专题16 直线与圆 讲义-2026届高考数学二轮复习

专题16 直线与圆 考向一 直线的方程及应用 核心知识 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0 斜截式 y 不含垂直于x轴的直线 两点式 不含直线x=x1(x1≠x2) 和直线y=y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面内所有直线都适用 强调：求解直线方程谨防三种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在. (2)应用“截距式”方程时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0 典例 例1. (2025·湖北省黄石市·月考试卷)点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(    ) A. ； B. ； C. ； D. ； 例2. (2025·甘肃省期中考试)三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线大数学家欧拉在年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线在平面直角坐标系中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点的坐标为”的(    ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 拓展提升 练1-1(2025·广东省单元测试) （多选） 已知直线，则(    ) A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为 练1-2(2025·浙江省单元测试) 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为          ． 考向二 圆的方程 核心知识 圆的定义与方程 强调： 1.求圆的方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定系数法 ①根据题意，选择标准方程与一般方程; ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组; ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 2.运用圆的定义和性质发现圆 （1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆； （2）动点对两定点张角为（）确定隐形圆； （3）是两个定点，动点满足是定值确定隐圆； （4）是两个定点，动点满足确定隐圆． 3.根据“阿氏圆”发现圆 阿波罗尼斯圆：设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆. 不妨设 ，，，再设 ， 则有，化简得：， 轨迹为圆心的圆. 典例  例3.(2025·四川省广安市·月考试卷)求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的倍，这就是历史上有名的立方倍积问题．年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法．如图是柏拉图公元前公元前年的方法：假设已知立方体的边长为，作两条互相垂直的直线，相交于点，在一条直线上截取，在另一条直线上截取，在直线，上分别取点，，使只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点，另一个直角尺的边缘通过点，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为，，则线段即为所求立方体的一边．以直线、分别为轴、轴建立直角坐标系，若圆经过点，，，则圆的方程为          ． 例4.(2025·甘肃省期末考试) 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作圆锥曲线论，在此著作第七卷平面轨迹中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值不为的动点轨迹为圆后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 拓展提升 练2-1.(2025·山东省济宁市·期中考试)已知点，，，则的外接圆的标准方程为          ． 练2-2.(2025·湖北省恩施土家族苗族自治州·其他类型)已知两条直线：，：，有一动圆圆心和半径都在变动与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹方程为(    ) A. B. C. D. 核心知识 考点一：直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 考点二：圆与圆的位置关系(两圆半径分别为r1，r2，d=|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 考点三：直线与圆相交的弦长问题 法1：设圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦长 法2：联立直线方程与圆方程,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理，弦长公式即可. 强调： 涉及直线与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点的距离平方的最值问题. （4）注意多与圆心联系，代数角度转化成函数值域问题. 典例 例5.(2024·重庆市模拟) (多选) 圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是(    ) A. 直线与圆相交 B. 若点到直线的距离为，则点有个 C. 的最小值是 D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 例6.(2025·广东省单元测试) 已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当取到最小值时，点坐标为          ． 例7.(2023·新课标Ⅰ卷)过点与圆相切的两条直线的夹角为则(    ) A. B. C. D. 拓展提升 练3-1(2025·山东省济宁市·模拟题)过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是(    ) A. B. C. D. 练3-2(2024·山西省太原市月考) 设，直线与直线相交于点，点是圆上的一个动点，则的最小值为          ． 练3-3(2025·福建省泉州市月考) 如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点． 若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线的方程； 圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 答案 例1.解：将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 故选：． 例2.解：若的欧拉线方程为，设点， 则的重心为，显然点在直线上，于是得， 直线的斜率为，线段的中点， 则线段的中垂线方程为，即， 由得的外心，即有， 因此， 解得或，于是得点的坐标为或； 若，则线段的高线方程为，即， 线段的高线方程为直线， 由得的垂心，在直线上， 若，则线段的高线方程为，即， 同理可得线段的高线方程为， 联立与得的垂心，在直线上， 故“的欧拉线方程为”推不出“点的坐标为”， 当的坐标为时，的重心为，外心为，垂心为， 因此的欧拉线方程为， 故“点的坐标为”可以推出“的欧拉线方程为” 所以“的欧拉线方程为”是“点的坐标为”的必要不充分条件． 故选：． 练1-1.解：：，化为：， 由，得 直线过定点，故A正确； 当时，直线：，：，， 所以两直线不垂直，故B错误； 当时，直线：，：，所以两直线平行，故C正确； 当时，，解得， 此时直线：，：，两平行线距离为，故D正确． 故选ACD. 练1-2.解：设关于直线：的对称点，. 则反射光线所在直线必过，，即故， 反射光线所在直线过， 反射光线所在直线的方程是，即． 故答案为． 例3.解：由题设，可得， 则，所以， 由，要使圆经过点，，，则圆心为中点，可得，且半 径， 故圆的方程为． 例4.解：设点的坐标为，因为， 所以点的轨迹方程为， 因为点的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选D. 练2-1.解：设圆的方程为， 因为的三个顶点分别是，，， 所以，解得，，， 所以圆的方程为，即， 则的外接圆的标准方程为． 故答案为：． 练2-2.解：设动圆圆心为，半径为，则到的距离，到的距离， 、被圆截得的弦长分别是定值和， ，， 化简，平方得，， 相减得， ， 即， ． 故答案选：． 例5.解：圆的方程化为标准形式为，圆心为，半径． 圆心到直线的距离为， 直线与圆相离，不相交，故选项A错误； 圆上的点到的距离最小值为，最大值为，， 圆上到直线的距离为的点有个，故选项B正确； 的最小值为，故选项C正确； 到圆的切线，为切点，则， 当最小时最小，的最小值等于到直线的距离， ，故选项D错误． 故选BC． 例6.解：设，则, ， 等价于点，到定点的距离与定点的距离和的最小值， 点关于轴的对称点为， 故距离和的最小值为， 此时直线方程为，令，可得，所以点坐标为． 故答案为． 例7.解：，故圆心，记，设切点为， ，，故，，，  ． 故选B． 练3-1.解：设，则， 圆的圆心，半径， 由切圆于点， 得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故ABC错误，D正确． 故选：．     练3-2. 解：由题意得：，， 恒过定点，恒过定点， 又，点轨迹是以为直径的圆，即为圆心，为半径的圆， 点轨迹为， 圆与圆的圆心距， 两圆相离，的最小值是两圆圆心距减去两圆半径之和， 即． 故答案为． 练3-3解：圆可化为，圆心为，半径， 当的斜率不存在时，则，在中令，可得， 此时，符合题意 当的斜率存在时，设的斜率为，则，即， 因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离， ，                            所以直线的方程为或 存在，假设圆上存在点，设，则， ，  即，即， ，                 与相交，则点有两个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $