湖北黄冈中学2026届高三平行班下学期数学周测试题4.26

黄冈中学2026届平行班高三下数学周测试题4.26 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 4. 设等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 6.若非零向量 与 满足 ,且 ,则三角形 为 A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 7. 已知函数，函数，则（ ） A. 当时， B. 和的奇偶性和最值相同 C. 和的周期和最值相同 D. 和的奇偶性周期相同 8. 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，其中，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10．已知数列的前项和为，若，，则（ ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．则（ ） A. B. 当时，直线的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点落在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 13. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为_______ 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 13分某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）求样本的相关系数（精确到0.01）； （3）已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 16. 15分在中，已知，且． （1）求角的大小； （2）若，为中点，且，求的面积． 17. 15分如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18. 17分在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左顶点为A，椭圆上动点到左焦点与原点O的最小距离分别为、． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点且直线l方程为 ①点E是椭圆C上的动点，若四边形为平行四边形，证明该平行四边形面积为定值； ②若点M为的外心，且M在抛物线的准线上，求实数m的取值范围． 19. 17分设函数，(). （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a､m的值； （2）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈中学2026届平行班高三下数学周测试题4.26 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】【详解】， ，所以. 2. 已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【详解】因为， 所以，即，因为双曲线的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【详解】因为，两边平方得： ，所以. 所以，解得. 所以，所以. 4. 设等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】设等差数列的公差为，由，得，即． 若，则，充分性成立； 若，则可为任意的正整数，必要性不成立． 综上可得，“”是“”的充分不必要条件 5. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 6.若非零向量 与 满足 ,且 ,则三角形 为 A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】方法一: 设 , . ,故 为等边三角形. 方法二: 即 , , 7. 已知函数，函数，则（ ） A. 当时， B. 和的奇偶性和最值相同 C. 和的周期和最值相同 D. 和的奇偶性周期相同 【答案】B 【详解】， 因此，是偶函数，同理可判断也为偶函数， 对于A，时，，， 所以此时，又因为、均为偶函数， 所以时，，故A错误； 对于B，由前述分析可知、均为偶函数，故B正确； 对于C，由于的图象如下所示， 易知其为非周期函数，又为周期性函数，周期为，故为非周期函数， 而，由于、为周期函数， 所以为周期函数，因此两者周期性不同，故C错误； 对于D，，当且仅当且时成立， 例如即可取到最大值2， 当且仅当且或且时成立， 例如即可取到最小值0， ，当且仅当且时成立， 例如即可取到最大值2， 当且仅当且或且时成立， 例如即可取到最小值0，故D正确． 8. 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得或， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 而当时，，当时，， 由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即， 则，令，则，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，其中，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 10．已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 【答案】ABD 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，， 当时，若，则或， 令，即，因为，故方程无解，即， 当时，或，而， 以此类推，或， 又，所以， 所以，所以， 所以数列为递减数列，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，因为数列为递减数列，故， 由可得，即， 由，两边同时除以得，即， 所以当时， ，，，， 上式累加得， 即， 又，所以， 当时，，此时， 综上，，故D正确. 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．则（ ） A. B. 当时，直线的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点落在定直线上 【答案】ACD 【详解】因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得，A选项正确； 所以抛物线的方程为， 设直线方程为， 设，联立， 消得到， 则， 当时，， 所以或，且，即得， 所以直线的方程为，B选项错误； 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为，C选项正确； 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得，， ， 由，得， 所以点落在定直线上，D选项正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【答案】 【详解】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 13. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为_______ 【答案】 【详解】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为，综上，不同的选派方案的种数为. 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为半径为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以. 沿，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 13分某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）求样本的相关系数（精确到0.01）； （3）已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 【小问1详解】 平均每年的研发投入为 平均每年的营业额为 ． 【小问2详解】 将所给数据代入相关系数计算公式得 ． 其中，所以. 【小问3详解】 由题意知，回归直线过样本中心点，即，解得． 所以回归方程为．将代入回归方程，得，故预测该公司今年的营业额为710亿元． 16. 15分在中，已知，且． （1）求角的大小； （2）若，为中点，且，求的面积． 【小问1详解】 ， ，即， ， 或， 又，为三角形的内角且，，． 【小问2详解】 法一：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理，得， 又因为，所以，又因为中点， 所以，故， 化简可得， 故，在中， 由正弦定理得，所以， 在中，， 所以，可得， 所以三角形是等腰直角三角形，故， 所以，． 法二：在中，由余弦定理得，① 在中，因为为中点，所以， 由余弦定理得，② 由②-①，得，③ 将，代入③式，解得，， 将，代入②式，解得， 所以的面积． 17. 15分如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【小问1详解】 取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且xd； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． 【小问2详解】 设到平面的距离为， 则，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作于， 平面，，又,，且两直线在平面内， 平面，， 为平面与平面的夹角， 由，得， 而，所以，当且仅当时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 18. 17分在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左顶点为A，椭圆上动点到左焦点与原点O的最小距离分别为、． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点且直线l方程为 ①点E是椭圆C上的动点，若四边形为平行四边形，证明该平行四边形面积为定值； ②若点M为的外心，且M在抛物线的准线上，求实数m的取值范围． 【小问1详解】 依题意，，，， 解得，，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设点，，设直线的方程为， 由，得； ， 且，， 原点到直线的距离，， 依题意知，，则点， 由点在椭圆上，得，又， 代入整理得，即， 整理得，即 则 因此 所以该平行四边形面积为定值． ②点，由①得线段的中点，的中点，， 线段的中垂线方程为，即， 同理线段的中垂线方程为， 则． 由的外心M在直线上，得，解得， 而，则，解得或， 则m取值范围为． 19. 17分设函数，(). （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a､m的值； （2）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1），则，故，， 解得，. （2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令， 如果有三个不同的实根，则至少要有三个单调区间， 则至少两个不等实根，所以只要证明在至多1个实根， ，， 1°当时，，，∴，∴在单调递增，∴在至多1个实根； 2°当时，，∴在单调递增， ∴，又因为时，∴， ∴在没有实根 综合1°2°可知，在至多1个实根，所以得证. （3）∵对任意恒成立，且， ∴对任意恒成立， ∴对任意恒成立， 令， 则对任意恒成立， ∵时，且，， ∴在单调递增∴在恒成立， ∴. 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