北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

北师大二附中2025-2026高二下数学期中数学试卷 一、单选题 1. 函数 的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 8. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 9. 已知公比不为的等比数列的前项和为，若、、成等差数列，且、、也成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知函数及其导函数满足，则_________． 12. 编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是，则__________． 13. 已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______. 14. 若恒成立，则实数a的取值范围为______． 15. 数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论： ①，； ②，； ③，； ④，当时，都有成立． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题 16. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，求数列的前项和． 17. 某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为．假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜． （1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率； （2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”．求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望． 18. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 19. 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11 高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12 高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5 （1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求； （2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望； （3）试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）． 20. 已知函数，． （1）若存在x使得成立，求a的取值范围； （2）当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 21. 若正整数整除正整数，则称是的正因数，如2是6的一个正因数，设正整数有个正因数，从小到大排列成数列：．记为正整数的正因数个数，为正整数的所有正因数的和，如，． （1）求，，； （2）当时，若，，，构成等比数列，求正整数； （3）当时，若是正整数的所有正约数的一个排列，那么，，，，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 北师大二附中2025-2026高二下数学期中数学试卷 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】41 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）的分布列如下： 数学期望为 【18题答案】 【答案】（1）； （2）． 【19题答案】 【答案】（1）估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500 （2）以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 （3）高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为高一高二高三 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1）24，，； （2）； （3）没有，证明： 假设，，，，是另一个正整数的所有正约数的一个排列， ，， 易知，而，则， 又，于是是奇数，为奇数，又，则是偶数， 其中中最大的两个元素为，，显然中每个元素都不超过， 特别地，， 设，，其中（因为有个正约数，）， 于是中存在两个元素，，它们都大于，进而都大于且都是的约数， 因此可以被2整除，与为奇数矛盾，假设不成立， 所以，，，，不是另一个正整数的所有正约数的一个排列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $