3种选法. 故共有种. 97．（2026高二·广东深圳·月考）某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． (1)将这6名学生排成一排，共有多少种不同的排法？ (2)将这6名学生排成一排，且2名女生相邻，共有多少种不同的排法？ (3)从这6名学生中选出3人参加某公益活动，共有多少种不同的选择方法？ (4)从这6名学生中选出3人参加某公益活动，且被选出的这3人中既有男生又有女生，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)共有720种 (2)共有240种 (3)共有20种 (4)16种 【分析】（1）直接利用排列的定义，计算6个不同元素的全排列数； （2）由2名女生相邻，利用捆绑法与4名男生全排列即可； （3）根据组合定义即可求解； （4）用“6名学生中选出3人参加某公益活动”所有情况减去 “6名学生中选出3名男生参加某公益活动”的情况即可求解. 【详解】（1）由排列的定义知共有种不同的排法； （2）因为2名女生相邻，将2名女生看作一个整体，这两名女生内部的排列有种， 再将这个整体与4名男生看作5人全排列有种， 所以将这6名学生排成一排，且2名女生相邻，共有种不同的排法； （3）6名中选出3人共有种方法； （4）6名中选出3名男生有种方法， 所以被选出的这3人中既有男生又有女生，共有种不同的选择方法． $