精品解析：广东深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 命题人：张宏伟 蒲逸凡 邹丽欣 成自然 郭春辉 审题人：胡婷婷 李巧芳 本卷共19题，满分150分，用时120分钟 一､单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 3. 若函数的图象与直线相切，则实数（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 4. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（ ）种. A. 27 B. 36 C. 54 D. 60 5. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 7. 某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（ ） A. 0.8 B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（ ） 1 2 4 5 0.2 0.35 0.3 A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若为圆上一点，则的最大值为7 11. 牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线的方程为 C. D. 对任意非负整数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处取得极值3，则__________. 13. 已知的展开式中的系数为0，则实数的值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数在区间上的最大值. 15. 已知的二项展开式有项. （1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求该展开式中含的项； （3）求该展开式中系数最大的项. 16. 定义函数为数列的“生成函数”，且． （1）求的通项公式； （2）求． 17. 甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响. （1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率； （2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率； （3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列. 18. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. （1）证明：若，则为函数； （2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. （3）若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 命题人：张宏伟 蒲逸凡 邹丽欣 成自然 郭春辉 审题人：胡婷婷 李巧芳 本卷共19题，满分150分，用时120分钟 一､单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 由，得，得， 故． 2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 3. 若函数的图象与直线相切，则实数（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设切点为， 由， ， 所以有， 所以切点为，代入中，得. 4. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（ ）种. A. 27 B. 36 C. 54 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据条件得到排列的要求，再按照受限制元素优先的原则，进行排列，即可求解. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名， 所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法， 所以5人的名次排列有种方法. 5. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，然后根据条件概率公式计算. 【详解】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则， ，， 所以. 6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 【答案】D 【解析】 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 7. 某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（ ） A. 0.8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式以及互斥事件概率的加法公式,计算任一题做对概率. 【详解】选做完整做对的题目且做对概率, 选做有思路的题目且做对概率, 选做完全没有思路且做对概率, 综上,任选一题能做对概率. 故选:B. 8. 已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和指数型函数的单调性，结合零点的定义、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】因为，且函数和都是上的增函数， 所以要想恒成立，则需函数和的零点相同， 令， 令， 所以，则， 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 故，所以最大值为. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（ ） 1 2 4 5 0.2 0.35 0.3 A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 10. 已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接求解渐近线方程判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可． 【详解】对于A：双曲线，渐近线方程为； 双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：由题意得，， 由双曲线的定义得，， 故的周长为，故B正确； 对于C：在右支上，设，则， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点；故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，故D正确． 11. 牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线的方程为 C. D. 对任意非负整数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，，，可判断AC；由切线方程判断B；由于，令利用导数求最值. 【详解】A：函数，， 由牛顿迭代法可知曲线在点处的切线方程为， 令，即可得、， ，故A正确； B：的方程为， 代入整理得到，故B错误； C：由牛顿迭代法公式，得， 或通过将代入切线方程中，整理得C正确； D：对任意非负整数， 作以及切线的图象可知对任意正整数， 故对任意非负整数， 令， 故， 从而，当且仅当时等号成立，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处取得极值3，则__________. 【答案】12 【解析】 【详解】因为，所以， 因为函数在处取得极值3， 所以，解得， 检验：当，时，函数，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当或时，，函数在，上单调递增， 所以函数在处取得极大值， 在处取得极小值， 经检验，满足题意， 所以. 13. 已知的展开式中的系数为0，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式通项公式结合条件即得. 【详解】，所以展开式中含的项为， 因为展开式中的系数为0，所以，解得. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，求函数的导数即可求解. （2）求的导数，令，再由即可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，解得：；令，解得：； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 【小问2详解】 由得：， 令，解得对恒成立， 在递减，. 15. 已知的二项展开式有项. （1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求该展开式中含的项； （3）求该展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据二项式系数和为求出的值,再通过赋值求出多项式各项系数和,最后作比算出两者的比值. （2）先写出二项展开式的通项公式,整理得到的指数表达式,令指数等于7解出,再把代回通项算出对应项. （3）沿用已得的通项,取出各项系数构造相邻项系数大小的不等式组,化简不等式求出的取值范围,结合为自然数确定,进而求出系数最大的项. 【小问1详解】 因为二项展开式有7项，所以，解得. 所以二项式系数和为， 令，得各项系数和为. 因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. 【小问2详解】 由（1）可得展开式通项为. 令，解得. 代入通项得. 故含的项为. 【小问3详解】 由（1）可得展开式通项为 设第项系数最大，则第项系数为. 列不等式组，即 化简得，解得，又，故. 系数最大的项为. 16. 定义函数为数列的“生成函数”，且． （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出的前项和，再结合数列的性质求出； （2）先求出，再利用错位相减法求出． 【小问1详解】 由已知可得， 故的前项和为， 当时，， 当时，， 满足， ． 【小问2详解】 由可得， 令，则， 则， ， ． 17. 甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响. （1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率； （2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率； （3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 0.15 0.35 0.35 0.15 【解析】 【分析】（1）利用事件拆分原理，把做对试题拆分为做对且做对、做对且做错两个互斥事件，用做对的总概率减去两题都做对的概率，直接求出做对却做错的概率. （2）先由互斥事件概率公式求出做错且做对的概率，再算出做错试题的对立事件概率，代入条件概率公式，用交集概率除以条件事件概率算出对应条件概率值. （3）先逐一算出甲做对题、题、题的概率，确定随机变量的所有取值，再结合乙做题的固定概率，分类枚举甲乙答对题目数量的组合情况，分别算出每个取值对应的概率，进而列出分布列. 【小问1详解】 设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件. 由题设可知， 所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为 【小问2详解】 由题设可知. 又，所以. 故. 【小问3详解】 根据题意甲做对题概率为. 甲做对一题的概率为 分析可得 （甲乙） （甲乙或甲乙） （甲乙或甲乙） （甲乙） 可得的分布列为 0 1 2 3 0.15 0.35 0.35 0.15 18. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. （1）证明：若，则为函数； （2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. （3）若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）是函数，证明见解析 （3）（i） （ii）法1，由题意，则. 由（2）知， 故且两式相乘得： ，故得证. 法2，不妨设，要证，即证. 因为在上单调递减，所以只需证. 又因为，所以只需证， 即证，令， 对求导，得 令，， 对求导得， 所以在上单调递增. ，故. 故在上单调递增，. 即，所以，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求出、根据函数定义可得答案； （2）根据可证明是函数； （3）法1，（i）转化为有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点，利用导数判断出的单调性结合图象可得答案；（ii）由题意，由（2）知，得且两式相乘得证.法2（i）利用导数判断出的单调性求出最小值可得答案；（ii）不妨设，即证，根据在上单调递减只需证，构造，再利用导数判断出的单调性求出最值可得答案. 【小问1详解】 由可得， 因，而， 即成立， 故为函数； 【小问2详解】 是函数.证明如下： 因.要证明，即证. 不妨设，只需证， 令，则需证. 考虑函数， ， 则函数为上的增函数， 当时，，即 ∴函数是函数； 【小问3详解】 法1， （i）有两个不同的零点等价于 方程有两个不同的解. 又.令，则. 因为函数是上的增函数， 所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点. ，当时，；当时，. 则在上单调递减，在上单调递增.故. 当时，时，. 故若直线与函数的图象有两个不同交点， 则. 又因为，是上的增函数， 故得，故实数的取值范围为. （ii）略 法2 （i）函数的定义域为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为. 当时，，当时，. 因为函数有两个零点，故只需，解得. 故的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $