2025-2026学年高一下学期数学期中模拟卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 本卷聚焦必修第二册第六章至第八章内容，通过《九章算术》“堑堵”“刍童”、十字测天仪航海测量等真实情境，融合空间观念、模型意识与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、向量夹角、斜二测画法等|基础概念辨析，如斜二测直观图面积计算| |多选|3/18|复数运算、向量新定义等|选项分层，如向量新运算考查创新思维| |填空|3/15|向量投影、圆锥表面积等|空间想象与抽象，如圆锥侧面展开图关联| |解答|5/77|组合体体积、测天仪建模等|情境化与综合，如十字测天仪问题培养模型意识，《九章算术》素材体现数学眼光|

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B B C A C C BD AC BCD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为, 所以, 则. 2. 若向量，则两向量的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】D . 3. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 根据斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为 ， 所以直观图的面积是. 4. 在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由余弦定理得，代入， 整理可得，所以. 5. 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由底面半径，高， 圆锥母线长，  圆锥表面积：  圆柱表面积： ， 所以 . 6. 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【解析】A 由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 8. 已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 设为原点，，，， 代入已知等式， ，  整理得：，即， 因为在单位圆上，所以，设与夹角为， 对平方得： ，​ 是不重合的两点，故，即， 代入得： ，开方得. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 【解析】BD 对于A，虚数不可比较大小，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，复数为纯虚数，则，所以正确． 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 【解析】AC 对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 11. 在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 当时， C. 当时， D. 的取值可能是2 【解析】BCD 由题意可得，又， 所以， 代入前式可得， 展开化简得，在中，，且，解得， 又，所以， 解得， 对于A，的面积为，故A错误； 对于B，当时，由余弦定理可得， 化简可得，所以， 即，同理可得，所以或， 易知可构成三角形，又由正弦定理可知，解得，故B正确； 对于C，当时，进一步可得， 由余弦定理可知，则，此时， 由等边对等角可知，故C正确； 对于D，由余弦定理，则可得， 所以，当且仅当即时取等号， 又时，，故D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则在上投影向量的坐标为______． 【解析】设向量的夹角为，则在上投影向量为. 13. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ． 【解析】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为， 则由得， 而 故， 解得. 14. 已知向量满足 ，设，其中，则动点的轨迹的长度是___________． 【解析】由，得， 而，则，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 于是，解得，而，则， 即，显然， 即点满足方程，因此点的轨迹关于原点对称， 当时，，且，点的轨迹是线段，其长度为； 当时，，且，点的轨迹是线段， 线段端点为，长度为，即当时，点的轨迹长度为， 由对称性得当时，点的轨迹长度为， 所以动点的轨迹的长度是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数. （1）若是实数，是纯虚数，求； （2）若互为共轭复数，求. 【解析】（1）解：由是实数知，解得 由是纯虚数知，解得 所以， （2）因为， 所以，解得， 故 16. 《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． （1）求该组合体的体积； （2）若点为线段上的动点，求的最小值． 【解析】（1）设棱台的高为， 由，得， 记上底面的面积为，下底面的面积为， 则， 所以， 又， 所以该组合体的体积为； （2）将绕着直线旋转至平面， 当三点共线时，取得最小值． 因为， 所以在中， 所以的最小值为． 17. 十字测天仪是广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域的仪器，用于测量太阳等星体的方位，如图1所示，由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE．然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置． （1）若在某次测量中，横档CD的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长； （2）若在另一次测量中，，横档CD的长度为20，求太阳高度角的正弦值； 【解析】（1）如图1， 由题意得，，，且E是的中点，，， 所以在中，； （2）由题意，，由于E是的中点，且， 所以，且， 由余弦定理得 从而 即太阳高度角的正弦值为. 18. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 【解析】（1）因为D为BC中点， 所以，. 又因为， 所以. （2）若，， 所以，， 所以. 因为M，O，N三点共线， 所以， 所以，. （3）因为，，， 所以， . 由（2）得，得，， 令，，则， 得. 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以， 所以，. 因为， 所以，根据二次函数的性质可知， 所以的取值范围为. 19. 已知的外接圆半径为，角所对的边分别，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，分别为线段上的点，且构成等边，求面积的最小值． 【解析】（1） 由正弦定理得：， 代入已知等式，得． 因为，所以， 两边同时除以得． 即，故． （2）由（1）得 根据基本不等式，，当且仅当即时取等号． 又因为，所以，此时． 在中，，故由勾股定理，得． （3）如图： 由得，设等边的边长为，， 则，， ∵，且在中，， ∴，∴， 在中，由正弦定理可得，， 即， 化简得，（其中为锐角，且）， ∴． 由（2）得，，所以. ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3《简单几何体的体积与表面积》. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，则两向量的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 11. 在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 当时， C. 当时， D. 的取值可能是2 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则在上投影向量的坐标为______． 13. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ． 14. 已知向量满足 ，设，其中，则动点的轨迹的长度是___________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数. （1）若是实数，是纯虚数，求； （2）若互为共轭复数，求. 16. 《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． （1）求该组合体的体积； （2）若点为线段上的动点，求的最小值． 17. 十字测天仪是广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域的仪器，用于测量太阳等星体的方位，如图1所示，由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE．然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置． （1）若在某次测量中，横档CD的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长； （2）若在另一次测量中，，横档CD的长度为20，求太阳高度角的正弦值. 18. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 19. 已知的外接圆半径为，角所对的边分别，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，分别为线段上的点，且构成等边，求面积的最小值． ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $