精品解析：广东江门市培英高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

培英高级中学2025—2026学年度高一第二学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ＝（ ） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i 2. 既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. D. 1 7. 如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上.如图,设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值可为（　　） A. B. C. D. 10. 已知向量，（），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z在复平面上对应的向量，则______． 13. 已知均为单位向量，且，则的夹角为_____． 14. 若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若， （1）求角A； （2）若，，求的周长. 16. 已知函数，且． （1）求的最小正周期和的值； （2）求在区间上的最大值和最小值； 17. 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值． （2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 18. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）若函数，试求的互生向量； （2）若向量的互生函数为，求函数在上的增区间； （3）若向量的互生函数为，在中，，，若点G为该的外心，求的值． 19. 2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）求和的值； （2）求和的长； （3）按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培英高级中学2025—2026学年度高一第二学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ＝（ ） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解. 【详解】由题意， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题. 2. 既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据函数和都是奇函数，故排除A，C；由于函数是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D. 考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性. 3. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角比的定义求出，再利用两角和的正切公式即可得出答案. 【详解】由角的终边过点，得， 所以. 故选：B. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象平移法则求出解析式，再整理化简即可得解. 【详解】由题意，的图象向右平移个单位长度， 得到函数图像的，则D选项正确. 故选：D. 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 6. 在正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出,再求即得解. 【详解】由题得, . 故选B 【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7. 如图所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】以A为坐标原点建立直角坐标系，用坐标来求解即可. 【详解】以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，设，则，， ，所以的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到. 故选：C. 8. 有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上.如图,设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，用表示出，，代入梯形面积公式即可得出，则，令，利用换元法求出的最值及对应的. 【详解】解：连接，， 在中，，， ∴， ∴，. ， 令， ∵，∴，∴. 则，. ∴. 令，则在上单调递增， ∴当，即时，取得最大值. 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值可为（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量模长运算可构造方程求得结果. 【详解】，，解得：. 故选：BC. 10. 已知向量，（），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 因为，所以的值为，故B正确； 对于C，， 因为，所以，， 所以，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以， ， 若，则，得. 又因为，所以，所以无解， 所以不存在，使得，故D错误. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可 【详解】由函数图象可得，所以， 所以，得， 所以， 因为点在函数图象上， 所以，得， 所以， 因为，所以， 所以， 对于A，因为，所以不是函数的对称中心，所以A错误， 对于B，因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B正确， 对于C，因为，所以的最小值为，所以C正确， 对于D，当时，，因为方程在区间上只有一个根，所以由图可知或，即实数的取值范围为，所以D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z在复平面上对应的向量，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】因为复数z在复平面上对应的向量，所以， 所以，所以. 13. 已知均为单位向量，且，则的夹角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为均为单位向量，且， 所以， 所以， 则，又，所以， 即的夹角为. 故答案为： 14. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若， （1）求角A； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换，即可求解； （2）根据（1）的结果，结合三角形面积公式求，再根据余弦定理求，即可求周长. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可知，， 即，因为， 得，且，则； 【小问2详解】 ，得， 由余弦定理可知，， 即，所以，则， 所以的周长为6. 16. 已知函数，且． （1）求的最小正周期和的值； （2）求在区间上的最大值和最小值； 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，求得，由，得到，结合，求得的值； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得函数的最小正周期为， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以. 【小问2详解】 解：由（1）得，函数， 当，可得， 由正弦函数的性质得，当时，即时，取得最大值，最大值为； 当时，即时，取得最小值，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为. 17. 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值． （2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在． 【解析】 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角． 的余弦值为． 【小问2详解】 设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 18. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）若函数，试求的互生向量； （2）若向量的互生函数为，求函数在上的增区间； （3）若向量的互生函数为，在中，，，若点G为该的外心，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数，将其整理为的形式，直接根据定义写出互生向量； （2）先写出向量的互生函数，再化简，结合正弦函数单调性与给定区间求增区间； （3）先确定函数，求出，再用正弦定理求外接圆半径，最后利用外心性质和向量数量积公式计算. 【小问1详解】 利用诱导公式化简：， 根据定义，的互生向量为，得，因此. 【小问2详解】 根据定义，向量的互生函数为， 因此， 正弦函数的单调递增区间满足， 解得，结合，得增区间为. 【小问3详解】 根据定义，向量的互生函数为，因此. 为三角形内角，故，. 设外接圆半径为，由正弦定理，代入得. 为外心，故，由圆周角定理得圆心角， 因此， 即. 19. 2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）求和的值； （2）求和的长； （3）按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】（1），， （2）， （3） 【解析】 【分析】根据给定条件，结合直角三角形边角关系及同角公式求出，再求出距离最远的停车位边界点到的最大距离，列出不等式求解即得． 【小问1详解】 如图，，，， 由题意得，， 所以， 又，所以， 化简整理得，解得，， 又，所以， 所以，； 【小问2详解】 设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线的垂线，垂足为，， 如图，，； 【小问3详解】 由（2）得顶点到线段的距离， ，，， 由各矩形停车位大小相等，得，， 所以， 由，所以，解得， 即改造后最大停车位数量为， 所以改造后的停车位比改造前增加个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $