10.1 二元一次方程组的概念 课件 2024-2025学年 人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.1 二元一次方程组的概念 人教 2024 旧知回顾 1. 什么是一元一次方程？"一元"指的是什么？"一次"又指的是什么？ 2. 什么叫一元一次方程的解？ 3. 一元一次方程求解的步骤是什么？ 情境引入 新疆是我国棉花的主要产地之一. 近年来，机械化采棉已经称为新疆棉采摘的主要方式. 某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘. 如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 列一元一次方程求解： 设这个种棉大户租用了x台大型采棉机， 则租用了(6-x)台小型采棉机. 可列一元一次方程：2x+(6-x)=8 解这个方程得 x=2 6-x=4... 问题中有两个未知的量，可设两个未知数： 若设这个种棉大户租用x台大型采棉机，y台小型采棉机. 那么，x、y必须同时满足两个等量关系： 大型采棉机台数+小型采棉机台数=6 即 x+y=6 大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=8 即 2x+y=8 合作探究 上述分析过程中，出现了两个方程：x+y=6和 2x+y=8 这两个方程的共同点： (1) 每个方程都含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式； (2) 含有未知数的项的次数都是1 具备以上两个特点的方程叫作二元一次方程. 例. 判断下列是否是二元一次方程： (1) 4x+2y+z=6 (2) x2+y=0 (3) (4) 2m-3n<4 (5) xy=6 (6) x2+3x-5y=4+x2 1. 若 x2m-3 +5y3n-7m=7是关于 x、y的二元一次方程，则 m= ，n= . 2. 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1＝3是关于 x、y的二元一次方程，则 m＋n＝ . 3. 对于关于x、y的二元一次方程x+6y=24，显然x=6，y=3满足这个方程，称x=6， y=3是二元一次方程x+6y=24的一组解，并且把这组解写成 的形式. 判断以下是不是这个二元一次方程的解，并由此猜想二元一次方程有多少组解. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 小试牛刀 二元一次方程有无数组解. 小试牛刀 5. 填表，使得表中上下每对x、y的值都是二元一次方程3x+y=5的解. x -3 -2 -1 0.4 0 y 0 2 2.5 4 对于给定的二元一次方程，给出其中一个未知数的值，就可以求出另外一个未知数的值，从而得到这个二元一次方程的其中一组解. 4. 若 是关于 x、y的方程 x－ky=1的一组解，则 k的值为 . 合作探究 关于x、y的二元一次方程3x+y=5有无数组解，但是它的自然数解呢？ 所有未知数的值都是自然数，叫作自然数解， 类似的还有正整数解等等 二元一次方程3x+y=5的自然数解只有两组： 和 1. (1)求关于x、y的二元一次方程3x+2y=24的自然数解和正整数解. (2)求关于x、y的二元一次方程3x+7y=63的正整数解. 奇偶分析法和倍数分析法 2. 把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，为了不造成浪费，应截成2m长和1m长的钢管各多少根？ 合作探究 回到前面的问题，由于实际问题需要同时满足两个等量关系，所以我们把 方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ②合在一起，写成 这就组成了一个方程组. 合作探究 回到前面的问题，由于实际问题需要同时满足两个等量关系，所以我们把 方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ②合在一起，写成 这就组成了一个方程组. 方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 合作探究 继续分析方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ② 对于方程 x+y=6 ①，下表中给出了未知数x的若干数值，请将表格填写完整： x -1 0.1 1 2 3 4 ... y ... 其中，x=-1和x=0.1不符合实际问题，但是对应的数值仍旧是方程①的解. 判断：上表中，有没有方程 2x+y=6 ②的解？ 既是方程①的解，也是方程②的解，也就是说，它是方程①和②的公共解. 我们把 叫作方程组 的解. 合作探究 继续分析方程 x+y=6 ①和 2x+y=8 ② 对于方程 x+y=6 ①，下表中给出了未知数x的若干数值，请将表格填写完整： x -1 0.1 1 2 3 4 ... y ... 其中，x=-1和x=0.1不符合实际问题，但是对应的数值仍旧是方程①的解. 判断：上表中，有没有方程 2x+y=6 ②的解？ 既是方程①的解，也是方程②的解，也就是说，它是方程①和②的公共解. 我们把 叫作方程组 的解. 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 通常情况下，二元一次方程组只有一组解. 联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机和4台小型采棉机. 小试牛刀 1. 下列方程组是二元一次方程组的是( ) A B C D 2. 已知 是关于x、y的二元一次方程组 的解， 则m= ，n= . 3. 二元一次方程组 的解是( ) A B C D 逐一验证很麻烦. 如何快捷处理？ 小试牛刀 4. 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解. (1) 某乡村振兴项目计划把28t 黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任务. 这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？ (2) 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 某队在10场比赛中得到16分，这个队得胜、负场数分别是多少？ 5. 请列出符合题意的二元一次方程组. (1) 加工某种产品需经过两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件. 现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等? (2) 小锦和小丽购买了价格分别相同得中性笔和笔芯，小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，用了28元. 问每支中性笔和每盒笔芯的价格. 再 见 $