20.3.2 用样本方差估计总体方差-课件2025-2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 20.3.2 用样本方差估计总体方差 第20章 数据的初步分析 沪科版数学八年级下册 20.3.2 用样本方差估计总体方差 练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于用样本方差估计总体方差的说法，正确的是（ ） A. 样本方差一定等于总体方差 B. 样本方差是总体方差的估计值，样本容量越大，估计越准确 C. 样本方差与总体方差没有关联 D. 只要选取样本，就能准确估计总体方差 2. 为了解某批零件长度的波动情况，随机抽取20个零件测量长度，计算出样本方差为0.04，则估计该批零件长度的总体方差为（ ） A. 0.04 B. 0.8 C. 20 D. 无法估计 3. 样本方差的作用是（ ） A. 估计总体的平均水平 B. 估计总体的波动大小 C. 反映样本的平均水平 D. 反映样本的个体差异 4. 下列说法错误的是（ ） A. 用样本方差估计总体方差时，样本需具有随机性和代表性 B. 样本方差越大，估计总体的波动越大 C. 样本容量越小，样本方差对总体方差的估计越准确 D. 总体方差无法直接计算时，可用样本方差近似代替 5. 随机抽取某班10名学生的数学成绩，计算样本方差为12，则估计该班全体学生数学成绩的总体方差为（ ） A. 12 B. 1.2 C. 120 D. 无法确定 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 当总体方差无法直接计算时，我们可以用______来估计总体方差，其核心思想是用样本的波动情况近似反映总体的波动情况。 2. 用样本方差估计总体方差时，______越大，样本方差越接近总体方差，估计的结果越可靠。 3. 为了解某果园苹果重量的波动情况，随机抽取30个苹果，计算样本方差为2.5，则估计该果园所有苹果重量的总体方差为______。 4. 随机抽取50名学生的体重，计算样本方差为4，则估计全体学生体重的总体方差为______，说明总体的波动______（填“较大”或“较小”）。 5. 已知样本方差为3，样本容量为40，用该样本方差估计总体方差，则总体方差的估计值为______。 三、解答题（共70分） 11.（10分）为估计某鱼塘中鱼的重量波动情况，随机捕捞20条鱼，称得它们的重量（单位：kg）如下：1.2、1.5、1.3、1.4、1.6、1.5、1.4、1.3、1.5、1.6、1.4、1.5、1.3、1.6、1.5、1.4、1.2、1.5、1.4、1.3。 （1）计算样本平均数和样本方差（结果保留两位小数）； （2）估计该鱼塘中所有鱼重量的总体方差。 12.（12分）某学校为了解学生每天课外阅读时间的波动情况，随机抽取50名学生进行调查，得到这50名学生每天课外阅读时间（单位：分钟）的样本平均数为45，样本方差为25。 （1）估计该校800名学生每天课外阅读时间的总体方差； （2）说明样本方差为25的含义，并判断总体的波动情况。 13.（12分）某工厂生产一批零件，随机抽取25个零件检测其长度（单位：cm），计算出样本平均数为10，样本方差为0.09。 （1）估计这批零件长度的总体方差； （2）若样本方差越小，说明零件长度越均匀，试判断这批零件长度的均匀性。 14.（12分）为估计某条道路日均车流量的波动情况，随机抽取7天的车流量（单位：辆）如下：1200、1300、1250、1400、1350、1280、1320。 （1）计算样本方差（结果保留整数）； （2）估计该道路日均车流量的总体方差，并说明总体波动情况。 15.（12分）随机抽取某班15名同学的身高（单位：cm），结果如下：160、165、158、162、159、163、160、157、161、164、156、160、158、162、159。 （1）计算样本平均数和样本方差（结果保留两位小数）； （2）估计该班45名同学身高的总体方差，并说明估计的可靠性。 16.（12分）已知两组样本数据，样本A（容量20）的方差为3.2，样本B（容量30）的方差为3.8。 （1）分别估计两组样本对应的总体方差； （2）比较两个总体的波动大小，并说明哪个样本的估计更可靠。 参考答案 一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. C 5. A 二、填空题 1. 样本方差 7. 样本容量 8. 2.5 9. 4；较小 10. 3 三、解答题 1. 解：（1）样本平均数\(\bar{x}\)=(1.2×2+1.3×4+1.4×5+1.5×6+1.6×3)÷20=28.4÷20=1.42kg； 样本方差s²=\(\frac{1}{20}\)[(1.2-1.42)²×2+(1.3-1.42)²×4+(1.4-1.42)²×5+(1.5-1.42)²×6+(1.6-1.42)²×3]≈0.01； （2）估计该鱼塘中所有鱼重量的总体方差为0.01。 2. （1）估计该校800名学生每天课外阅读时间的总体方差为25； （2）样本方差为25，说明抽取的50名学生课外阅读时间的波动情况为25；总体方差估计为25，说明该校全体学生课外阅读时间的波动适中。 3. （1）估计这批零件长度的总体方差为0.09； （2）样本方差为0.09，数值较小，说明这批零件长度的波动较小，零件长度比较均匀。 4. 解：（1）样本平均数\(\bar{x}\)=(1200+1300+1250+1400+1350+1280+1320)÷7=1300辆； 样本方差s²=\(\frac{1}{7}\)[(1200-1300)²+(1300-1300)²+(1250-1300)²+(1400-1300)²+(1350-1300)²+(1280-1300)²+(1320-1300)²]≈3714； （2）估计该道路日均车流量的总体方差为3714，说明该道路日均车流量的波动较大。 5. （1）样本平均数\(\bar{x}\)=(160×3+165+158×2+162×2+159×2+163+157+164+156)÷15≈159.53cm； 样本方差s²≈\(\frac{1}{15}\)[(160-159.53)²×3+(165-159.53)²+(158-159.53)²×2+…+(156-159.53)²]≈5.69； （2）估计该班45名同学身高的总体方差为5.69；样本容量为15，具有一定的代表性，估计结果具有一定的可靠性，若增大样本容量，估计会更准确。 6. （1）估计样本A对应的总体方差为3.2，样本B对应的总体方差为3.8； （2）样本A的估计总体方差小于样本B，说明样本A对应的总体波动更小；样本B的样本容量（30）大于样本A（20），所以样本B的估计更可靠。 学习目标 1.可以通过样本的方差推断出总体的方差. 2.能根据方差的计算结果做出简单的判断和预测. 情景导入 问题 两台机床都生产直径为（20±0.2）mm 的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个零件进行测量，结果如下（单位：mm）： 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 【教材P144 问题】 思考 为什么可以根据10个零件判断机床B生产的零件更稳定？ 在实际问题中,与用样本平均数估计总体平均数一样,我们也常用样本方差估计总体方差. 为比较甲、乙两个新品种水稻的产量，各抽取了五块具有相同条件的试验田地，收割时分别称取两品种水稻的产量，得其每公顷产量（单位：t）如下表： 例 水稻品种 田地编号 1 2 3 4 5 甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9 乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2 推进新课 水稻品种 田地编号 1 2 3 4 5 甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9 乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2 （1）哪个品种平均每公顷的产量较高？ （2）哪个品种的产量较稳定？ 分析： 产品的稳定性就是比较_____________________. 估计甲、乙两个新品种在这一地区的产量和产量的稳定性就是用样本的平均数和方差来估计____________________. 各组数据方差的大小 总体的平均数和方差 水稻品种 田地编号 1 2 3 4 5 甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9 乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2 （1）甲、乙两个新品种每公顷产量的样本平均数为 据此估计甲、乙两个新品种每公顷产量的总体平均数分别为 12.3t，12.3t. 答：甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样. 水稻品种 田地编号 1 2 3 4 5 甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9 乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2 （2）甲、乙两个新品种每公顷产量的样本方差为 据此估计甲、乙两个新品种每公顷产量的总体方差分别为 0.18，0.324. 因为 0.18 < 0.324，所以甲品种的产量稳定性较好. 答：甲品种的产量稳定性较好. 一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大. 在样本容量、平均数相同的情况下，离差平方和越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大. 在两组数据的平均数相差较大，以及两组数据的单位不同时，不能直接通过比较方差来说明它们的离散程度. 随堂练习 在对某玉米品种进行考察时，农科所从一块试验田里随机抽取了15 株玉米，称得各株玉米的产量（单位：kg）如下： 0.25，0.16，0.16，0.15，0.20，0.13，0.10，0.18， 0.14，0.12，0.13，0.13，0.18，0.15，0.10. 由此估计这块试验田每株玉米产量的方差是多少？（精确到0.0001） 【教材P151 练习 T1】 1. 0.25，0.16，0.16，0.15，0.20，0.13，0.10，0.18， 0.14，0.12，0.13，0.13，0.18，0.15，0.10. 由此估计这块试验田每株玉米产量的方差是 0.0014 . 从甲、乙两名工人生产的同一种零件中，各随机抽出4个，量得它们的直径（单位：mm）如下： 甲：9.98，10.00，10.02，10.00； 乙：10.00，9.97，10.03，10.00. 由此估计甲、乙生产的零件直径的方差，并说明谁做的零件直径差异较小. 【教材P151 练习 T2】 2. 甲：9.98，10.00，10.02，10.00； 乙：10.00，9.97，10.03，10.00. 0.0002 < 0.00045，所以甲生产的零件直径差异较小. 1.已知两个样本数据如下： 【教材P151习题20.3 T1】 分别计算两个样本的离差平方和及方差，并说明哪一个样本数据较稳定． 甲：9.8，9.9，10.3，10.0，10.1，10.4，9.7，9.8； 乙：10.5，9.6，10.1，9.8，9.5，10.2，10.0，10.3. 随堂练习 甲：9.8，9.9，10.3，10.0，10.1，10.4，9.7，9.8； 乙：10.5，9.6，10.1，9.8，9.5，10.2，10.0，10.3. 解：甲= ×(9.8+9.9+10.3+10.0+10.1+10.4+9.7+9.8)=10.0（分） 乙= ×(10.5+9.6+10.1+9.8+9.5+10.2+10.0+10.3)=10.0（分） M甲=(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+…+(9.8-10.0)2=0.44 M乙=(10.5-10.0)2+(9.6-10.0)2+…+(10.3-10.0)2=0.84 = ×0.44=0.055 = ×0.84=0.105 因为0.055<0.105，所以样本甲的数据更稳定. 随堂练习 2.某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米短跑比赛.该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩（单位：s）如下表： 【教材P151习题20.3 T2】 选手 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙 12.0 12.4 12.8 13.0 12.2 12.8 12.3 12.5 根据测试成绩，请你运用所学知识判断，派哪位选手参加比赛更好?为什么? 随堂练习 解：甲= ×(12.1+12.2+13+12.5+13.1+12.5+12.4+12.2)=12.5 乙= ×(12.0+12.4+12.8+13.0+12.2+12.8+12.3+12.5)=12.5 = ×[(12.1-12.5)2+(12.2-12.5)2+…+(12.2-12.5)2]=0.12 = ×[(12.0-12.5)2+(12.4-12.5)2+…+(12.5-12.5)2]=0.1025 因为 0.1025<0.12，所以乙的成绩更稳定，派乙选手参加比赛更好. 随堂练习 3.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下： 【教材P152习题20.3 T3】 甲 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 随堂练习 甲 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 （1）填写下表： 同学 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 方差 85分以上的频率 甲 84 84 0.3 乙 84 84 34 84 14.4 90 0.5 随堂练习 （2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价. 同学 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 方差 85分以上的频率 甲 84 84 84 14.4 0.3 乙 84 84 90 34 0.5 两人平均成绩均为 84 分，整体水平相当.甲的方差（14.4）远小于乙的方差（34），说明甲的成绩更稳定，发挥波动小.乙 85 分以上的频率（0.5）高于甲（0.3），且乙的众数为 90，说明乙的高分潜力更强，冲击高分的能力更优. 随堂练习 作用 步骤 比较数据的稳定性. 先计算样本数据的平均数，然后计算样本方差，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况． 课堂小结 用样本方差估计总体方差 $