专题09图形的平移复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题09图形的平移复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解图形平移的定义，知道平移由平移方向和平移距离决定。 2.掌握平移的基本性质：平移前后图形形状、大小不变；对应线段平行且相等，对应角相等；对应点所连线段平行且相等。 3.掌握平面直角坐标系中点的平移规律：左右移变横坐标，上下移变纵坐标。 1.能按要求画出图形平移后的对应图形。 2.会根据平移性质进行线段、角度的简单计算与推理。 3.能利用坐标平移规律，求出点平移后的坐标。 1.平移概念、性质题不丢分。 2.作图规范、坐标计算准确。 3.能解决平移与坐标、几何计算结合的基础综合题。 题型01.生活中的平移现象 题型02.图形的平移 题型03.利用平移的性质求解 题型04.利用平移解决实际问题 题型05.平移作图 题型06.求点沿x轴y轴平移后的坐标 题型07.由平移方式确定点的坐标 题型08.坐标变化判断平移方式 题型09.图形的平移求点坐标 题型10.平移逆推求原坐标 题型11.平移综合题 题型12.坐标系中的平移 题型13.坐标系中的动点问题 解答题7题 知识点01:平移的 “灵魂三要素” 平移 = 方向 + 距离 定义：在平面内.把一个图形沿某个方向移动一定距离,.这样的图形运动叫做平移。 关键：平移只改变位置，不改变形状、大小、方向。 一句话记忆：整体搬移，一模一样。 知识点02:平移的 “四大黄金性质”（必考） 全等不变：平移前后的两个图形全等。 对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 对应角：完全相等。 对应点连线：平行（或在同一直线上）且相等，都等于平移距离。 黄金口诀形状大小都不变，对应线段角相等；对应点连平行等，平移方向距离明。 知识点03:坐标系中的平移规律（最核心、最常考） 点 P(x,y) 平移规则： 向右平移 a 个单位 → (x+a, y) 向左平移 a 个单位 → (x−a, y) 向上平移 b 个单位 → (x, y+b) 向下平移 b 个单位 → (x, y−b) ✨ 最强记忆口诀左右横移变 x，右加左减；上下竖移变 y，上加下减。 知识点04:平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点05:平移的三大作用（几何解题神器） 1.转化线段：把分散线段移到一起，方便计算。 2.转化角度：保持角度不变，便于证明。 3.构造特殊图形：平移可造平行四边形、等腰三角形、矩形。 高频易错 “避坑指南” 1.平移不改变图形方向，翻转 / 旋转不是平移。 2.对应点连线平行且相等，不是 “随便连”。 3.坐标平移：左减右加、上加下减，别搞反。 4.平移距离是对应点之间的长度，不是图形长度。 题型01.生活中的平移现象 【典例】由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移只改变图案的位置，不改变图案的大小，方向和形状，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图案是由机器人平移得到的． 【跟踪专练1】荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【答案】B 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移． 【跟踪专练2】如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 题型02.图形的平移. 【典例】如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【答案】 【详解】解：由题意，线段与线段是一组对应线段，与是一组对应角. 【跟踪专练1】下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项符合题意； B、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； C、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； D、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出变化规律，三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化进而得出答案，根据已知图形得出图形的变与不变是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小人的移动规律是三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化， 故选一个小人放到图中问号的位置最合适的是： 故选：． 题型03.利用平移的性质求解 【典例】如图，将沿水平方向向右平移，得到，连接，则的长为（   ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质解答即可 【详解】解：将沿水平方向向右平移，得到， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，已知，将沿平移得到，则四边形周长为________． 【答案】12 【详解】解：由平移的性质可得，，， 四边形周长为． 【跟踪专练2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，则阴影部分的面积为（   ） A．31 B．31.5 C．37 D．37.5 【答案】D 【分析】由题意得，，根据平移的性质得到，，进而得到，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 由平移的性质得到，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型04.利用平移解决实际问题 【典例】如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 【跟踪专练2】有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． 题型05.平移作图 【典例】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【跟踪专练1】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 【详解】解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（）根据网格特征即勾股定理即可求解； （）先作，再作即可； 本题考查了作图，勾股定理，格点图形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由网格可知：， 故答案为：； （2）如图， 取格点，连接； 取格点，，连接与相交，得交点， ∴点即为所求： 题型06.求点沿x轴y轴平移后的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点平移的坐标变化规律即可求解，规律为横坐标左移减、右移加；纵坐标上移加、下移减． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点平移的坐标变化规律为：横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减， ∴点先向下平移2个单位长度，纵坐标变为， 此时点的坐标为， 再向右平移1个单位长度，横坐标变为， ∴平移后点的坐标为． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点， 则点的坐标为，即． 故答案为：． 【跟踪专练2】在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，根据坐标系中点的平移的坐标变化得到点A平移后的坐标，再根据点A平移与点B重合列方程求解k． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，坐标为 ∵平移后与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 题型07.由平移方式确定点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质解答即可． 【详解】解：将点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为：，即， 则点A的坐标是． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：由坐标系可得，则点B的对应点的坐标为，即． 【跟踪专练2】把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，正比例函数的性质．先根据点的平移规律求出平移后点的坐标，再利用点在直线上则坐标满足直线方程的性质，列方程求解的值． 【详解】解：∵点向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4 ∴平移后点的坐标为，即 ∵点在直线上 ∴点的横、纵坐标满足，即 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 故选：A． 题型08.坐标变化判断平移方式 【典例】使的三个顶点，，的横坐标保持不变，纵坐标都分别减2得到，则与相比，其变化是（   ） A．向上平移了2个单位长度 B．向下平移了2个单位长度 C．向左平移了2个单位长度 D．向右平移了2个单位长度 【答案】B 【分析】平移规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】解：∵是的三个顶点横坐标保持不变，纵坐标都分别减得到， ∴三角形在水平方向没有发生平移， ∴与相比，向下平移了个单位长度． 【跟踪专练1】通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点和的坐标确定平移方式，再根据平移方式计算点的坐标即可． 【详解】解：∵通过平移把点移到点， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵按同样的平移方式，点移动到点， ∴点的坐标是，即． 【跟踪专练2】如图，的坐标为，若将线段平移至，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移、代数式求值等知识，理解并掌握点的平移方式是解题关键．根据题意确定点到的平移方式，进而得到点的坐标，最后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴点先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 题型09.图形的平移求点坐标 【典例】在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A及其对应点的坐标得出平移规律，再根据平移规律可求出点的坐标． 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为：横坐标，纵坐标，即向右平移3个单位，向上平移3个单位， 的横坐标为，纵坐标为，即． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点平移的性质进行求解． 【详解】解：∵点的对应点为点， ∴可以看作点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的坐标为，即． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 题型10.平移逆推求原坐标 【典例】点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】将点B反向平移求出点A坐标； 【详解】点B（0，2）向上平移2个单位，向左平移三个单位后点坐标为（-3，4）， 故A（-3，4）． 【点睛】本题考查了点的平移规律，熟练掌握坐标中点的平移规律是解题的关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的平移规律，逆推即可得到点的坐标． 【详解】解：∵将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到 ， ∴将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为， ∴点的坐标为即． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 题型11.平移综合题 【典例】如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【答案】C 【分析】根据平移性质得出，∠C1＝∠C，根据平行线性质得出∠COC1＝∠C1，进而得出∠A1OC的度数． 【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O， ∴∠C1＝∠C，， ∴∠COC1＝∠C1（两直线平行内错角相等）， ∴∠A1OC＝180°﹣x， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，运用平行线的性质得出∠COC1＝∠C1是解题关键． 【跟踪专练1】如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为______． 【答案】1 【分析】先根据平移的性质得出平移的距离，以及线段在平移过程中扫过部分是平行四边形，再由等腰直角三角形计算出OO'对应的高，计算面积即可 【详解】解：如图 ∵点B的坐标为(0， )，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O'A' B',此时点B'的坐标为(,) ∴AA'=BB' = ∵△OAB是等腰直角三角形 ∴ OA=1 ∴xA=,yA= ∴A (,) ∴OO'对应的高为 线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为平行四边形的面积： ×=1 故答案为：1 【点睛】本题考查平移，平行四边形的面积，等腰直角三角形，勾股定理，灵活应用平移的知识是关键 【跟踪专练2】如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 题型12.坐标系中的平移 【典例】如图，点，，将线段平移后得到线段，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形的面积为48，则D点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移及三角形的面积，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据题意，得出，，再结合四边形的面积为48求出点D的纵坐标即可． 【详解】解：由平移可知， ，， 则四边形是平行四边形． 又因为四边形的面积为48， 所以点D到x轴的距离为：， 所以点D的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是求出点的纵坐标．设，利用三角形面积公式求出的值，再求出，可得结论． 【详解】解：设， ， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】通过题意画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 有2个整点， 图1有3个整点， 图2有4个整点， 图3有6个整点， ∴甲、丙答案合在一起才完整，故选：B． 题型13.坐标系中的动点问题 【典例】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，在原点，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿以的速度向点运动，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为________时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】当时，四边形是平行四边形，由此列方程解决即可． 【详解】解：，在原点，，， ，，． 当时，四边形是平行四边形， ， ． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴时，的值最小，即此时的值最小，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴当轴时，最短，即此时最小． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即在运动过程中，的最小值为3． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【解答题】 1．如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出，则，求出，根据平分，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵平移得到， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，每个方格的边长均为1个单位长度．平移得到，若点的坐标为，画出． 【答案】见解析 【分析】先根据点的坐标为，描出点的位置，再根据平移的性质，找出点的位置，最后依次连接得出，即可作答． 【详解】解：如图所示： 4．在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． (1)点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． (2)在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)①2；；② 【分析】（1）根据新定义，直接求解即可； （2）①求出的半交换点，，进而得到点T的半交换点在线段上，根据任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到的横纵坐标的范围，进行求解即可；②求出平移后的长方形的顶点坐标，根据线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到，结合，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的半交换点为， ∵点N的半交换点为， ∴点N的坐标为，即； （2）解：①∵点，， ∴点的半交换点为，， ∵为线段上的任意点， ∴T的半交换点在线段上， ∵线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为2； ②∵将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形， ∴，，，， ∵点的半交换点为，，线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 5．如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)3或6 (3) 【分析】（1）延长交y轴于点K，根据，可得轴，，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，根据平分，可得到，从而得到，再由点的坐标是，可得，即可求证； （2）连接，则交于点D，由（1）可得到四边形是菱形，证明是等边三角形，可得，，，然后分两种情况：当点G在上时，当点G在直线上时，再结合等边三角形的判定和性质，即可求解； （3）过点D作轴于点M，由（2）得：，，，可得，，从而得到，可求出点，设，则，则，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，，，可得到点，，进而得到点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置，再结合四边形为平行四边形，点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交y轴于点K， ∵， ∴轴，， ∵点的横坐标是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，则交于点D， 由（1）得：四边形是平行四边形，，， ∴四边形是菱形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，当点G在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 如图，当点G在直线上时，此时， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为3或6； （3）解：如图，过点D作轴于点M， 由（2）得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 设，则，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴点，， ∴点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置， ∴点G的坐标为，即． 6．在平面直角坐标系中，点A，B在x轴正半轴上，且点A在点B的左边，将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． (1)若点，，．则点D坐标为__________，__________； (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作垂直y轴于点N，连接，，．若点，，，，的面积为，点D到直线的距离为2．问：是否存在m，使得面积是面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，． 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系，三角形面积公式． （1）求出点A的平移规律，点B用相同的平移规律即可得到点D的坐标，根据两点间的距离公式即可得到； （2）先根据平移规律求出，，根据点D到直线的距离为2，得到点M，N的纵坐标为，，根据的面积为求出，做出图形，根据等底三角形面积比等于高的比计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A向右平移了1个单位，向上平移了2个单位； ∴点B的对应点为点， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵点A在x轴正半轴上，， ∴， ∵将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点，，，， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∵点D到直线的距离为2， ∴点M，N的纵坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即且轴， 如图， ∵面积是面积的2倍， ∴点到的距离是点到的距离的2倍， ∴ 解得：，符合， ∴． 7．如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的，使得四边形的面积等于，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（）利用绝对值与平方的非负性求出的值，即可求解； （）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （）分点在线段上，点在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点和点的坐标分别为和； （2）存在． 理由：过作的延长线，垂足为，如图所示： 由题意得点和点的坐标分别为和， ∴ ， 设点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于； （3）不变．理由如下： 当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过作的延长线，垂足为 ，连接， ∵，， ∴ ， 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ∴为定值，故其值不会变化． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09图形的平移复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解图形平移的定义，知道平移由平移方向和平移距离决定。 2.掌握平移的基本性质：平移前后图形形状、大小不变；对应线段平行且相等，对应角相等；对应点所连线段平行且相等。 3.掌握平面直角坐标系中点的平移规律：左右移变横坐标，上下移变纵坐标。 1.能按要求画出图形平移后的对应图形。 2.会根据平移性质进行线段、角度的简单计算与推理。 3.能利用坐标平移规律，求出点平移后的坐标。 1.平移概念、性质题不丢分。 2.作图规范、坐标计算准确。 3.能解决平移与坐标、几何计算结合的基础综合题。 题型01.生活中的平移现象 题型02.图形的平移 题型03.利用平移的性质求解 题型04.利用平移解决实际问题 题型05.平移作图 题型06.求点沿x轴y轴平移后的坐标 题型07.由平移方式确定点的坐标 题型08.坐标变化判断平移方式 题型09.图形的平移求点坐标 题型10.平移逆推求原坐标 题型11.平移综合题 题型12.坐标系中的平移 题型13.坐标系中的动点问题 解答题7题 知识点01:平移的 “灵魂三要素” 定义：在平面内.把一个图形沿某个方向移动一定距离,.这样的图形运动叫做平移。 关键：平移只改变位置，不改变形状、大小、方向。 一句话记忆：整体搬移，一模一样。 知识点02:平移的 “四大黄金性质”（必考） 全等不变：平移前后的两个图形全等。 对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 对应角：完全相等。 对应点连线：平行（或在同一直线上）且相等，都等于平移距离。 黄金口诀形状大小都不变，对应线段角相等；对应点连平行等，平移方向距离明。 知识点03:坐标系中的平移规律（最核心、最常考） 点 P(x,y) 平移规则： 向右平移 a 个单位 → (x+a, y) 向左平移 a 个单位 → (x−a, y) 向上平移 b 个单位 → (x, y+b) 向下平移 b 个单位 → (x, y−b) ✨ 最强记忆口诀左右横移变 x，右加左减；上下竖移变 y，上加下减。 知识点04:平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点05:平移的三大作用（几何解题神器） 1.转化线段：把分散线段移到一起，方便计算。 2.转化角度：保持角度不变，便于证明。 3.构造特殊图形：平移可造平行四边形、等腰三角形、矩形。 高频易错 “避坑指南” 1.平移不改变图形方向，翻转 / 旋转不是平移。 2.对应点连线平行且相等，不是 “随便连”。 3.坐标平移：左减右加、上加下减，别搞反。 4.平移距离是对应点之间的长度，不是图形长度。 题型01.生活中的平移现象 【典例】由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【跟踪专练2】如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 题型02.图形的平移. 【典例】如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【跟踪专练1】下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 题型03.利用平移的性质求解 【典例】如图，将沿水平方向向右平移，得到，连接，则的长为（   ） . A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，已知，将沿平移得到，则四边形周长为________． 【跟踪专练2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，则阴影部分的面积为（   ） A．31 B．31.5 C．37 D．37.5 题型04.利用平移解决实际问题 【典例】如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【跟踪专练2】有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 题型05.平移作图 【典例】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【跟踪专练1】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【跟踪专练2】如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 题型06.求点沿x轴y轴平移后的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________． 【跟踪专练2】在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型07.由平移方式确定点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 【跟踪专练2】把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型08.坐标变化判断平移方式 【典例】使的三个顶点，，的横坐标保持不变，纵坐标都分别减2得到，则与相比，其变化是（   ） A．向上平移了2个单位长度 B．向下平移了2个单位长度 C．向左平移了2个单位长度 D．向右平移了2个单位长度 【跟踪专练1】通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是______． 【跟踪专练2】如图，的坐标为，若将线段平移至，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型09.图形的平移求点坐标 【典例】在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 题型10.平移逆推求原坐标 【典例】点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为___________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 题型11.平移综合题 【典例】如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【跟踪专练1】如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为______． 【跟踪专练2】如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 题型12.坐标系中的平移 【典例】如图，点，，将线段平移后得到线段，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形的面积为48，则D点坐标为_____． 【跟踪专练1】如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为______． 【跟踪专练2】题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 题型13.坐标系中的动点问题 【典例】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，在原点，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿以的速度向点运动，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为________时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答题】 1．如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数． 2．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，每个方格的边长均为1个单位长度．平移得到，若点的坐标为，画出． 4．在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． (1)点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． (2)在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 5．如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，点A，B在x轴正半轴上，且点A在点B的左边，将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． (1)若点，，．则点D坐标为__________，__________； (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作垂直y轴于点N，连接，，．若点，，，，的面积为，点D到直线的距离为2．问：是否存在m，使得面积是面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 7．如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $