广东佛山市顺德区李兆基中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

**基本信息** 该试卷聚焦高二数学核心知识，通过基础题（如单选1排列组合）、能力题（如单选6导数存在性问题）、创新题（如多选10六艺文化排列）的梯度设计，检测数学眼光（空间形式观察）、思维（逻辑推理）与语言（符号表达）能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分步乘法计数原理（1）、等比数列性质（2）、导数极值判断（4）|基础概念与图像分析结合，如第4题通过导函数图像判断极值点| |多选题|3/18|等比数列与等差数列综合（9）、六艺文化排列（10）|融入文化情境，如第10题以“六艺”课程排列考查不相邻问题| |填空题|3/15|二项式定理（12）、数列公共项（13）|注重知识交汇，如第13题综合数列前n项和求公共项| |解答题|5/77|数列通项与求和（15）、导数极值与证明（17、19）|分层设问，如第19题从单调区间到恒成立再到不等式证明，提升逻辑推理能力|

2025-2026学年度第二学期期中考试 （高二数学） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1．从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（   ） A．7条 B．12条 C．64条 D．81条 2．已知是等比数列，，则（        ）. A． B． C． D． 3．的展开式中的常数项为（    ） A．240 B．160 C．120 D．60 4．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 5．等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 6．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题的四个选项中有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分） 9．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（   ） A．若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B．若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D．若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 11．已知函数，则下列正确的是（    ） A．的极小值为0 B．过点的切线方程为 C．有三个实根 D．，当时，恒成立，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______． 13．已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____． 14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（15分）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 17.（15分）已知函数 (1)求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）； (2)求证： 18．（17分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 19．（17分）已知函数（其中a为参数）． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意都有成立，求实数a的取值集合； (3)证明：（其中，e为自然对数的底数）． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《高二期中考试数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A C D A B C AC ACD ACD 3．【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 4．【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 5．【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 6．【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A. 7．【详解】由，得， 因为，所以 ， 所以， 所以， 因为，所以由对勾函数的性质可知， 当时，取得最小值. 8．【详解】易证，当且仅当时，取等号， 所以，故， 因为，，所以， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即， ，即，综上，.故选：C. 9．【详解】由，，成等差数列，得. 设的公比为，则，解得或（舍去）， 所以，解得. 所以数列的通项公式为，， 故选：AC. 10．【详解】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确； 课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误； 课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确； 课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种； 当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种， 故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确．故选：ACD 11．【详解】由题意知：定义域为R，； ∴当时，；当时，； ∴的单调递减区间为，；单调递增区间为； 对于A，的极小值为，A正确； 对于B，设过点的切线的切点为，则， 切线方程为，将点代入切线方程，解得或， 当时，切点为，切线斜率为0，切线为， 当时，切点为，切线斜率为，切线为， 在点处的切线方程为或，B错误； 对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示， 由图象可知：与有三个不同的交点，即有三个实根，C正确； 对于D，由当时，恒成立可得：， 令，则在上单调递增， ∴在上恒成立，∴在上恒成立； ∵在上的最大值为，∴，D正确.故选：ACD. 12．【详解】令，则展开式中各项系数之和为， 由题意得，解得. 的通项为， 令，解得. 代入通项得该项系数为.故答案为：27. 13．【详解】当时，， 当时，， 当时，满足上式，所以， 同理可求得， 设的第项与的第项相等，则，即，， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 故数列的前5项和等于． 14．【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，其中，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故．因此，实数的取值范围是. 15．【详解】（1）由题意，可得，故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ，，． （2）由题意及（1），可得， 则 ． 16．【详解】（1）由，知. 而在处取得极值，故，. 故有方程组，即. 所以，. （2）由（1）知，，故，. ， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 而直接计算知，，， 故在上的最大值为，最小值为. 17.（15分）已知函数 (1)求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）； (2)求证： 17.【详解】（1）， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 因此极小值为，无极大值； 当时，；当时，，且， 结合单调性，可画出函数的大致图象，如图所示： （2）要证，只要证， 令，则， 则得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． . 18．（17分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 19．（17分）已知函数（其中a为参数）． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意都有成立，求实数a的取值集合； (3)证明：（其中，e为自然对数的底数）． 18．【详解】（1）由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； （2）由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 19．【详解】（1）解：因为函数，定义域为， 所以， 当时，，函数在上递增； 当时，令，得， 当时，，函数在上递减； 当时，，函数在上递增； 所以当时，函数的单调增区间是，无减区间； 当时，函数的单调增区间是，减区间是； （2）当时，在上递增，又，当时，，所以不成立； 当时，由（1）得， 因为对任意都有成立， 所以， 令， 则，令，得， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 所以实数a的取值集合是； （3）由（2）知：， 令，则， 即，则， 所以， 由（2）知：， 令，则， 即，则， 所以，故. 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $