精品解析：福建厦门市同安区2025－2026学年第二学期第一阶段综合练习 七年级数学

福建厦门市同安区2025-2026学年第二学期第一阶段综合练习七年级数学 （满分150分；时长120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0.2 B. C. D. 2. 下列各点中，位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 如图，下面条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点向上平移两个单位长度后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 图1为某学校大礼堂配备的可折叠礼堂椅实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，某地区依托丰富的自然资源与区位优势，大力发展特色农业与乡村旅游，推动“农业·文化·旅游”深度融合，为乡村振兴注入新动能．春节期间，笑笑一家慕名来到当地热门草莓采摘园体验田园乐趣．园内主打“红颜”与“白雪”两个草莓品种—红颜香甜多汁，白雪清甜爽口，白雪草莓比红颜草莓每斤贵10元，笑笑家采摘了2斤红颜草莓和1斤白雪草莓，共支付了70元，若设红颜草莓单价为元/斤，白雪草莓单价为元/斤，根据题意，下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，其中，当线段的长度最短时，三角形的面积是（ ） A. B. 16 C. 20 D. 40 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 4的平方根是_____；的相反数是_____． 10. 已知方程，用含的代数式表示，则 ______ ． 11. 如图，已知直线与直线被直线所截，，若，则______． 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是_______． 13. 要说明命题：“若为无理数，则与的和为无理数”是假命题，其反例可以是______．（写出一个满足条件的反例即可） 14. 现有一个长方形信封如图所示，长与宽之比为，面积为，现要在此长方形信封中沿着边的方向放入一张正方形贺卡，已知正方形贺卡的边长为正整数，则正方形贺卡边长的最大值是______． 15. 关于x，y的方程组的解满足，则k的值是________． 16. 如图，正方形四个顶点的坐标分别是,，将线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则m，n的数量关系为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组：． 19. 已知：如图所示，， 求证：． 20. 如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 21. 如图，已知平分平分，若，求的度数． 22. 如图，已知图中点和点的坐标为和． （1）请在图中根据点坐标建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）将三角形平移到三角形，使三角形内一点平移后的对应点为，在图中画出平移后的三角形，并求出三角形的面积． 23. 学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． （1）已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图； 方案1：_______________ 方案2：__________________； （2）若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ （3）该工厂购买块板材和套铁架（且），共花费1815元，其中板材价格33元/块，铁架价格17元/套．请你求出所有购买方案，并求出能做成椅子数量的最大值． 24. 在平面直角坐标系中有两点，把两点横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和称为两点间的“曼哈顿距离”，记作．例如点，点，则． （1）已知点，点，求； （2）已知点，点在轴上，若，求三角形的面积； （3）已知点，若点位于第二象限，且满足，在图中画出所有符合条件的点Q组成的图形． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． （1）证明：； （2）过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建厦门市同安区2025-2026学年第二学期第一阶段综合练习七年级数学 （满分150分；时长120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根，无理数的定义判断即可． 本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是有理数，不是无理数；是有理数，不是无理数，是有理数，不是无理数，是无理数； 故选：C． 2. 下列各点中，位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据平面直角坐标系中点的坐标特征，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正判断即可． 【详解】解：第二象限的点满足且． 选项A：，，，不在第二象限； 选项B：，，，不在第二象限； 选项C：，，，在第二象限； 选项D：，，，不在第二象限； 故选：C． 3. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的，的值代入原方程，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 4. 如图，下面条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由，可得，不能得到，故选项不符合题意； B、是四边形的对角，不能判断边平行，故选项不符合题意； C、由，可得，不能得到，故选项不符合题意； D、由，可得，故选项符合题意； 5. 在平面直角坐标系中，点向上平移两个单位长度后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平面直角坐标系中点的平移规律为：左右平移改变横坐标，左减右加，上下平移改变纵坐标，上加下减，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点向上平移两个单位长度后得到点， ∴点的坐标为，即． 6. 图1为某学校大礼堂配备的可折叠礼堂椅实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行内错角相等求出  的度数，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 7. 近年来，某地区依托丰富的自然资源与区位优势，大力发展特色农业与乡村旅游，推动“农业·文化·旅游”深度融合，为乡村振兴注入新动能．春节期间，笑笑一家慕名来到当地热门草莓采摘园体验田园乐趣．园内主打“红颜”与“白雪”两个草莓品种—红颜香甜多汁，白雪清甜爽口，白雪草莓比红颜草莓每斤贵10元，笑笑家采摘了2斤红颜草莓和1斤白雪草莓，共支付了70元，若设红颜草莓单价为元/斤，白雪草莓单价为元/斤，根据题意，下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由“白雪草莓比红颜草莓每斤贵元”可得 ，由“斤红颜草莓和斤白雪草莓共支付元”，可得 ，据此列方程组即可． 【详解】解： 设红颜草莓单价为元/斤，白雪草莓单价为元/斤， 由题意得． 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，其中，当线段的长度最短时，三角形的面积是（ ） A. B. 16 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】由点C的坐标可知点C在直线上，点B也在该直线上，根据垂线段最短可得最短时垂直直线，据此求出C点坐标，再计算三角形的面积即可． 【详解】∵点，其中， ∴点C在直线上， 又∵点， ∴点B也在直线上， ∵垂线段最短可知， ∴当直线时，线段长度最短， ∵直线平行于x轴，， ∴此时C点横坐标与A点横坐标相同，即C点坐标为， ∴，， ∵， ∴三角形的面积为：． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 4的平方根是_____；的相反数是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平方根的定义和相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； 的相反数是． 10. 已知方程，用含的代数式表示，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】将含x的项直接移项即可． 【详解】解：， 移项、得， 故答案为：． 【点睛】本题考查用含有x的代数式表示y，能够熟练掌握方程的移项是解决本题的关键． 11. 如图，已知直线与直线被直线所截，，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，根据垂线定义得出，最后根据角度间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，在轴上的点的横坐标为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴ ， 解得． 13. 要说明命题：“若为无理数，则与的和为无理数”是假命题，其反例可以是______．（写出一个满足条件的反例即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】要说明该命题为假命题，只需构造满足命题条件，不满足命题结论的例子即可，即取为无理数，使为有理数即可． 【详解】解：命题条件为：，是无理数，命题结论为：是无理数， 取，此时是无理数，满足命题条件， 计算得， 是有理数，不满足命题结论，因此可作为该命题的反例． 14. 现有一个长方形信封如图所示，长与宽之比为，面积为，现要在此长方形信封中沿着边的方向放入一张正方形贺卡，已知正方形贺卡的边长为正整数，则正方形贺卡边长的最大值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】先设长方形信封长为，则宽为，根据长方形信封的面积为，列出方程，求出，从而得出正方形贺卡的边长不能超过，再根据正方形贺卡的边长为正整数，得出正方形贺卡边长的最大值是． 【详解】解：∵长方形信封，长宽之比为，面积为， 设长方形信封长为，则宽为， 则， 解得：，负值舍去， ∴长方形的宽为， ∴在此长方形信封中沿着边的方向放入一张正方形贺卡，正方形贺卡的边长不能超过， ∵，正方形贺卡的边长为正整数， ∴正方形贺卡边长的最大值是． 15. 关于x，y的方程组的解满足，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，得到含的的表达式，结合已知构造关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：， 由得，， ∴， ∵， ∴， 解得． 16. 如图，正方形四个顶点的坐标分别是,，将线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则m，n的数量关系为______． 【答案】或，且， 【解析】 【分析】由线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点，得，，且，，再根据点到直线的距离等于点到直线的距离，可得，代入，，即可求解． 【详解】解：由线段平移之后得到线段，点的对应点（且），点的对应点， ∴，，且，， ∵,， ∴轴，轴， ∴点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∵点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，m，n的数量关系为或，且，． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程即可得到答案. 【详解】解： ，得，解得 把代入得 ∴方程组的解为： 【点睛】本题主要考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握加减消元法. 19. 已知：如图所示，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】考查了平行线的性质定理和判定定理，利用平行线的性质定理可得，等量代换可得，利用同旁内角互补，两直线平行可得结论． 【详解】略 20. 如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为15，宽为6 【解析】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得长的2倍等于宽的5倍，且长与宽的和为21，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得，， 解得， 答：小长方形的长为15，宽为6． 21. 如图，已知平分平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，，从而得到，然后根据角平分线的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 22. 如图，已知图中点和点的坐标为和． （1）请在图中根据点坐标建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）将三角形平移到三角形，使三角形内一点平移后的对应点为，在图中画出平移后的三角形，并求出三角形的面积． 【答案】（1） 平面直角坐标系如图所示； ； （2）三角形即为所求； ， 【解析】 【分析】（1）根据点A和点B的坐标确定坐标轴和原点的位置，据此建立平面直角坐标系，再根据点C的位置可得点C的坐标； （2）根据点P和点的坐标可得平移方式，根据平移方式可得点，据此描点，连线画图，再利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将三角形平移到三角形，使三角形内一点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度， ∴，即， 如图所示，三角形即为所求， 则． 23. 学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． （1）已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图； 方案1：_______________ 方案2：__________________； （2）若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ （3）该工厂购买块板材和套铁架（且），共花费1815元，其中板材价格33元/块，铁架价格17元/套．请你求出所有购买方案，并求出能做成椅子数量的最大值． 【答案】（1） 解：方案1：裁剪1块椅座，6块椅背，如图： 方案2：裁剪4块椅座，2块椅背，如图： （2）有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 （3）购买方案为：购买38块板材和33套铁架或购买21块板材和66套铁架或购买4块板材和99套铁架；最多能做成66个椅子 【解析】 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； （3）根据题意得：，再由a，b均为正整数，可得b为33的正整数倍，从而得到b取33，66，99，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪； 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴b为33的正整数倍， ∴b取33，66，99， 当时，，此时最多能做成33个椅子； 当时，， 设有x块板材按方案1裁剪，有y块板材按方案2裁剪； 此时，解得：， 即有6块板材按方案1裁剪，有15块板材按方案2裁剪， 此时最多能做成个椅子； 当时，， 若4块板材按方案2裁剪，可以做成个椅子； 若3块板材按方案2裁剪，有1块板材按方案1裁剪，可以做成个椅子； 若2块板材按方案2裁剪，有2块板材按方案1裁剪，可以做成个椅子； 若4块板材按方案1裁剪，可以做成4个椅子； 此时最多能做成12个椅子； 综上所述，购买方案为：购买38块板材和33套铁架或购买21块板材和66套铁架或购买4块板材和99套铁架；最多能做成66个椅子． 24. 在平面直角坐标系中有两点，把两点横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和称为两点间的“曼哈顿距离”，记作．例如点，点，则． （1）已知点，点，求； （2）已知点，点在轴上，若，求三角形的面积； （3）已知点，若点位于第二象限，且满足，在图中画出所有符合条件的点Q组成的图形． 【答案】（1） （2）2或6 （3） 如图所示，点，线段（不包括端点）即为所有符合条件的点Q组成的图形． 【解析】 【分析】（1）根据“曼哈顿距离”定义求解即可； （2）设点N的坐标为，根据“曼哈顿距离”定义可得，解方程求出点N的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）设点Q的坐标为，则，据此求出t与s的关系式，再画图即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：设点N的坐标为， ∵点，， ∴， ∴， 解得或， ∴点N的坐标为或； 当点N的坐标为时，则， ∴， 当点N的坐标为时，则， ∴， ∴的面积为2或6； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为， ∵点，且满足， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． （1）证明：； （2）过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）过点P作，可证明，得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①设直线交x轴于点K，根据题意可得，，轴，则；根据，求出，据此可得答案；②分点Q在点D上方和点Q在点D下方这两种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $