精品解析：重庆市第十一中学校2026届高三上学期期末考试数学试题

重庆市第十一中学高2026届高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 考试时间：120分钟，满分：150分 一､单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设全集，集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合和并集定义可判断各选项正误. 【详解】因为 所以即，即表示全体奇数构成的集合. 对于AD选项，集合中的元素分别是由4的偶数倍和奇数倍的数组成，故AD错误； 对于BC选项，集合B中的元素是由全体偶数减1对应的数组成，即集合B中的元素是由全体奇数组成， C中的元素是由4的倍数减1对应的数组成，为部分奇数，故B正确，C错误. 故选：B 2. 已知，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合共轭复数概念即可求解. 【详解】根据题意，， 所以的共轭复数是. 故选：A 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理、三角形内角和定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知为奇函数，排除选项AC，再由时，判断. 【详解】由知： 为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项AC， 又时，， 故选：D 5. 甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 42种 【答案】B 【解析】 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 6. 如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据抛物线定义结合题设条件，可得.当直线轴时，，当直线的斜率存在时，设直线方程为，与抛物线方程联立写出韦达定理，借助基本不等式即可求出最值. 【详解】由可得焦点，而圆的圆心即点，半径为，则， 设点，则，于是，同理. 当轴时，，则； 当直线的斜率存在时，设其方程为，代入，整理得， 显然，且，， 则，当且仅当时，等号成立. 综上可得，的最小值为. 故选：C. 7. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由双曲线的性质，得到，得出，结合离心率的定义，得出关于离心率的不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，可得，， 两式相加得， 因为，所以， 又因为，所以， 当轴时，此时最小，此时，所以， 因为，可得，整理得， 两边除以，可得，又因为，解得， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D 二､多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选､不选不得分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 的图象向右平行移动个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等式化简函数解析式，对于A，根据解析式求值；对于B，利用整体思想，结合复合函数单调性；对于C，利用整体思想，根据余弦函数对称性；对于D，根据函数图象变换，结合余弦函数奇偶性；可得答案. 【详解】化简函数解析式可得， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，易知函数在上单调递减， 在区间上单调递减,故B正确； 对于C，当时，，由函数的对称中心为， 则点是函数图像上的一个对称中心，故C错误； 对于D，函数向右平移个单位得， 由，且定义域为，则函数是偶函数，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为在双曲线右支上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 到的两条渐近线的距离之积为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线的定义可判断A；由双曲线的定义结合可判断B；由点到直线的距离公式代入计算，即可判断C；结合双曲线的定义代入计算即可判断D. 【详解】由双曲线可得：，所以 对于A，点在双曲线右支上，由双曲线的定义可得：，故A正确； 对于B，若，所以， 又因为，则 解得：，故B错误； 对于C，，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得，设点， 到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故C正确； 对于D，由双曲线的定义可得，所以， 则， 当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若Q为线段中点，则与垂直 D. 三棱锥外接球的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，连接，先证明平面平面，进而判断即可；对于B，先证明平面，而，可得到平面的距离等于到平面的距离，进而根据棱锥的体积公式求解判断即可；对于C，先证明，，即可得到平面，进而得到即可判断；对于D，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径，进而求出外接球半径，再根据球的体积公式求解判断即可. 【详解】A，连接， 在正四棱柱中，，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； B，由于，平面，平面， 所以平面，而， 则到平面的距离等于到平面的距离， 而平面，所以到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，故B错误； C，因为Q为线段中点，所以，而， 则，即，则， 而，所以，可得， 而平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，故C正确； D，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径， 设三棱锥的外接球半径为，则， 因此三棱锥外接球的体积为，故D错误. 故选：AC 三､填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为_________(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，令展开式中的指数为1，即可求出的系数. 【详解】在的展开式中， 通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为： . 故答案为：. 13. 以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，若，，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，根据，求出，再根据抛物线的定义得，将代入可求出结果. 【详解】依题意可得，设，则， 因为，，所以， 所以，又， 所以，所以，所以，解得，所以. 故答案为：3 14. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 【答案】180 【解析】 【分析】先取2个奇数并捆绑，再分类讨论所取的偶数是否有0，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】先从1，3，5中任意取2个，并排列有种排法， 若取偶数含0时，在2，4，6中取1个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这个非零偶数进行排列，有种排法， 再将0插入有2种方法，所以含0的满足条件的四位数有个； 若不含0时，先从2，4，6中任意取2个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这2个偶数进行排列，有种排法， 所以满足条件的四位数有个； 综上所述：所以共有个数. 故答案为：180. 四､解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程､推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找. （1）求第1次查找到的是合格品的概率； （2）记为查找结束时的查找次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算古典概型的概率即可； （2）利用排列组合的知识计算分布列，再利用期望公式计算即可. 【小问1详解】 因为6台中有4台合格品，所以第1次查找的是合格品的概率； 【小问2详解】 的可能取值为2，3，4，5， 其中表示表示第二次检查时结束，可能的原因是：检查的两台均为次品，则； 表示表示第三次查找时结束，可能的原因是：最后一台检查为次品，前两次检查找到次品和合格品各一台， 则， 表示第四次检查时结束，可能的原因是：最后一件为次品且前三次中有一个次品，或者四件均为合格品， 则， 则， 所以的分布列为： 2 3 4 5 16. 如图1，在直角梯形中，，，且，，，在边和分别取点，使得，现沿边将四边形进行翻折，使平面平面，如图2． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量，利用向量法计算线面角. 【小问1详解】 依题意可得，四边形为正方形，故， 又平面平面，且平面平面平面， 平面， 又平面，则， 在直角梯形中，，得， 在中，，则，则， 平面， 平面； 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，则， 设与平面所成角为， 则． 所以与平面所成角的正弦值为． 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小； （2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【小问1详解】 在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． 【小问2详解】 为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 18. 已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程. （2）设椭圆的左､右顶点分别为，过右焦点且斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点. （i）当斜率为1时，求四边形的面积. （ii）求证：点在定直线上. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求出，结合离心率求出，结合，进而求出椭圆的方程. （2）（i）先写出直线的方程，联立椭圆方程得到一元二次方程，利用韦达定理求出 ，后用“分割法”（将四边形拆分为两个三角形）计算面积.（ii）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理的结果，写出和的直线方程，联立求出，证明，从而确定点在定直线上. 【小问1详解】 由椭圆定义得，解得. 又因为离心率，所以， 则，因此椭圆标准方程为 【小问2详解】 （i）由（1）得，当时，直线的方程为. 联立，得（或） 设，则， ， ∴四边形的面积； （ii）证明：设直线的方程为且斜率不为0，设， 由椭圆方程可知，联立，整理得， 由根与系数的关系得. 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得. 同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得. 因为直线的斜率不为不能同时为0，且若假设， 代入到，得；代入到，得， 将代入到中，整理得， 即矛盾，故假设不成立，即 故只能，即，因此点在定直线上. 19. 记函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若不等式对于任意恒成立，求的取值范围； （3）求证：对于任意，恒成立. （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）构造函数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合对任意的恒成立可得出实数的取值范围； （3）证法一：令，利用导数分析函数在上的单调性，分析可知所以存在唯一，使得；存在唯一，使得，只需证，结合（2）中的结论证明即可； 证法二：证明出当时，即可，构造函数，利用导数求出该函数在上的单调性，证明出即可； 证法三：证明出，即证，构造函数，其中，利用导数求出该函数的最小值，结合，可得出，其中，再利用（2）中的结论结合参考数据可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以切线方程为，整理得. 【小问2详解】 令， 所以且，令，则. 则函数在上为增函数，且， 若，即，由可得， 即函数在上单调递减，所以， 故函数在上单调递减，所以，矛盾，所以， 当时，对于任意，. 所以在上单调递增，所以对于任意，， 所以在上单调递增，所以对于任意，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 法一：令，所以， 令，则， 当时，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 又，，， 所以存在唯一，使得；存在唯一，使得， 所以当时，，从而在上单调递增， 当时，，从而在上单调递减， 当时，，从而在上单调递增， 又，所以只需证明即可，又即， 所以， 下证即可说明， 又，单调递增. 所以， 又，由（2）知， 所以 ， 由已知得，，代入可知： ， 于是，所以恒成立. 法二：我们证明当时，即可， 记，所以， 记，所以， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在单调递增. 又，，所以，. 所以存在使得，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的唯一极小值点. 所以只需证明，且， 将代入，整理得， 所以等价于，即只需要证明即可， 注意到， 所以，故原不等式得证； 法三：要证，只需证，即证， 构造函数，其中，则， 令，解得（舍去）或， 令，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以，即证，即证， 即证， 由（2）知， 所以 ， 由已知得，，代入可知： ， 所以恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学高2026届高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 考试时间：120分钟，满分：150分 一､单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设全集，集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 42种 6. 如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选､不选不得分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 的图象向右平行移动个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为在双曲线右支上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 到的两条渐近线的距离之积为 D. 若，则的最小值为 11. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若Q为线段中点，则与垂直 D. 三棱锥外接球的体积为 三､填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中x的系数为_________(用数字作答). 13. 以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，若，，则________. 14. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 四､解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程､推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找. （1）求第1次查找到的是合格品的概率； （2）记为查找结束时的查找次数，求的分布列和数学期望. 16. 如图1，在直角梯形中，，，且，，，在边和分别取点，使得，现沿边将四边形进行翻折，使平面平面，如图2． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 18. 已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程. （2）设椭圆的左､右顶点分别为，过右焦点且斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点. （i）当斜率为1时，求四边形的面积. （ii）求证：点在定直线上. 19. 记函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若不等式对于任意恒成立，求的取值范围； （3）求证：对于任意，恒成立. （参考数据：，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $