精品解析：2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷(二) 数学

2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（二） 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法及共轭复数求解即可. 【详解】由， 得， 所以． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以． 3. 已知函数在区间上单调递增，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数型复合函数单调性判断方法，结合条件列式计算作答. 【详解】函数可看作函数，的复合函数， 又函数在上单调递增， 而函数在区间上单调递增， 则有函数在区间上单调递增， 且在区间恒成立， 因此，解得， 所以 的取值范围是. 故选：D. 4. 设双曲线的离心率分别为．若，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由 可知，则，， 又，所以．由可知， 则由 ，解得 ． 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由向量，得， 由，得，即， 因此，，ABD错误，C正确． 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为 ()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 7. 若函数在内有两个零点，是自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数在内有两个零点转化为有两解，令，根据导数与最值的关系求解即可. 【详解】函数在内有两个零点，即有两解.令，则， 当时，，当时，， 故当时，取最小值1， 又，所以． 8. 已知 的内角的对边分别为．若，且，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再求出，进而求出，最后利用三角形面积公式计算面积 【详解】由正弦定理：，所以，又， 所以，， 因为，所以 是锐角，， 当是锐角时，，与条件不符，所以是钝角， ， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系进而得到结论. 【详解】对于A，令，原中位数，将最大最小去掉后，，此时中位数，所以.故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，因为原数据的平均值为4，所以，去掉，，新的平均值为. 又 所以，因此，故C正确. 对于D，由上述计算，故D正确. 10. 已知直线与圆和圆都相切，则（ ） A. 的值有4组 B. 直线与圆 相切 C. 直线与圆 和圆 都没有公共点 D. 与圆 和圆 都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出两圆心及半径，利用点到直线距离公式列式求出，进而求解判断ABC；确定两圆的位置，再求出符合条件的最小圆半径即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 依题意，，，联立解得或， 当时，，解得或； 当时，，解得或，因此有4组值，A正确； 要直线与圆 相切，必有，而当时，直线与圆 不相切，B错误； 由，得直线与圆 和圆 都没有公共点，C正确； 由圆 和圆 的圆心都在 轴上，且两圆外离，这两个圆上距离最小的点为， 因此与两圆都相切的圆中，最小的半径为，面积最小为，D错误． 11. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ） A. 老师不排在两端的概率为 B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为 C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为 D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型即可判断A；利用插空法结合古典概型即可判断B；利用捆绑法结合古典概型即可判断C；利用排除法结合古典概型即可判断D. 【详解】对于A，老师不排在两端的概率为，故A正确； 对于B，先排甲、乙、丙之外的3人，有种，形成了4个空， 在这4个空中排甲、乙、丙，方法有种， 所以甲、乙、丙互不相邻的排法有种， 所以所求概率为，故B错误； 对于C，甲、乙、丙连排在一起有种， 把甲、乙、丙看作一个整体，再和其他三人一起排，有种， 所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为，故C正确； 对于D，从学生甲、乙、丙中任选出2人看作一个“整体”，方法有种， 先排教师和余下的两人，有种，形成了4个空， 将整体和另一个人插在4个空之间，有种， 所以满足条件的排法有种， 若老师排在两端，与其他两人先排，有种，形成了3个空， 将整体和另一个人插在3个空中，有种， 满足此条件的排法有种， 所以满足条件的排法有种， 所以所求概率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________． 【答案】## 【解析】 【详解】，由知的周期为2，又是偶函数， 所以， 当时，， 所以． 13. 已知等差数列的前 项和为，且，数列的前 项和为，若对于任意正整数 恒成立，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求的通项公式，再求和的表达式，并确定 的最小值 【详解】设的公差为 ，则， 所以，所以， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数 恒成立，则， 则 的最小值为． 14. 已知抛物线的准线方程为为坐标原点，是 上的两点，记直线的斜率分别为，且，直线 与 轴的交点为，点到直线的距离分别为，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先设出的坐标，通过关系式确定直线 过的定点，再求 【详解】 由抛物线的准线方程为知． 设点的坐标分别为，， 则有， 得，当时，直线 的方程为， 可得，代入可得， 可得点的坐标为，有， 又， ， 当时，如上图，关于 轴对称，的横坐标都为2，代入 得，所以是等腰直角三角形，所以，由对称性得， 故， 综上所述，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11 高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12 高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5 （1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求； （2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）300，400，500 （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义，结合题设可知高二、高三学生人数分别为700，800，再根据样本数据综合体育活动时间五天内低于10小时的人数比例求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出每一个对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可. 【小问1详解】 由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8， 已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800， 而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数，高一、高二高三占比分别为，，， 由，，， 因此，估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500． 【小问2详解】 由题可知，每天综合体育活动时间达到通知要求的，高三有3人，另5人没有达到要求， 所以的可能取值为0，1，2，3， 则，，，． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． 16. 已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍． （1）求函数的单调递增区间； （2）若在等比数列中，，数列的前 项和为，求满足的 的最小值． 【答案】（1） （2）7. 【解析】 【分析】（1）先求出的最小正周期，根据的最小正周期是的2倍且，求出的值；再根据点是两个函数的交点，分别代入和，再结合，求出的值，进而确定的解析式；利用正弦函数的单调递增区间的求解方法，结合的解析式，列出关于 的不等式，解不等式得到单调递增区间； （2）先根据等比数列的通项公式，由和求出公比，得到数列的通项公式，从而得到的表达式，利用局部等比数列求和公式求出，最后解不等式，求出 的最小值. 【小问1详解】 ，的最小正周期为； 函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍，的最小正周期为； ，； 函数的图象与函数的图象的一个交点为，. ，即，解得或； ，； . 令，得； 的单调递增区间为． 【小问2详解】 设等比数列的公比为. ，，由，得，解得； ． ，； ； 当 时，；当时，；当 时，； . ，，即； ； ，的最小值为7. 17. 如图，已知梯形 中，，点 是 的中点，将 沿 折起到的位置，使二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求点 到平面的距离； （3）求二面角 的正弦值． 【答案】（1）证明：因为在梯形 中，，点 是 的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将 沿 折起到的位置时，， 又平面，所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）通过，即可求证； （2）由等体积法即可求解； （3）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是二面角的平面角，， 在中，， 在和中，， 所以，所以的面积为， 在平面中，作，与 的延长线交于点 ， 则平面，由知， 的面积为， 设点 到平面的距离为 ，由三棱锥的体积得， 所以点 到平面的距离． 【小问3详解】 以，为 轴， 轴，过 与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面 的一个法向量，则 ，即 取 ，得 则， 设为平面 的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角 的正弦值为． 18. 已知函数是自然对数的底数． （1）若直线是曲线的一条切线，求实数 的值； （2）讨论的单调性； （3）若 时，，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）设切点为，由，求解即可； （2）求导，通过，，，讨论导数符号，即可求解； （3）由，通过分离参数得到当时，，当时，，再构造函数，通过求导确定单调性，进而可求解. 【小问1详解】 的定义域为， 因为直线是曲线的一条切线， 设切点为，所以，且， 所以或，且， 当时，， 当时，， 所以 ． 【小问2详解】 ， 当时，，所以 时， ； 时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 当 时，由得或， 当时，，所以在上单调递增； 当时，， 且 或时，， 当， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，， 且或 时，， 当 在和上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 由 时，得，，所以 ， 所以由得， 所以当时，，当时，． 令，则， 由得， 当或时，，当时，， 所以在和上都单调递减，在上单调递增， 所以当时，，则，① 当时，，则，② 由①②得实数 的取值范围是． 19. 已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为． （1）求 的标准方程； （2）设直线与 的两个交点分别为都不是 的顶点， 是坐标原点，的面积为为 的左顶点． （i）求的值； （ii）过作，交 于另一点 ，交直线 于点，求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上一点以及该点到焦点的距离联立方程可得； （2）联立直线与椭圆，根据韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以 的标准方程为． 【小问2详解】 （i）如图所示，由消去 ，得，， ， 又点 到直线的距离， 所以， 所以， 所以. （ii）如图所示，由（i）知， 由． 设直线的斜率为 ，则． 联立消去 ，得． 所以．又，所以， 由得所以， 所以，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（二） 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间上单调递增，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线的离心率分别为．若，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在内有两个零点，是自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知 的内角的对边分别为．若，且，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与圆和圆都相切，则（ ） A. 的值有4组 B. 直线与圆 相切 C. 直线与圆 和圆 都没有公共点 D. 与圆 和圆 都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 11. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ） A. 老师不排在两端的概率为 B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为 C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为 D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________． 13. 已知等差数列的前 项和为，且，数列的前 项和为，若对于任意正整数 恒成立，则 的最小值为___________． 14. 已知抛物线的准线方程为为坐标原点，是 上的两点，记直线的斜率分别为，且，直线 与 轴的交点为，点到直线的距离分别为，则的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11 高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12 高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5 （1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求； （2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为X，求X的分布列和数学期望． 16. 已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍． （1）求函数的单调递增区间； （2）若在等比数列中，，数列的前 项和为，求满足的 的最小值． 17. 如图，已知梯形 中，，点 是 的中点，将 沿 折起到的位置，使二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求点 到平面的距离； （3）求二面角 的正弦值． 18. 已知函数是自然对数的底数． （1）若直线是曲线的一条切线，求实数 的值； （2）讨论的单调性； （3）若 时，，求实数 的取值范围． 19. 已知椭圆上一点到其两焦点的距离之和为． （1）求 的标准方程； （2）设直线与 的两个交点分别为都不是 的顶点， 是坐标原点，的面积为为 的左顶点． （i）求的值； （ii）过作，交 于另一点 ，交直线 于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $