3.2 图形的旋转 小节复习题2025-2026学年北师大版 八年级数学下册

3.2《图形的旋转》小节复习题 一、单选题(6题) 1.起源于中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是 () 2.已知直角坐标系x0y,点A在该坐标系中的坐标为(-1,2)，现将直角坐标系xOy绕点O按逆 时针方向旋转90°到x'Oy的位置，则点A在新坐标系xOy中的坐标为() A.(-1,2) B.(2,1) C.(2,-) D.(-2,-10 3.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图形绕原点 O旋转180°，得到△AB,C,则点A的对应点A的坐标是() -4-3y 101234x 3 A.（-1,-2) B.(1,2 C.(2, D.（-2,-1) 4.如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点0顺时 针方向旋转90°，得到四边形A'B'CD',则点A的对应点A的坐标是() 3 2\D 1234x A.（-1,-2 B.（-2,-1 C.(2, D.(1,2 5.如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图象，发现它关于点(1,0)中心对 称.若点A(0.1,),A20.2,y2),A(0.3,3),…,Ag1.9,y9）,A0(2,y20都在函数图象上，这 20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y+y2+y+…+,+y2o的值是() A.-1 B.-0.729 C.0 D.1 6.如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y=x+2的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转45°：④绕点(1，-1)按顺时针方向旋转90°.其中，能使函数y=2x+4 的图像经过一种变换后过点P(2,2)的个数是() ,y=2x+4 。P A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 7.在平面直角坐标系中，若点P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原点对称，则m的值是 8.银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，叶片上 两点B,C的坐标分别为(-3,2)，(4,3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的 坐标为 B 9.在直角坐标系中，点（4,5)绕原点0逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是 10.如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0,0)、C(1,0).将线段CA绕点C按顺 时针方向旋转120°至CR;将线段BP绕点B按顺时针方向旋转120°至BP;将线段AP绕点A按 顺时针方向旋转120°至AP;将线段CE绕点C按顺时针方向旋转120°至CP;…以此类推， 则点P的坐标是 O(B) 11.在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC(LA=90)硬纸片剪 切成如图所示的四块（其中D,E,F分别为AB,AC,BC的中点，G,H分别为DE,BF的中 点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形 中周长的最小值为 ,最大值为 G B 12.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE,将CE绕点C顺 时针旋转60°得到CF.连接AF,EF,DF,则△CDF周长的最小值是 D E B 三、解答题 13.在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）. (1)在图1中先画出一个以格点P为项点的等腰三角形PAB,再画出该三角形向右平移2个 单位后的△P'A'B'. (2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A'B'C. 图1 B 图2 14.如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1，已知格点P,请按要求画格点三 角形（顶点均在格点上）： (1)在图中画一个等腰三角形PEF,使底边长为√2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该 三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形， (2)在图中画一个Rt△PQR,使∠P=45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右 平移1个单位后的图形 A--r--r---D 15.如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空. (1)画出线段OA绕点0顺时针旋转90°后得到的线段OB,连接AB; (2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C: (3)填空：∠0CB的度数为 16.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A ,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利 给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营” 问题 (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等 边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空， ③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点) 当△ABC的三个内角均小于120°时， 如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP', 图1 图2 图3 由PC=P'C,LPCp'=60°，可知△PCP'为①三角形，故Pp'=PC,又PA'=PA,故 PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B, 由②可知，当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为 A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”，且有LAPC=LBPC=∠APB=③； 已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个项点.如图3，若 LBAC≥120°，则该三角形的“费马点”为④点. (2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3,BC=4,LACB=30°，已知点P为△ ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值； B 图4 图5 (3)如图5，设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知 AC=4km,BC=2V3km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆， 已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/km,a元/km,√2a元/km,选取合 适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元.（结果用含a的式子表示） 参考答案 一、单选题 1.C 解：A、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意： C、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； D、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C. 2.B 解：将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90到xOy的位置， ∴此时点A在新坐标系xOy中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴.点A在新坐标系xOy中的坐标为(2，)， 故选：B 3.A 解：在平面直角坐标系中，点A(-1,2), .点A关于y轴对称的点A(1,2), 将点A,1,2)绕原点0旋转180°， 如图，点A,-1,-2). 01234x CA 故选：A 4.A 解：由题意得，平移前B(-3,0,A-1,-1), 将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合， .平移方式为向右平移3个单位长度， 平移后点A的对应点坐标为(2，-1)， 如图所示，设E(2,-绕原点0顺时针旋转90度后的对应点为F,分别过E、F作x轴的垂线， 垂足分别为G、H, ∴.∠0HF=∠0GE=90°， 由旋转的性质可得∠E0F=90°，OE=0F, ∴.∠H0F+∠HF0=∠G0E+∠H0F, .∴.∠HF0=∠G0E, ∴.△HFO≌aGOE(AAS), ∴.OH=GE,HF=OG, .E(2,-1, ∴.0H=GE=1,HF=0G=2, ∴.F(-1,-2), .点A的对应点的坐标是（-1，-2)， 故选：A. y G E 5.D 解：这20个点的横坐标从01开始依次增加0.1， .0.1+1.9_0.2+1.8-0.9+1-1, 2 2 2 ∴.+y2+3+…yg+y1…+y19=0, ∴.乃+y2+y3+…+yg+y20=》10+y20,而Ao1,0即10=0， y=x3-3x2+3x-1, 当x=0时，y=-1,即(0，-1， .(0,-1)关于点(1,0)中心对称的点为(2,1， 即当x=2时，y20=1, ∴.乃+2+y3+…+1g+y》20=y10+y20=0+1=1, 故选：D 6.B 解：令y=0,则0=2x+4, ∴x=-2, 即A-2,0), 令=0，则y=2x+4=0+4=4, 即F(0,4), v=2x+4 E .y=2x+4沿y轴翻折， ∴.A-2,0)沿y轴翻折得E(2,0) 设EF的解析式为y=kx+bk≠0)， 把E(2,0),F(0,4代入y=x+b 「0=2k+b 得4=b ∴.y=-2x+4, 则y=-2×2+4=0≠2， ∴.y=2x+4沿y轴翻折不过点P(2,2), ∴①不符合题意； ②令y=0,则0=x+2, 解得x=-2, 即y=x+2经过点A-2,0), 令x=2,则y=2+2=4 即y=x+2经过点H(2,4), 连接FH,HP,AP,如图所示： 1v=2x+4 .F(0,4,P(2,2),A-2,0), 则AF=V2-02+(4-0)2=25,AP=V-2-22+(2-02-25, .AF=AP, .H2,4, .FH=2,PH=2, .AH是FP的垂直平分线， .P与F关于直线y=x+2对称， 故y=2x+4沿函数y=x+2的图像翻折过点P(2,2), ∴.②符合题意； ③P0=V22+22=8=2√2 依题意，点P绕着原点按逆时针方向旋转45°，与y轴交于点T, 当点T在y=2x+4上，则y=2x+4绕原点按顺时针方向旋转45°经过点P(2,2); 当点T不在y=2x+4上，则y=2x+4绕原点按顺时针方向旋转45°不经过点P(2,2); 过程如下： ,y=2x+4 ∴.0T=0P=2√2， 此时点T(0,22), 把T0,22代入y=2x+4, 得y=2×0+4=4≠2V2 .T0,22)不在y=2x+4, 即y=2x+4绕原点按顺时针方向旋转45°不经过点P(2,2), 故③不符合题意； .y=2x+4绕点1，-1按顺时针方向旋转90°，且A-2,0),P(2,2) ∴.记(1，-1为T点，连接AT,TP, .4T=V-2-12+1P=10,PT=2-1)2+[2-(-1=0 .'AT PT=10, 则4P=V-2-22+(0-22=25, .AP2=20=AT2+PT2, ∴△ATP是等腰直角三角形， ∴.点A绕点(1，-1)按顺时针方向旋转90°，与点P重合， ，y=2x+4 故函数y=2x+4的图像绕点(1，-)按顺时针方向旋转90°过点P(2,2), ∴④符合题意. 故选：B, 二、填空题 7.1 解：点P(2,-1与点Q(-2,m)关于原点对称， ∴m=1. 故答案为：1. 8.（-3, 解：B,C的坐标分别为(-3,2)，(4,3)， 坐标系的位置如图所示： B 点A的坐标为：（-1，-3)， 连接OA,将OA绕点0顺时针旋转90°后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为(-3,1)； 故答案为：（-3,1 9.-5,4 解：过A点作AD⊥x轴，过B点作BE⊥y轴， y E A 3 D 543-2-1 012345x 2 31 4 点A的坐标为4,5)， ∴.AD=5,OD=4, LA0B=90°， ∴.∠B0E+LA0E=90°， ,LA0D+∠A0E=90°， ∴.LA0D=LBOE, 0A=0B, 在△AOD和△BOE中， ∠ADO=∠BEO ∠AOD=∠BOE, OA-OB ∴.△AOD=△BOE(AAS), .0E=0D=4,BE=AD=5, .点B的坐标为-5,4， 故答案为：（-5,4). 10.-49,50V5） 解：如图所示， y 5 4 P； 3 2 1 A C $$P _ { d }$$ -3-2 -2-1 19 ( B)1 2 3 4 5 6x P， $$P _ { 2 } ^ { 6 } - 2$$ 2 由图象可得，点 $$P _ { 1 } ， P _ { 4 }$$ 在 X 轴的正半轴上， .旋转3次为一个循环， ∵99÷3=33 ∴ 点 $$P _ { 9 9 }$$ ，在射线CA的延长线上， ∴ $$P _ { 1 0 0 }$$ 在x轴的正半轴上， ∵C(1，0)，ABC 是正三角形， ∴ .由旋转的性质可得， $$A C = C P _ { 1 } = 1 ，$$ $$\therefore B P _ { 1 } = O C + C P _ { 1 } = 2 ，$$ $$\therefore P _ { 1 } \left( 2 ， 0 \right) ，$$ $$\therefore B P _ { 2 } = B P _ { 1 } = 2 ，$$ $$\therefore A P _ { 3 } = A P _ { 2 } = O P _ { 2 } + A O = 3 ，$$ $$\therefore C P _ { 4 } = C P _ { 3 } = C A + A P _ { 3 } = 3 + 1 = 4 ，$$ $$\therefore B P _ { 4 } = B C + C P _ { 4 } = 5 ，$$ $$\therefore P _ { 4 } \left( 5 ， 0 \right) ，$$ ∴ 同理可得， $$P _ { 7 } \left( 8 ， 0 \right) ， P _ { 1 0 } \left( 1 1 ， 0 \right) ，$$ $$\therefore P _ { 1 0 0 } \left( 1 0 1 ， 0 \right) ，$$ $$\therefore B P _ { 1 0 0 } = 1 0 1 ，$$ ∴.CPo=101-1=100, ∴.由旋转的性质可得，CP,=100, 如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E, 99 A C EOB) ,∠ACB=60°， .∴.∠EPC=30°， FC-C-50. .E0=EC-0C=49,PE=VDC2-EC2=503, ∴点P,的坐标是-49,505). 故答案为：(-49,503. 11.8 8+22 解： A D G E B H 图1 如图1,8C=4,4AC=4x5=25,CI=BD=CE-4C=万 2 DI=BC=4 .四边形BCID周长=4+4+2V2=8+2√2； D B H 图2 如图2，AF=AI=IC=FC=2 .四边形AFC1周长为2×4=8； 故答案为：最小值为8，最大值8+2√2. 12.3+3V5 解：，E为高BD上的动点， .∠CBE=}∠ABC=30° ,将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.△ABC是边长为6的等边三角形， .∴.CE=CF,∠ECF=∠BCA=60°，BC=AC ∴.△CBE≌aCAF ∴.LCAF=LCBE=30°， .F点在射线AF上运动， 如图所示， A D B 作点C关于AF的对称点C',连接DC',设CC'交AF于点O,则∠A0C=90 在40C中，∠c40=30,则c0=4C=3, 则当D,F,C'三点共线时，FC+FD取得最小值，即FC+FD=F'C'+FD=CD CC'=AC=6,∠AC0=∠C'CD,C0=CD ∴.△AC0≌aC'CD ∴.∠C'DC=∠A0C=90 在aC'DC中，CD=VCC2-CD2=V62-32=3V5, ∴.△CDF周长的最小值为CD+FC+CD=CD+DC'=3+3V3, 故答案为：3+3V5. 三、解答题 13.(1)解：如图，△PAB,△PAB即为所求作的三角形； A A B B' 图1 (2)如图，△A'B'C即为所求作的三角形， B B 图2 14. 解：(1)画法不唯一，如图1(PF=√2，PE=EF=√5)，或图2（PE=2PF=EF=V5), 图1 图2 (2)画法不唯一，如图3或图4. 图3 图4 15.解：(1)在方格纸中画出线段OA绕点0顺时针旋转90°后得到的线段OB,连接AB,如图； r- (2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C:如上图所示： (3)由(1)作图可得△A0B是等腰直角三角形，且∠A=45°， 再根据对称的性质可得L0CB=∠A=45°. 故答案为：45°. 16.(1)解：，PC=P'C,LPCP'=60°， .△PCP'为等边三角形； ∴.PP'=PC,∠P'PC=∠PP'C=60°， 又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B, 由两点之间线段最短可知，当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值， 最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴.∠BPC+∠P'PC=180°，∠A'P'C+∠PP'C=180°， .∠BPC=120°，∠A'p'C=120°， 又.△APC兰△A'P'C, ∴.∠APC=LAP'C=120°， ∴.∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°， ∴.∠APC=∠BPC=∠APB=I20°； .∠BAC≥120°， ∴.BC>AC,BC>AB, .BC+AB AC +AB BC+AC>AB+AC, 三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小 又·已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点. ∴.该三角形的“费马点”为点A, 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A. (2)将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接Pp', 由(1)可知当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B, B ,∠ACP=∠A'CP', ∴.∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°， 又.LPCP'=60 ∴.∠BCA'=LA'CP'+LBCP+∠PCP'=90°， 由旋转性质可知：AC=A'C=3, .A'B=VBC2+A'C2=V42+32=5, .PA+PB+PC最小值为5， (3).总的铺设成本=PAa+PBa+PCV2a=a(PA+PB+√2PC) ∴当PA+PB+√2PC最小时，总的铺设成本最低， 将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP',A'B 由旋转性质可知：P'C=PC,LPCP'=LACA'=90°，P'A=PA,A'C=AC=4km, .Pp'=√2PC, ∴.PA+PB+√2PC=P'A'+PB+PP', 当B,P,P,A在同一条直线上时，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+√2PC取最小值为A'B B H 过点A作A'H⊥BC,垂足为H, ∠ACB=60°，∠ACA'=90°， .∴.∠A'CH=30°， :.4H=C=2km, 2 ∴.HC=√AC2-AH2=√42-22=25km), .BH BC+CH =23+23=43(km), ∴.AB=VAH2+BH2=V(45)2+22=213km) PA+PB+√2PC的最小值为2V13km 总的铺设成本=PAa+PBa+PCV2a=a(PA+PB+√2PC)=2W3a(元) 故答案为：2√13a