精品解析：北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

北师大二附中2025-2026高二下数学期中数学试卷 一、单选题 1. 函数 的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 8. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 9. 已知公比不为的等比数列的前项和为，若、、成等差数列，且、、也成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知函数及其导函数满足，则_________． 12. 编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是，则__________． 13. 已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______. 14. 若恒成立，则实数a的取值范围为______． 15. 数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论： ①，； ②，； ③，； ④，当时，都有成立． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题 16. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和． 17. 某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为．假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜． （1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率； （2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”．求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望． 18. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 19. 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11 高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12 高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5 （1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求； （2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望； （3）试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）． 20. 已知函数，． （1）若存在x使得成立，求a的取值范围； （2）当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 21. 若正整数整除正整数，则称是的正因数，如2是6的一个正因数，设正整数有个正因数，从小到大排列成数列：．记为正整数的正因数个数，为正整数的所有正因数的和，如，． （1）求，，； （2）当时，若，，，构成等比数列，求正整数； （3）当时，若是正整数的所有正约数的一个排列，那么，，，，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大二附中2025-2026高二下数学期中数学试卷 一、单选题 1. 函数 的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得. 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据递推公式求解即可. 【详解】由，且， 得，所以. 故选：A. 3. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式求出. 【详解】随机变量，所以. 故选：C 4. 已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】表示第3次正好取出第2个正品，前两次为1正品1次品，可能情况为： 正、次、正：概率为； 次、正、正：概率为； ． 5. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为，即. 6. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据首项和递推式求出，观察归纳得出是周期为3的周期数列，再确定除以3的余数，进而求解． 【详解】已知，则，， ，， 可见此数列为周期是3的周期数列， ， ，故D正确． 故选：D． 7. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和的性质求出公差与首项，最后代入前项和公式计算. 【详解】等差数列中，，因此，得； 对用通项公式展开：； 由，代入、，得； 由，代入、，得； . 故选：B 8. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， . 9. 已知公比不为的等比数列的前项和为，若、、成等差数列，且、、也成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可求得的值，再根据等比数列求和公式结合等比数列的定义可求得的值. 【详解】不妨设等比数列的公比为，则且， 因为、、成等差数列，则，则， 整理可得，解得，所以，， 因为、、成等差数列，则， 即， 整理可得，故. 故选：C. 10. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二、填空题 11. 已知函数及其导函数满足，则_________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题设，则. 12. 编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可列出的分布列，即可得答案. 【详解】∵编号为的位同学随意入座编号为的个座位， ∴有123,132,213,231,312,321,共6种结果， 设与座位编号相同的学生个数为，则的可能为0,1,3， ∴的分布列为： 0 1 3 ∴. 故答案为:1. 13. 已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______. 【答案】41 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到的首项和公差，再由题意求出新的等差数列首项和公差，再求解即可. 【详解】设等差数列首项为，公差为， 由，得：，解得， 所以数列为首项为1，公差为4的等差数列， 在数列每相邻两项之间插入三个数，得到新等差数列， 则首项为1，公差为1，所以新数列的第41项为. 故答案为：41 14. 若恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可． 【详解】易知， 令，则， 所以．当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 由，得函数的最小值为， 因为，所以． 所以实数a的取值范围为. 15. 数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论： ①，； ②，； ③，； ④，当时，都有成立． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】作差法比较大小，可判断①，取倒数变形，可判断②，数学归纳法可判断③，特例可判断④. 【详解】，则， 若，则， 由于，则，则， ， 则，①正确， ， ， ， 则， 即，②正确， 当时，成立， 设时，成立， 则时，， 由于在时单调递减且恒正， 则在时单调递增， 则，成立，③正确， 设，的前n项和为， 则， 由于，则单调递增， ， 例如当时，，不满足，④错误， 故答案为：①②③. 三、解答题 16. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，，所以， 当时，，即， 所以数列是从第二项开始以为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 当时，，此时 当时，， 则， 此时 ， 当时，，上式成立， 所以. 17. 某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为．假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜． （1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率； （2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”．求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式以及对立事件的概率公式，可得答案； （2）由题意写出随机变量的可能取值，求得每个取值的概率，写出分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 小明迟到“梅菜扣肉”的概率等价于至少有一个窗口提供该菜的概率， 每个窗口不提供该菜的概率为，个窗口均不提供的概率为， 因此，所求的概率为. 【小问2详解】 设“膳食多样性指标”为，表示当天食堂提供的不同特色种类，可得取值为， 当时，所有个窗口选同一种菜，共种情况，概率为， 当时，选两种菜且均至少出现一次，先选择两种菜情况数为， 再排除全选一种的情况，概率为， 当时，用全概率减去前两种情况，则， 所以随机变量的分布列如下： 故数学期望. 18. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式可得直线方程； （2）先问题等价于在时恒成立，构造函数，求导分析单调性后得到最小值即可. 【小问1详解】 ，，而，， 所以在处的切线方程为： 【小问2详解】 由题意得：恒成立， 因为，所以问题等价于在时恒成立， 令，，， 当时，，为增函数；当时， ，为减函数，则函数，故． 19. 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11 高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12 高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5 （1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求； （2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望； （3）试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）． 【答案】（1）估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500 （2）以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 （3）高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为高一高二高三 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义，结合题设可知高二、高三学生人数，再根据样本数据综合体育活动时间五天内低于10小时的人数比例求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出每一个对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可； （3）根据样本数据，求出方差大小可得答案． 【小问1详解】 由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8， 已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800， 而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数， 高一、高二高三占比分别为， 由， 因此，估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有 达到“通知”要求人数分别为300，400，500； 【小问2详解】 由题可知，综合体育活动时间达到通知要求的， 高三有3人，另5人没有达到要求，所以的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； 【小问3详解】 高一年级样本数据的平均数为， 其方差为 ， 高二年级样本数据的平均数为 ， 其方差为 ， 高三年级样本数据的平均数为 ， 其方差为 ， 所以. 所以高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为 高一高二高三. 20. 已知函数，． （1）若存在x使得成立，求a的取值范围； （2）当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数对进行分类讨论，时导数恒正，单调递增，且时，必然存在x使得成立；时通过单调性分析得到极大值点，求出满足条件的的范围；时，最大值为，不满足条件，合并符合条件的a的取值范围； （2）利用（1）的结论转化不等式为在内恒成立，构造函数 并求导，按分情况讨论，进而合并符合条件的b的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 时：若，则，故 恒成立，在上单调递增； 当时， ，必然存在x使得成立，符合要求； 时：令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 要存在使得，需满足，解得； 当时，的最大值为，恒成立，不符合题意； 综上，a的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）可知时，的最大值 ， 在上恒成立， 在定义域内恒成立，等价于在内恒成立， 令 ，则 ，求导得 ， 当时，，则，故 ，在上单调递增， ，满足在内恒成立，符合要求； 当时，令 ，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 在处取得最小值： ， 令 ，求导得 ， 故在上单调递减， ，即 ， 存在使得，不符合要求； 综上，b的取值范围为． 21. 若正整数整除正整数，则称是的正因数，如2是6的一个正因数，设正整数有个正因数，从小到大排列成数列：．记为正整数的正因数个数，为正整数的所有正因数的和，如，． （1）求，，； （2）当时，若，，，构成等比数列，求正整数； （3）当时，若是正整数的所有正约数的一个排列，那么，，，，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 【答案】（1）24，，； （2）； （3）没有，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将分别分解质因数，再利用给定的定义，结合等比数列前和公式求解. （2）根据给定条件，利用等比数列的性质推理计算即得. （3）利用反证法推理，导出矛盾可得不是另一个正整数的所有正约数的一个排列. 【小问1详解】 由，得； 由，得； . 【小问2详解】 依题意，，，，， 当时，，则，化简得， 因此是完全平方数，而是整数的最小非1因子，则， 于是，，，为，，，， 因此. 【小问3详解】 假设，，，，是另一个正整数的所有正约数的一个排列， ，， 易知，而，则， 又，于是是奇数，为奇数，又，则是偶数， 其中中最大的两个元素为，，显然中每个元素都不超过， 特别地，， 设，，其中（因为有个正约数，）， 于是中存在两个元素，，它们都大于，进而都大于且都是的约数， 因此可以被2整除，与为奇数矛盾，假设不成立， 所以，，，，不是另一个正整数的所有正约数的一个排列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $