2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷（北师大版必修第二册）

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：北师大版必修第二册第一、二章. 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，周期为的奇函数为（ ） A. B. C. D. 4. 向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 函数（）的最小正周期为，则满足 A. 在上单调递增 B. 图象关于直线对称 C. D. 当时有最小值 6. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 7. 设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 11. 如图，在中，，，，若点为的中点，点在上，且，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为 . 13. 已知向量满足，，则 . 14. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为 . 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 16. 已知. （1）化简，并写出使有意义的实数的集合； （2）求函数的周期及满足的实数的集合. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若是上的点，平分，，求面积的最小值. 18. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若的面积为是上的点，且，求的长. 19. 已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点． （1）求的长度及的值； （2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围． ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C 0 ACD BCD ABD 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.2026是() A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 【解析】C因为2026=360°×5+226 180°<226°<270° 226° ,而 所以20是第三 2026° 象限的角，故 是第三象限的角. 4元 2.sin 3 √5 5 A.2 B.-2 c D.2 -sin 3 2 3.下列函数中，周期为2的奇函数为() A.)=sin2x B.=cos4x C.y=tan2x 第1页共18页 D.y=sin22x T= 【解析】C对A: 正二，故A错误： 2 对B:由y=Cos 为偶函数，故y=c0s4r 为偶函数，故B错误： 对C:7 2,由y=tanx为奇函数，故y=tan2x为奇函数，故C正确； 对D:令f=sin22x,则f-t=sin22-=sin22x=f(x) 又该函数定义域为R,故该函数为偶函数，故D错误. 4向量0,6在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则4：b=() A.3 B.3V2 C.3v2 D.3 【解析】A由图可知，同=3，同=V2,<a.6=45, 所i以i-6=cos<a.53x2x2-3 2 5.函数f=cos 6（o>0)的最小正周期为π，则fx)满足 A在03 2 上单调递增 B.图象关于直线X=6对称 -9 5π 第2页共18页 D.当×=12时有最小值-1 【解析D由函数/=©osox+石(0之0》的最小正周期为z得=2，则 ). 3时，2x+∈（区5 当∈(0， 6 66,显然此时f(x)不单调递增，A错误： 当-6 f(巧)=cos =0 6 2 0,B错误： 停=os 62，C错误. △AB 6.在 中，角1.8，C的对边分别是..,且 且2 coB=c,则9 △ABC 的 形状一定是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 2acos B=c 【解析】B因为 2sin Acos B=sin C 所以由正弦定理可得 因为A+B+C=元，所以 =π-(A+B) 所以sinC=sin[x-(A+B)]=sin(A+B), 2sin Acos B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 所以 所以sin AcosB-cosAsinB=0,所以sin(A-B)=0, 因为-T<A-B<π，所第贯兵9&贾以A=B, 所以△ABC 为等腰三角形 7.设函数f(x)=sin 0>0在区间(0，x)恰有三个最值点，两个零点，则。的 取值范围是() 513 「519 138 1319 A.36 B.36 C.63 D.6’6 【解析1c由函数f)=-sin+写)， 其中x∈(0，π，可得 or+c(行m+ 因为函数川在区间0，)恰有三个最值点、两个零点， 由y=sinx,x∈ 图象如图， 3π 2 2π5π3玩末 32 2 13 5π人m+元≤3沉，解得60≤8 138 由图可知，2 ≤3，所以o的取值范围为6’3 8.已知向量a、b、c满足：b为单位向量，且a+2b和ā-2b相互垂直，又对任意九∈R不 等式a-5P石-6泡成，若c=“牛2a+42”ue,则日的吸小值为() 32 6W5 5√13 6V39 A.1 B.5 C.13 D.13 第4页共18页 【解析】Da+2b和a-2b相互垂直， 则(a+2b)-(a-2b)=a2-4b12=0,b=1,则d=2, 结合图象，OA=a,OB=b,OB=1b, 则a-b=BA,a-b=BA, 因为1a-b≥a-b恒成立，则a-1b, 即(a-6=a万-2=0，则a,6=60, 1cf=+u+4a+16-8u+万+u+24-4a.万 9 4 3 -4u2+16u+16+16-8u+W2+-2+2u+8_42+16u+16,16-8u+w+-W2+2+8 9 4 3 9 4 3 _132+16u+304 对称轴u=一8 时： 36 131 智即E6 13 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若向量=(2,1,6=(1，-l,则下列说法正确的是() A.a+b=a-26 B.a-b与i平行 Cd+26在：上的投影向量为5⑦ D咖a)-3d 10 【解析】AcDA选项：a+b=(3,0),则a+=3,a-2b=(0,3),则a-2=3 ,所以a+列=a-2,故共18页 B选项：a-万=山，2)，又b=(1,-l,因为1×--2×1=-3≠0，所以ā-6与五 不平行，故B错误： c选项：a+2b=(4,-1,又ā=(2，，所以aa+2b=4×2+(-1×1=7, d=V2+1=5, a(a+2b a_7a 所以a+26在。上的投影向量为 故C正确； b 2×1+1×-1 v a V22+12×12+(-12 1 0,又(a,)∈[0，可' 所以如a6--cos在可=30 10,故D正确 10已知质数f-=n(or+xeRo>0Q<引角都分图象如图所示，则下列说 法正确的是() 5π 1元若 4 A.(x)=3sin 4 第6页共18页 兀 D.将f(x)的图象向右平移12个单位长度后所得函数的图象在[6兀，8π上不单调 T=41π_5西)=6m=2m 1 【解析】BCD对于A:由图象可知， 44 。，所以0=3， 1.5π 因为图象过4,3)、所以3=3s1n(× 34 +o),又l受，所0=2. 所以f(y=3sin(Gx+ 3 12,故A错误： 对于B: 3×3江+7)=3sin5-3y5 =3sin(× 4 34121 32,故B正确： 3 L+2km≤1 :2kmkeZ +6km≤x≤s9r+6kmk∈Z 所以6 312-6 ，解得：4 4 km+元，6+ π 所以不等式八x≥2的解集为 ,k∈Z 4 4 故C正确： 兀 对于D:将的图象向右平移12个单位长度后，得到y=3sin写x+13的图 象， 1 37π49π 5π45π 当x6元，8元]时，3x+3∈18，？18， 该区间包含218（正弦函数的极值 点)， 1 所以函数”=3sin3x+18在区间6m,8m上不单调，故D正确， 第7页共18页 11.如图，在△ABC中，AB=2,BC=3, ∠ABC= 3,若点D为AB的中点，点E在 BC上，且B亚=2EC,AE与CD相交于点F,则下列说法正确的是() D A.C- C.AE.DC=3 D.cos∠AFC=-2W7 7 【解析】ABD因为AB=2,BC=3, ∠ABC= 3, 由余弦定理知 AC2=BA2+BC2-2×BA×BC×cos∠ABC=4+9-2×2×3× =1 所以AC=V万，故A项正确： 因为点E在BC上，且BE-2EC, 所以 E=而+丽=丽+号8c=B+引4C-例}沥+ 3 ,故B项正 确： 因为D为MB的中点，BE=2EC 所亚=-A+号8C,Dc-i+c 则.c-(丽+号长34aiac+c >×4-4×2×3×23 3 12x9=4 ,故C项不正确； BE=-BC=2 由己知， 3 ，又AB=2, ABC=3,所以E=2, 又D-号B=1 2 CD=BD+BC2-2BD.BC.COSZCBD=1+9-2x1x3x1= 2 所以COs∠AFC= EA.DC -4 27 DC 2×√77，故D项正确。 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 公 12.已知圆的半径为2，则5的圆心角所对的弧长为 2π =r=x2= 【解析】由弧长公式可得 5 13.已知向量a,万满足la-1,5=-2,la-b列-V万，则a+26 【解折1由i-a-可-示-2a6+-V+-2a6=方 因为=1,5=-2：故+5-2a-万=1+4-2-ā.万=7， 可得a6=-1:则： a+26=Va+26=V示+4-a-6+46 =√a+4+4a.万=V×44町= 14.已知△1BC的内角4、B、C的对边分别为a、b、,点0 △ABC的外心，且 =2 sin2B+sin2C+cos2A+sin(π-B)sin(元+C)=l,则△OAC和△OBC面积之差的 最大值为 【解析】由sin2B+sin2C+cos2A+sin(元-B)sin元+C)=l, 可得sin2B+sin2C+cos2A-sin Bsin C=1 所以sin2B+sin2C-sin Bsin C=1-cos2A=sin2A, 由正弦定理得6+c2-g=bc再由余弦定理得c0sA=公+d=} 2bc 2 因为A∈(0，所以1= 设△ABC的外接圆半径为R,由O为△ABC的外心， 则04=0B=00=P'且2R=6s2 sin B sin B' 即R=、1 sin B 因为∠40C=2B'且∠B0C=2A=20, 3 所以sae-Rsn乙i0c-万 2 sin2B 'sin28=1 tan B Scc-)R'sin∠BoC=}。sin 2元V3sin2B+cos2BV3 2 sin2B “34 sin2B 4 tan2B aan t =-512V32第g页共18页 V3 4 tan B 3 12 所以当。B=3，即tan B=v3 2时。，和 2 AOAC ABOC C面积之差的最大值为 12 C 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知向量a=(4,-2),万=(1，x 1)若a1(2a+,求x的值： (2)若ma+46=(8,-10),求向量a与b夹角的余弦值。 【解析】(1)因为a=(4-2),b=(1,x,所以 2a+b=2(4-2)+(1,x)=(9,x-4), 又a12a+,所以a2a+=4×9-2(x-4=0,解得x=22: (2)因为ma+46=m4,-2)+41,=(4m+4,-2m+4x=(8,-10), 4m+4=8 所以-2m+4x=-10,解得m=1'x=-2,所以万=(1，-2)， 、 a.b_4+44 25V55, 4 即向量a与b夹角的余弦值为5. tanπ-asinπ-oa)si (T+a 16.已知fa)= 一第山页共8 3π cos3π+a)cos (1)化简fa,并写出使八a有意义的实数a的集合： 2求数=/2x-引的周及满是=2} 的实数x的集合 tanπ-o)sinπ-a)sin 2 【解析】(1)由题意得f(a)= cos3π+a)cos 3 2 i-a -tanasin a cosa=-tana, 化简得=-cosa-sina y=a可得sm0cosa40放集合为ala:经太e乙 2图为数=f2x》-回2x引 所以由正切函数性质得可得其周期为2， 故m2-}s-1,2-≤子A2 每-<x≤2+24keZ 得到212 +元 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且esinA+V5 acosC=0, 第12页共18页 C (1)求的大小： (2)若D是1B上的点，CD平分∠4CB,CD=2,求△1BC 积的最小值. 【解析】(1)因为csin A+V3 acosC=0 所以由正弦定理得sinCsinA+V3 sin AcosC=0 因为A∈(0，)，所以sinA>0,故sinC+V5cosC=0, 所以tamC=-3,因为C∈(0，π，所以Cs (2)因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD 3, 知6sn号 2n -ab 34 S.c0-CD.sin 2 32, 1 SBCD=2 π√3 a.CD.sin= -a 32, 3 1 因为S△ABc=S△4CD+S△BcD,所以 b=3a+3b,即2 a+ -ab=a+b 2 2 由a+b≥2ad,得2b≥2a ,解得ab≥16，当且仅当a=b=4时，等号成 立， 故SAABC= 2ab≥4W5,即 4 面积的最小值为45 ABC 8.在A4BC中，角4B,C的速别贩c,已知acosC+h=0,bsV2 4 (1)求 cosC (2)若c=V5,求△ABC的面积： 3)若△8C第面积为D是BC上的点，且∠AD8=交 1 .D 4,求CD的长 中，因为ac0sC+b=0 △ABC 【解析】(1)在 +-c+b=0,即a+3-c2=0 所以a, 2ab 因为b2 =4c,则c=2V2b,即a2+362-862=0,所以a=V5b, 由余弦定理得c0sC-+-C功+-动V5 2ab25b2 5 2)由(I)知osC=-5 5,所以simC=V1-cos2c=25 5, 图为b 4,c=2,所以b=) 2, 由知a=V5,所a=5 2, 所以△4BC的面积S-=)absinC=×5x1x2y5】 2 22254· (3)由(2)知sinC=25 5， 因为5c-}absinC-.5ay 4,可得hs5 4, 由知a=c35数=.6 5 2,c=√2， 因为D是BC上的点，且∠ADB- CMD=红-C∠ADC4 4 5 由(1)知cosC=- 5, 所以， sin∠CAD=sin 3R-C cosC-cos4 3π。 22510 sin- os sinC 2 5 2 510 b CD 在AACD中，由正弦定理可得sin∠ADC sin∠CAD, 1V10 救0-sC"2日-5 sin∠ADC V2 10· 2 19.已知函数f()=2in(r+p+10<9< 2)的部分图象如图所示，其中0为坐标原 点，A0,2)是（的图象与y轴的交点，B,D分别为）图象的最高点和最低点， C,E均是f(的图象与x轴的交点。 窘15页共18页 oc (1)求BD的长度及CE的值： (2)设点E的横坐标为，若对任意的t∈[0，，任意的1∈(0，)， f(x)>-2sin1-3cost+2恒成立，求s的取值范围： 8若两改8国-=》1且关于，商方[刘-3g+4=0在 x∈[0，m上恰有3个不相等的解，求m的取值范围. 【解析】(4)将点40,2)坐标代入函数解析式可得：f0)=2sin0+1=2,即 1 sin= 2, 又0c0,所以9-君.所因=2如+}l, T=2=2 易知，函数x)的最大值为3，最小值为-1，周期为元 记B(x3),则D(xg+1,-,所以BD=VP+42=V17. 令八=2m+君-1=0利m如+-生. 5 x+区=红+2m成+66+2A,即x=引+2k或P3 “或66 +2k,k∈Z 0C=1=3 由图可知， c1.0,30小数；1 5 (2)对任意的x∈0，x】,任意的1∈(0，s),f>-2sin1-3cos1+2恒成立， 等价于f(x在区间[0,6]上的最小值大于-2sin2t-3cost+2在(0，上恒成立. 由(1)可知，，= ,当x0 5 所以1≤sinr+】 +6)1,所以-1≤刘≤3.即fm=-1, 所以-2sin1-3cost+2<-1,即2sin21+3cos1-3>0在0，s)上恒成立， 1 即2cos21-3cos1+1<0在(0，)上恒成立，即2<cosf<1在(0，s)上恒成立， 由余弦函数性质可知， )刘=8-1=2nx-名++1-2smm， 令gx=m,则[gx]-32g(x+4=0台m-32m+4=0, 解得lm=V2或m=22,即gx)=士2或8=士2V2, 即2sn=士V5或2n=2w2(合去)，所以sn=± 2 所=+2黄-子+2-圣+2版我-72eZ 或 4 4 1 3 即x=4 +2k,k∈Z 或4 1357 则方程[8(x]-32g:40嘴霏负实数根由小到大为4444“…， 因为方程[gx]门-3W2g(+4=0在x∈0，m上恰有3个不相等的解， 7 57 所以4 ≤m<4,即m的取值范围为44. 第18页共18页