精品解析：广东佛山市顺德区第一中学西南学校2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题

2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题 2026年4月 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目． 2．作答选选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置发，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液､不按以上要求作答． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（ ） A. 8种 B. 6种 C. 4种 D. 2种 2. 已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 3. 若等差数列的前n项和为，且，则的值为（ ） A. 33 B. 44 C. 66 D. 132 4. 已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 6. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 80 C. D. 160 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列求导数的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有三名男生､两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B. 如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D. 如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法 11. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了______盏灯． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中系数最大项． 17. 已知函数． （1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）； （2）求证：． 18. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： （1）求的对称中心． （2）求． （3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围． 19. 设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数． （1）求 （2）求证：是等比数列； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题 2026年4月 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目． 2．作答选选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置发，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液､不按以上要求作答． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（ ） A. 8种 B. 6种 C. 4种 D. 2种 【答案】A 【解析】 【分析】由图及分类，分步计数原理可得不同走法. 【详解】分为两类，不经过点有2种走法，经过点有种走法，共种走法. 故选：. 2. 已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项定义计算可得结果. 【详解】依题意可知，解得. 故选：C 3. 若等差数列的前n项和为，且，则的值为（ ） A. 33 B. 44 C. 66 D. 132 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合即可求解. 【详解】等差数列的前项和为，且， 由等差数列的前n项和公式，得. 故选：C. 4. 已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和性质计算即可求得，代入计算可得结果. 【详解】根据等差数列性质可得； 所以. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值即可求解. 【详解】函数，求导得， 当时，，解得. 故选：D 6. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 80 C. D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中常数项为. 故选：C 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，令，利用导数说明函数的单调性，画出的图象，依题意与有两个交点，即可得解. 【详解】令，则，则， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，当时， 所以的图象如下所示： 依题意与有两个交点，则，则. 故选：D 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对恒成立， 故，即恒成立， 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C． 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列求导数的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据初等函数的导数和导数的四则运算逐项计算即可. 【详解】对A，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项A正确： 对B，因为是常数．所以，选项B错误： 对C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确： 选项，选项D错误． 故选：AC． 10. 有三名男生､两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B. 如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D. 如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用捆绑法即可计算；对B，利用插空法即可计算；对C，先排男生在两端即可；对D，根据正难则反的原则计算即可. 【详解】对于A，将这两名女生捆绑，作为一个＂元素＂与剩下的三名男生进行全排列， 此时共有种不同的排法，故A正确； 对于B，先对三名男生进行全排列，再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中，此时共有种不同的排法，故B正确； 对于C，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时共有种不同的排法，故C错误； 对于D，5个人排成一排的全排列有种，三名男生连排在一起的排法有种， 所以如果三名男生不能连排在一起，此时有种不同的排法，故D错误． 故选：AB． 11. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出，即可判断A，根据等比数列的定义判断B，求出，再由作差法比较大小，即可判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为，即，解得，故A错误； 对于B：因为，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C：由B可知，则， 又， 所以，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时成立， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了______盏灯． 【答案】93 【解析】 【分析】根据等比数列概念直接求和即可. 【详解】由题意得一共开了. 故答案为：93. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____． 【答案】682 【解析】 【分析】分别求出数列和的通项，再把它们的公共项求出来即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，满足上式，所以， 同理可求得， 设的第项与的第项相等，则，即，， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 故数列的前5项和等于． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法即可得到答案. 【小问1详解】 设数列的公差为，则． 由得，化简得， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 两式相减得， 所以． 16. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中系数最大项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出方程可得，结合组合数的计算公式，求得的值； （2）设展开式中第项的系数最大，得出不等式组，结合组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由二项式展开式的通项为， 因为展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为 可得，即，解得或（舍去）， 所以的值为. 【小问2详解】 解：由（1）知：二项展开式的通项为，其中， 设展开式中第项的系数最大，其中， 则满足，可得，解得， 因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 17. 已知函数． （1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）； （2）求证：． 【答案】（1）极小值为，无极大值， （2） 要证，只要证， 令，则， 则得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，再解不等式和即可得出的单调性，进而求出极值；根据单调性以及函数的正负性即可画出图象.； （2）构造函数，根据单调性求最小值即可. 【小问1详解】 ， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 因此极小值为，无极大值； 当时，；当时，，且， 结合单调性，可画出函数的大致图象，如下图所示： 【小问2详解】 略 18. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： （1）求的对称中心． （2）求． （3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“拐点”定义对函数求导即可求出对称中心； （2）利用函数对称性可得，再结合倒序相加法即可求得； （3）利用等差数列前n项和公式以及裂项求和可得对恒成立，再利用换元法和对勾函数性质求得即可满足题意. 【小问1详解】 由可得， 所以， 令，可得， 易知， 所以的对称中心为 【小问2详解】 由（1）中的对称中心为，可得， 因为， 所以,， 两式相加可得 ， 可得， 【小问3详解】 由（2）可得数列为等差数列，且， 所以； 可得； 因此 ； 若对恒成立，可得， 即， 令，可得恒成立，所以； 令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增， 因此，可得， 即的取值范围为. 19. 设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数． （1）求 （2）求证：是等比数列； （3）求证：. 【答案】（1），， （2）对于，假设第个元素放在了第个位置，，考虑第个元素的去向： 若放在第个位置，则意味着第个元素和第个元素互相交换了位置， 剩下的个元素进行错排，有种方法；若没有放在第个位置， 我们可以把第个位置看作是第个元素的“原位置”（因为它不能去那里）， 这等价于剩下的个元素（包括第个元素）进行错排，有种方法， 对每个进行考虑即可得， 所以， 所以是等比数列，公比为. （3）由（2）可知，， 也即，，两边同时除以得到， 对到进行累加，有， 左边裂项相消，得到即， 令即可化为. 【解析】 【分析】（1）直接根据具体情况判断即可； （2）通过考虑第个元素的去向，找到和的关系，然后对递推关系式进行变形构造，利用等比数列定义证明； （3）利用（2）中结论得到的通项公式，变形并累加后得到与要证的结果相近的形式，再利用裂项相消进一步化简，最后选取合适的下标得到结果. 【小问1详解】 时，只有一个元素，无法错排，所以； 时，有两个元素，只有一种错排即，所以； 时，有三个元素，有两种错排和，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】这类问题抓住递推关系是核心，通过分析增加的元素在后一种情况里找到所包含的前面的情况，即可顺利构建出递推关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $