精品解析：湖北省襄阳市南漳县南漳三校2025-2026学年下学期八年级数学

2025－2026学年度下学期八年级数学 一、单选题（3×10＝30） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 利用勾股数的定义进行分析即可． 【详解】解：A．， 1，2，3不是勾股数，不符合题意； B．， 4，5，6不是勾股数，不符合题意； C．， 6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵，均不是整数， ，，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 已知在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行四边形对角相等的性质可知，．结合题目条件，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， （平行四边形对角相等）． 又， ， 解得． 故选：A． 4. 在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 46° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，平行四边形的性质，根据题意得出四边形是平行四边形，进而勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故选：B． 5. 已知点E，F，G，H分别在正方形的边上，若，，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行线的性质等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键. 根据正方形的性质可得、，再根据平行线的性质可得、、、，进而得到结论. 【详解】解：∵正方形， ∴, ∵， ∴,, ∵， ∴,, ∴ ∵， ∴,即四边形一定是对角线互相垂直且相等的四边形. 故选D. 6. 已知，则化简后为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程，即可解得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：， 解得， 则这个多边形是九边形． 故选：B 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成是解答本题的关键． 8. 如图，已知平行四边形的对角线和交于点，若，，则边的长度可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得的长度，然后根据三角形三边关系可得的范围，结合选项解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键． 9. 如图，在菱形中，、交于O点，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（ ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，延长，交于点，连接，可证，得，再证明四边形是矩形，得，即得，即可判定①；证明，可得 ，进而由 ，，得 ，即可判定②；由是正方形的对角线上一点，可知不一定是等腰三角形，即可判定③；由 得 ，进而得到 ，即可判定④；由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点，连接， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，故②正确； ∵是正方形的对角线上一点， ∴不一定是等腰三角形，故③错误； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，但无法证明，故④错误； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②． 二、填空题（3×5＝15） 11. 代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键． 根据分式和二次根式有意义的条件，构建一元一次不等式组，解不等式，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，且， 解得：且． 故答案为：且． 12. 在中，、、的对边分别是、、，满足，则是________三角形． 【答案】等腰直角 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出，且，进而判断出的形状． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义与非负数的性质． 13. 如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】先由是的中位线求出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵是的中点，， ∴． 14. 如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点在上，．一位滑板爱好者从点出发滑到点，则他滑行的最短距离为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】将半圆面展开如答图所示，连接． 根据题意，得，． 在Rt中，由勾股定理，得， 所以他滑行的最短距离为． 故答案为：30． 15. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解． 【详解】解：在中由勾股定理可知：， ∵， ∴， ∴， 在中由勾股定理可知：， ∴， 设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=， 在中由勾股定理可知：，代入数据： ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长． 三、解答题 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，为的中点，连接． （1）用尺规作图法在下方作，且射线与的延长线交于点（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）在（1）的条件下，连接，求证四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求尺规作图即可； （2）证明可得，结合为的中点即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图： ∵为的中点， ∴， ∵由（1）作图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 18. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点   ， 四边形是平行四边形， 在菱形中， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的性质求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 在菱形中，是的中点 是的中点 是的中位线 在菱形中，， 在中，， 根据勾股定理得 在菱形中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． 20. 综合与实践 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点P，连接，延长至点E，连接，交于点F，且． （1）如图1，小明连接了，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为________，位置关系为________． （2）如图2，小明连接了，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3．小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） （2） ． 理由如下： 由（1）证明可知，， ∴． ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）可先证，得，进而可得到和的数量关系；根据和的数量关系以及和数量关系，可求得的度数，进而可判断和的位置关系． （2）根据，，即可求得答案． （3）根据，，，结合菱形的性质，可求得的度数，进而可求得答案． 【小问1详解】 ∵四边形为正方形， ∴，． 在和中， ∴． ∴，． 又， ∴． ∵， ∴． ∴． 又，， ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，． ∴． 类比（1）的证明过程，可知，， ∴． ∵，， ∴． ． 又， ∴为等边三角形． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质，牢记正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定定理及性质、平行线的性质是解题的关键． 21. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF． 【答案】见详解． 【解析】 【分析】先取AB的中点H，连接EH，根据和四边形ABCD为正方形，得出，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出，最后根据CF是的角平分线，得出，从而证明，即可得出． 【详解】证明：取AB的中点H，连接EH 四边形ABCD是正方形 E是BC的中点，H是AB的中点 CF是的角平分线 在和中 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理、正方形的性质、角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题的关键． 22. 为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）这辆小汽车没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ∴； 【小问2详解】 解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 23. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数，则，即，当且仅当时取等号，此时有最小值为． 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，即时，式子有最小值为． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）①分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式化为带分式形式为______； ②已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）①真分式； ；②，；（2）当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；（3）当时，分式取到最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）①根据新定义判断分式是真分式，②将假分式化为即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：求解即可； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①根据新定义分式是真分式， ， ②∵， 令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 24. 正方形和正方形按如图①放置，，，点，，在同一条直线上，点在边上，连接和，现将正方形绕着点逆时针旋转，假设旋转角为，据此回答下列问题． （1）当时，试猜想和的数量关系和位置关系，并证明； （2）当旋转到如图②所示位置时，问题（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，求的长度． 【答案】（1），证明见解析 （2）成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）如图，延长交于点M，利用正方形的性质证明可得，再利用角的和差即可证明； （2）如图，延长交于点N，交于点O，利用正方形的性质证明可得，再利用三角形内角和定理即可证明； （3）分点C在上和在的延长线上两种情况，分别根据旋转的性质、勾股定理、线段的和差求解即可． 【小问1详解】 解：，证明如下： 如图，延长交于点M， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 如图，延长交于点N，交于点O， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴，即． 【小问3详解】 解：在旋转的过程中，当点B，C，G在同一条直线上时，存在下面两种情况： ①如图：当点C在上时 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∴； ②如图， 当点C在的延长线上时 同情况①可得， ∴． 综上，当点B，C，G在同一条直线上时，的长度是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期八年级数学 一、单选题（3×10＝30） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 1，， 3. 已知在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 46° 5. 已知点E，F，G，H分别在正方形的边上，若，，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形 6. 已知，则化简后为（    ） A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 8. 如图，已知平行四边形的对角线和交于点，若，，则边的长度可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 9. 如图，在菱形中，、交于O点，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（ ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题（3×5＝15） 11. 代数式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 在中，、、的对边分别是、、，满足，则是________三角形． 13. 如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 14. 如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点在上，．一位滑板爱好者从点出发滑到点，则他滑行的最短距离为___________． 15. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 三、解答题 16. 计算： （1）． （2） 17. 如图，在中，为的中点，连接． （1）用尺规作图法在下方作，且射线与的延长线交于点（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）在（1）的条件下，连接，求证四边形为平行四边形． 18. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 综合与实践 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点P，连接，延长至点E，连接，交于点F，且． （1）如图1，小明连接了，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为________，位置关系为________． （2）如图2，小明连接了，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3．小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系． 21. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF． 22. 为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 23. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数，则，即，当且仅当时取等号，此时有最小值为． 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，即时，式子有最小值为． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）①分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式化为带分式形式为______； ②已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 24. 正方形和正方形按如图①放置，，，点，，在同一条直线上，点在边上，连接和，现将正方形绕着点逆时针旋转，假设旋转角为，据此回答下列问题． （1）当时，试猜想和的数量关系和位置关系，并证明； （2）当旋转到如图②所示位置时，问题（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $