新疆乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年第二学期高二年级期中质量监测数学(问卷)

**基本信息** 立足高二数学核心内容，通过二项式定理、导数应用、概率统计等知识，结合端午节粽子抽样、考试答题分析等真实情境，考查数学思维与数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|随机变量期望方差、二项式系数和、排列插空|基础概念辨析，如第3题节目插空考查分步计数原理| |多选|3/18|分类计数、二项式定理应用、函数单调性|选项分层设计，如第9题综合国画、油画选法考查分类与分步| |填空|3/15|二项式系数最大项、函数值、条件概率|第14题扑克牌抽取结合古典概型与条件概率，体现数据意识| |解答|5/77|二项式展开、离散型随机变量分布列、函数极值与最值、概率统计应用、导数单调性与零点|16题粽子抽样求分布列与期望，18题考试答题分析结合频率估计概率，注重数学语言表达现实问题|

乌鲁木齐市实验学校2025—2026学年第二学期高二年级期中质量监测 数学(问卷) (卷面分值:150分;考试时间:120 分钟) 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知随机变量X满足,下列说法正确的是 A. E(X)=-1, D(X)=-1 B. E(X)=1, D(X)=2 C. E(X)=-1, D(X)=4 D. E(X)=-1, D(X)=1 2.已知 的展开式中二项式系数和为128，则展开式中有理项的项数为 A. 0 B. 2 C、3 D. 5 3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 A. 42 B. 30 C、20 D. 12 的展开式中常数项为 A. - 10 B. -5 C. 5 D. 10 5.已知的图象如图所示(其中是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，是y=f(x)的大致图象的是 的展开式中， 的系数为 A. 60 B. - 60 C. 120 D. - 120 7.若 则 的值为 A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 8.“a>4”是“函数存在极大值和极小值”的 A.充分不必要条件 B、必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画、7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选 1幅画布置房间，有14种不同的选法 B. 从这些国画、油画、水彩画中各选 1幅布置房间，有70种不同的选法 C.从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D. 从甲、乙、丙3幅不同的画中选出 2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有 12种不同的挂法 10.下列说法正确的是( ) A. B.若 则 C. 55⁵⁵被8整除的余数为 1 D. 1.05¹⁰精确到0.1的近似数为1.6 11. 设函数 则（ ） A.函数f(x)的单调递增区间为 B 函数f(x)有极小值且极小值为 C.若方程f(x)=m有两个不等实根，则实数m的取值范围为 D. 经过坐标原点的曲线y=f(x)的切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在二项式(1-2x)5的展开式中，系数最大的一项为 13. 函数 则f(1)= . 14. 52张扑克牌，没有大小王、无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 . 四、解答题：共5小题 ，共77分. 15. (13分)已知 的展开式中共有 9项. (1)求n的值. (2)求展开式中x4的系数： (3)求二项式系数最大的项 16.(15分)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个。这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设X表示取到的豆沙粽个数.求 (1)X的分布列: (2)X的期望与方差： (3)求至少取到一个豆沙粽的概率。 17. (15分)设函数 在x=0处取得极大值1. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[-1,3]上的最值. 18.(17分) 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 19. (17分)已知函数 (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性，若函数f(x)在(1，+∞)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (3)当 时，证明：函数 有且仅有两个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.A 8.C 9.ACD 10.ABD 11.ACD 12. 13. 14. 15.(1) 求 的值。 二项式 的展开式共有 项。 由题意得： 所以， 。 (2) 求展开式中 的系数。 二项式展开的通项公式为 代入： 令 的指数为 4，即，解得。 此时系数为。 (3) 求二项式系数最大的项。 二项式系数是指。当 为偶数时，展开式中间一项的二项式系数最大，即第 项，此时。 该项为。 注意： 题目问的是“二项式系数最大的项”，通常指该项本身。如果仅问二项式系数，则是。这里指的是项。 所以，二项式系数最大的项是第 5 项，即。 16. (1) X 的分布列。 · 分布列如下： · 分布列如下： X 0 1 2 3 P (2) X 的期望与方差。 这是一个超几何分布模型。 期望。 方差。 (或者用定义法计算： ) (3) 求至少取到一个豆沙粽的概率。 · “至少取到一个”的对立事件是“一个都没取到”（即）。 。 17.(1) 求 的解析式。 。 因为在 处取得极值，所以。 此时。 又因为在 处极大值为 1，即。 所以， 。 (2) 求 在区间 上的最值。 比较可知： 最大值为 1，最小值为 -3。 (极大值) (极小值) 比较可知：最大值为 1，最小值为 -3。 18. (1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率。 用频率估计概率： (或)。 (2) 从甲、乙两校各随机抽取 1 名，设 为这 2 名学生中该题选择正确的人数，估计 的概率及 的数学期望。 求期望： 。 (3) 判断 与 的大小。 因为 (即)， 所以。 因为 (即)， 所以。 因为 (即)， 所以。 19. (1) 当 时，求曲线 在 处的切线方程。 当 时， 。 。切点为。 求导： 。 切线斜率。 切线方程： (或)。 (2) 讨论函数 的单调性，若函数 在 存在单调递减区间，求实数 的取值范围。 · 关于“在 存在单调递减区间”： 这意味着导函数 在区间 上有解。 即 在 时有解。 在 时有解。 因为，所以。 只要 小于 的最大值（取不到）或者在范围内即可。 实际上，若，全程递减，满足条件。 若，递减区间是。要使这个区间与 有交集，必须满足。 。 综上， 的取值范围是。 若，则 恒成立， ，函数在 单调递减。 若，令。 当 时， ，递减； 当 时， ，递增。 关于“在 存在单调递减区间”： 这意味着导函数 在区间 上有解。 即 在 时有解。 在 时有解。 因为，所以。 只要 小于 的最大值（取不到）或者在范围内即可。 实际上，若，全程递减，满足条件。 若，递减区间是。要使这个区间与 有交集，必须满足。 。 综上， 的取值范围是。 (3) 当 时，证明：函数 有且仅有两个零点。 。 取:。 因为时，且，由零点存在性定理，在 必有一个零点。 因为，且，由零点存在性定理，在 必有一个零点。 结合之前的单调性分析（先减后增），函数只有一个极小值点，且极小值小于0（因为），两端趋于正无穷。 所以函数图像穿过 x 轴两次，所以函数 有且仅有两个零点。 学科网（北京）股份有限公司 $