新疆乌鲁木齐市第三中学2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学学科问卷

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦导数与排列组合核心知识，以《热辣滚烫》观影座位等现实情境设计问题，通过基础求导、综合函数分析及创新应用梯度，发展抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（1题）、函数切线（3题）|结合图像辨析（4题）考查几何直观| |多选题|3/18|排列组合（9题）、函数性质（10题）|多选项设计（11题切线与距离）培养推理能力| |填空题|3/15|导数应用（12题）、函数奇偶性（13题）|花圃栽种（14题）体现数学建模| |解答题|5/77|导数综合（15、17、19题）、排列应用（16、18题）|分层设问（17题单调性-最值-范围）提升思维层次|

一.单项选择题(1-8) 题号 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 答案 D B C D A A C A 二.多项选择题(9-11) 题号 9 10 11 答案 BCD ABD BC 三.填空题(12-14) 12.③(根据题意，说明函数图像在上单调递增且切线斜率大于1，结合图像判断) 13.(利用奇函数性质求出，再求导得切线斜率) 14.(涂色问题，需分类讨论相邻区域的颜色分配) 三.解答题 15.(13分) (1)，定义域为。 求导：。 令，解得或。 列表分析单调性： ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当时，，故极大值为。 当时，，故极小值为。 (2)由(1)知，函数在上的极值点为，还需考虑端点。 比较得：最大值为，最小值为。 16.(15分) (1)从5种不同颜色的花中选3种，涂5个区域，相邻不同色。 步骤：选颜色：种。 涂色：区域1与2、3、4相邻；区域2与1、3；区域3与1、2、5；区域4与1、5；区域5与3、4。 先涂区域1：3种选择；涂区域2：2种（≠1）；涂区域3：1种（≠1,≠2）；涂区域4：1种（≠1）；涂区域5：1种（≠3,≠4）。 (2)若3种颜色确定，且必须全用，为种。 17.(15分) (1)，。 ，。 切线方程：。 代入：。 化简：。 (2)当，，。 令，则。 令，得。 当，，减；当，，增。 故在处取极小值，也为最小值。 （因）。 所以恒成立，在上单调递增。 18.(17分) (1)选①。 圆心，半径。 直线。 化为直角坐标：，，故。 圆心到直线距离：。 所以直线与圆相离，无交点。 选②，圆心，。 ，同样相离。 (2)曲线，即。 圆心，半径。 点在圆上，点到直线的距离： 。 令，范围。 所以，故。 最小值为。 19.(17分) (1)的极小值为，无极小值 (2)的范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第三中学2025—2026 学年第二学期期中考试 高二年级 数学学科 问卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.下列求导结果正确的是 ( ) A. (sin3)'=cos3 B. C. D. 2.若函数 则= ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 己知曲线y= lnx+ex在x=1处的切线与直线x-ay=0垂直, 则a= ( ) A. 1+e B. C. -1-e D. 4.函数f(x)图像如图所示，下列排序正确的是 ( ) A. B. C. D. 5.已知函数f(x)=3x-tlnx存在两个零点,则实数t的取值范围为 ( ) A. B. C. (3e,+∞) D. (-∞,3e) 6.函数 的最小值为 ( ) A. -e B. C. D.e 7.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有 ( ) A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 8.已知函数 ,则满足不等式f(2-a)>f(3a+6)的实数a的取值范围为( ) A. (-∞,-1) B. (-∞,1) C. (-1,+∞) D. (1,+∞) 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是( ) A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种 B.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C.6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 10.已知 则下列说法正确的是( ) A. f(x)在定义域内单调递增 B. f(x)的对称中心为(1,1) C.已知x₁，x₂为方程 的两个根， 且 则a的取值范围为(-2，+∞) D.若f(3m+2n)+f(3m-4mn)=2,则 的最小值为 11.已知函数 则下列说法正确的是( ) A.曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=-x B.函数f(x)的值域是 C.若点P是曲线y=f(x)上的动点，则点P到直线y=x+1距离的最小值为 D.若过点A(0，a)至少可以作曲线y=f(x)的两条切线，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.已知在区间(0,1)上f’ (x)>1,如图所示的图像中, 有可能表示函数y=f(x)的图像. 13.若函数 为定义在R上的奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 . 14.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分(仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边)不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为 四、解答题（共77分） 15.（13分）已知函数 (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图像在点 处的切线方程. 16. （15分）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前.现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式，并计算出结果) (1)女生互不相邻的坐法有多少种? (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种? (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种? 17. （15分）已知函数 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在(0,1]内的最大值为2, 求a的值; (3)若 求a的取值范围. 18. （17分）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车上售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况. (1)有多少种不同的分组方法(不考虑分配到汽车上去)? (2)有几种不同的分配方法? (3)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法? (4)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法? 19. （17分）已知函数 (1)若a=3,求函数f(x)的极值； (2)若曲线y=f(x)与曲线y=2-sinx有唯一的交点，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $