专题10图形的轴对称复习讲义（13大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题10图形的轴对称复习讲义 高效复习◆重点 1.核心概念辨析：吃透轴对称图形与两个图形成轴对称的定义，分清二者本质区别、掌握内在联系。 2.轴对称性质应用：熟记轴对称基本性质，能利用其证明线段相等、角相等，规范几何推理与作图步骤。 3.常见图形特征识别：熟练掌握线段、角、等腰三角形等常见轴对称图形的对称轴条数与位置。 4.核心工具运用：掌握线段垂直平分线、角平分线的核心作用，实现线段与角的等量转化，服务于几何证明与计算。 5.作图与实际应用：掌握轴对称标准作图方法，结合上述性质解决最短路径等实际问题，提升几何推理能力。 核心题型◆归纳 题型1成轴对称的两个图形的识别 题型2根据成轴对称图形的特征进行求解 题型3求对称轴条数 题型4轴对称图形的折叠问题 题型5台球桌面上的轴对称问题 题型6轴对称中的光线反射问题 题型7等边对等角 题型8三线合一 题型9线段垂直平分线的性质 题型10角平分线的性质定理 题型11最短路径问题 题型12关于轴对称的综合应用 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、轴对称图形 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线为对称轴。 知识点二、两个图形成轴对称 一个图形沿某直线折叠，能与另一个图形完全重合，则两图形关于这条直线成轴对称；该直线叫对称轴，折叠重合的点为对称点。 知识点三、轴对称图形与两图形成轴对称的区别与联系 区别：轴对称图形是一个图形自身对称；成轴对称是两个图形的位置对称关系。 联系：都能沿直线折叠重合，遵循相同的轴对称性质。 知识点四、轴对称基本性质 成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角分别相等； 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴，也是图形上任意一对对应点连线的垂直平分线； 对应线段、角相等，对应线段延长线交点必在对称轴上。 知识点五、常见轴对称图形 轴对称图形 对称轴条数 对称轴位置 线段 2 条 线段所在直线、垂直平分线 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边高 / 中线 / 顶角平分线所在直线 等边三角形 3 条 各边高、中线、角平分线所在直线 长方形 2 条 对边中点连线所在直线 正方形 4 条 对边中点连线、对角线所在直线 圆 无数条 任意过圆心的直线 知识点六、线段垂直平分线 性质：垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等； 几何语言：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵ PA = PB∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 作用：轴对称核心推论，常用于证线段相等、找对称点。 知识点七、角平分线 角平分线的定义：将一个角分成相等的两个角的射线叫这个角的角平分线 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 几何语言：∵ OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，P 在 OP 上， ∴ PM = PN 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上. 几何语言：∵ PM⊥OA，PN⊥OB，PM = PN ∴ OP 为∠AOB 的角平分线 知识点八、轴对称作图步骤 1.作轴对称图形 ① 找原图形关键点；② 过关键点作对称轴垂线，截取等长，作出对称点；③ 顺次连接对称点，即成所求图形。 2. 找对称轴① 取一组对应点；② 作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴。 知识点九、易错点归纳 混淆 “一个图形轴对称” 与 “两个图形成轴对称”； 漏数、错判对称轴数量； 忽略轴对称图形全等的隐含关系； 作图不规范：对称点与对称轴不垂直、线段不等长； 分不清垂直平分线性质与判定，不会灵活证线段相等。 题型解析◆精准备考 题型1成轴对称的两个图形的识别 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 2．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 3．如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【答案】不可以 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：因为找不到一条直线使沿着这条直线对折后与互相重合， 所以不可以看作由经过轴对称得到． 题型2根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 2．如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 【答案】10 【分析】先求出，，再得出点三点共线，根据解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点分别为点关于射线，射线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴． 3．如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得到、，进而求出的周长为长． 【详解】解：点，分别是点关于，的对称点， 、， ， 的周长为． 题型3求对称轴条数 1．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 2．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 3．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 【答案】对称轴分别有：2条，1条，1条；图见详解． 【分析】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分别分析得出答案． 【详解】图（1）对称轴2条， 作图如下： ； 图（2）对称轴1条， 作图如下： ； 图（3）对称轴1条， 作图如下： ． 题型4轴对称图形的折叠问题 1．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求出，再结合折叠性质和平角定义求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵点，，在同一直线上， ∴ ． 2．折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)90 (3)的度数为或． 【分析】（1）由折叠的性质得，据此求解即可； （2）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质得； （2）解：∵E，，三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠部分不重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 当折叠部分重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 题型5台球桌面上的轴对称问题 1．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 2．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 3．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型6轴对称中的光线反射问题 1．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 2．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 3．如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质及两点之间线段最短，解题的关键是利用轴对称将折线路程转化为直线段路程． 作点关于河边的对称点，连接与河边所在直线l交于点；利用轴对称得，结合两点之间线段最短，知为最短路程． 【详解】解：作点关于河边所在直线l的对称点， 连接，与河边所在直线l交于点， 点与关于河边对称， ， ， 由两点之间线段最短，得为最短路径， 故点是使路程最短的饮马点． 题型7等边对等角 1．如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 2．如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 3．如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 题型8三线合一 1．如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 故选：D 2．八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 3．如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形“三线合一”的性质，进行证明即可． 【详解】证明：，，， ， ，又， ． 题型9线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 3．如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）解：边的中垂线，如图1即为所求； （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 题型10角平分线的性质定理 1．如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 2．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【答案】7.5 【分析】根据翻折的性质得到平分，根据，求出的长，角平分线的性质，结合等积法进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离均为， ∵，， ∴， ∴， ∴；即点D到的距离是7.5． 3．如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积15 【分析】本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质定理和三角形的面积，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理作的角平分线即可； （2）过点D作于点E，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：过点D作于点E，如图， 由（1）可得，， ∴ ． 题型11最短路径问题 1．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 2．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 3．如图是由边长为的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点、在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小． 【答案】(1) 即为所求； (2)见解析 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）连接交于即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 题型12关于轴对称的综合应用 1．已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴当和重合时，， ∵ ∴的最小值为 ∵，，． ∴ ∵ ∴， 故选：B． 2．如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 3．如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析． 【分析】（1）根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系； （2）①利用外角的关系用其他角度表示，再由三角形外角进行换角计算得到为，得到垂直关系；②通过设元，通过外角和角平分线换角用表示，即可得到两个角的大小关系． 【详解】（1）平分， ， 是外角的平分线， ， 又，， ， （2）①如图2，与交于点O，    由对称的性质可知，，， 当时，， ，， ， ， ， ； ①当时，，理由如下： 如图3，设 与关于对称， ， ， ， 当时， 由（1）知 ， 【点睛】本题考查三角形结合角平分线的角度关系计算，对三角形外角定理的熟悉是解题的关键，且在复杂的计算中可以采用设元的方式来简化计算，减少错误率． 过关检测◆提升 一、单选题 1．《三角洲行动》是国产自研战术射击大作，真实战场体验，硬核竞技，彰显中国游戏研发实力，下列干员成就徽章中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的定义，能够正确判断轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称的定义即可求解． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，两侧部分能够完全重合的平面图形，则选项A符合题意． 2．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据对称轴的定义解题即可． 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 3．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 4．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出的度数，结合，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 二、填空题 6．如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 7．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】解：实际车牌号是， 故答案为：． 8．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 9．如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴． 10．如图，在的正方形网格中，与图中阴影部分三角形关于某条直线对称的格点三角形（顶点在格线交点的三角形）共有______个． 【答案】 【分析】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点和对应点的位置． 【详解】解：如图所示，在此网格中与关于某条直线对称的格点三角形有个． 故答案为9． 11．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 14．如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 15．图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）取点D，使得，构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形解答即可； （2）取点E，使得，，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形，矩形的面积为，符合题意． （3）根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握网格作图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，取点D，使得， 构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形， 则点D即为所求． （2）解：如图所示，取点E，使得， ，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形， 矩形的面积为，符合题意， 则点E即为所求． （3）解：根据题意，得． 16．已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 【答案】(1)的度数为； (2)见解析． 【分析】（）由，则，，又沿着直线翻折得，点的对应点为点，所以，然后通过角度和差即可求解； （）根据作一个角等于已知角的方法作出，交于点，则即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵沿着直线翻折得，点的对应点为点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：如图，即为所求． 17．尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质得出，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵为中垂线， ， ， 由作图可得，， ， ， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 根据题意， ， ． 18．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10图形的轴对称复习讲义 高效复习◆重点 1.核心概念辨析：吃透轴对称图形与两个图形成轴对称的定义，分清二者本质区别、掌握内在联系。 2.轴对称性质应用：熟记轴对称基本性质，能利用其证明线段相等、角相等，规范几何推理与作图步骤。 3.常见图形特征识别：熟练掌握线段、角、等腰三角形等常见轴对称图形的对称轴条数与位置。 4.核心工具运用：掌握线段垂直平分线、角平分线的核心作用，实现线段与角的等量转化，服务于几何证明与计算。 5.作图与实际应用：掌握轴对称标准作图方法，结合上述性质解决最短路径等实际问题，提升几何推理能力。 核心题型◆归纳 题型1成轴对称的两个图形的识别 题型2根据成轴对称图形的特征进行求解 题型3求对称轴条数 题型4轴对称图形的折叠问题 题型5台球桌面上的轴对称问题 题型6轴对称中的光线反射问题 题型7等边对等角 题型8三线合一 题型9线段垂直平分线的性质 题型10角平分线的性质定理 题型11最短路径问题 题型12关于轴对称的综合应用 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、轴对称图形 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线为对称轴。 知识点二、两个图形成轴对称 一个图形沿某直线折叠，能与另一个图形完全重合，则两图形关于这条直线成轴对称；该直线叫对称轴，折叠重合的点为对称点。 知识点三、轴对称图形与两图形成轴对称的区别与联系 区别：轴对称图形是一个图形自身对称；成轴对称是两个图形的位置对称关系。 联系：都能沿直线折叠重合，遵循相同的轴对称性质。 知识点四、轴对称基本性质 成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角分别相等； 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴，也是图形上任意一对对应点连线的垂直平分线； 对应线段、角相等，对应线段延长线交点必在对称轴上。 知识点五、常见轴对称图形 轴对称图形 对称轴条数 对称轴位置 线段 2 条 线段所在直线、垂直平分线 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边高 / 中线 / 顶角平分线所在直线 等边三角形 3 条 各边高、中线、角平分线所在直线 长方形 2 条 对边中点连线所在直线 正方形 4 条 对边中点连线、对角线所在直线 圆 无数条 任意过圆心的直线 知识点六、线段垂直平分线 性质：垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等； 几何语言：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵ PA = PB∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 作用：轴对称核心推论，常用于证线段相等、找对称点。 知识点七、角平分线 角平分线的定义：将一个角分成相等的两个角的射线叫这个角的角平分线 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 几何语言：∵ OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，P 在 OP 上， ∴ PM = PN 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上. 几何语言：∵ PM⊥OA，PN⊥OB，PM = PN ∴ OP 为∠AOB 的角平分线 知识点八、轴对称作图步骤 1.作轴对称图形 ① 找原图形关键点；② 过关键点作对称轴垂线，截取等长，作出对称点；③ 顺次连接对称点，即成所求图形。 2. 找对称轴① 取一组对应点；② 作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴。 知识点九、易错点归纳 混淆 “一个图形轴对称” 与 “两个图形成轴对称”； 漏数、错判对称轴数量； 忽略轴对称图形全等的隐含关系； 作图不规范：对称点与对称轴不垂直、线段不等长； 分不清垂直平分线性质与判定，不会灵活证线段相等。 题型解析◆精准备考 题型1成轴对称的两个图形的识别 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 3．如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 题型2根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 3．如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 题型3求对称轴条数 1．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 3．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 题型4轴对称图形的折叠问题 1．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 2．折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 3．如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 题型5台球桌面上的轴对称问题 1．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 3．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 题型6轴对称中的光线反射问题 1．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 3．如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 题型7等边对等角 1．如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D为的中点，，则______． 3．如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 题型8三线合一 1．如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 3．如图，已知，，与相交于点． 求证：． 题型9线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 3．如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 题型10角平分线的性质定理 1．如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 3．如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 题型11最短路径问题 1．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 2．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 3．如图是由边长为的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点、在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小． 题型12关于轴对称的综合应用 1．已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 3．如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 过关检测◆提升 一、单选题 1．《三角洲行动》是国产自研战术射击大作，真实战场体验，硬核竞技，彰显中国游戏研发实力，下列干员成就徽章中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 3．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 4．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 二、填空题 6．如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 7．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______． 8．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 9．如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 10．如图，在的正方形网格中，与图中阴影部分三角形关于某条直线对称的格点三角形（顶点在格线交点的三角形）共有______个． 11．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 三、解答题 12．如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 13．如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 14．如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 15．图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 16．已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 17．尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 18．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $