精品解析：江苏盐城滨海中学2025-2026学年下学期高一（创新年级）期中考试数学试题

滨海中学2025—2026学年下学期创新年级 期中考试数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 5. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集是，则的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 8. 已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. B. 的定义域是 C. 是奇函数 D. 的图象关于对称 10. 已知，，且，则（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最大值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，，.用表示，中的较大者，记为，设则（ ） A. B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为 D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象经过点，则____________. 13. 在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数若，且，则的取值范围是____________． 四、解答题（13+15+15+17+17分） 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 实数. （1）函数的图象过点，求的最小值； （2），求的最小值. 17. 已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）记函数在上的最小值为，求的表达式. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． （1）求的值； （2）设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海中学2025—2026学年下学期创新年级 期中考试数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定为，. 3. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 4. 已知，，则（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数运算即可求出结果. 【详解】因为，故. 故选：A. 5. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，A中的任意一个数，通过对应关系在B中都有唯一的数与之对应，据此逐项检验即可． 【详解】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 6. 已知不等式的解集是，则的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由不等式的解集是， 所以是方程的两根， 所以，解得，所以. 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是正实数，且满足， 所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故选：C 8. 已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在R上的单调性，再将函数值的大小转化为自变量的大小，分参转化为恒成立问题，进而得到答案. 【详解】因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数. 对任意的, 问题 ， 记，则问题 因为，当且仅当时取“=”， 所以. 故选：D. 【点睛】本题较为综合，到这一步都是比较正常的思路，接下来注意齐次式的处理方式，，目的是为了消元（看成一个量），下一步的换元一定要注意要把分母整体换元，这样后面的运算会简单，最后结合基本不等式或者导数解决即可. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. B. 的定义域是 C. 是奇函数 D. 的图象关于对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求解函数的解析式及定义域，根据函数的性质判断各项正误． 【详解】令，因为，所以， 由，得， 所以，，故A正确； 的定义域是，故B正确； 的定义域关于原点对称，， 则，所以是偶函数，不是奇函数， C错误； 是偶函数，其图像关于对称， 将的图象向右平移1个单位可得的图象， 所以的图象关于对称，故D正确， 故选：ABD． 10. 已知，，且，则（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最大值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式求解；对B，由题可得，利用二次函数单调性求解判断；对C，举反例说明；对D，将原式变形，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，由，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，，得， 则，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即，时，取等号，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，，.用表示，中的较大者，记为，设则（ ） A. B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为 D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作出的函数图像，根据图像即可判断AB，分别求出方程的实数根，即可判断C，根据图像先求的根，再求的根，即可判断D. 【详解】根据题意作出的函数图像： 由图可知，，故A正确； 由函数在区间上单调递减，所以，故B错误； 若方程，所以当时，，解得， 当时，， 当时，， 所以，故C正确； 由，所以， 由，所以， 所以当时，的取值范围为，所以， 所以，则的最大值为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象经过点，则____________. 【答案】1 【解析】 【分析】由幂函数的性质求解， 【详解】设幂函数，∵函数过点，∴，解得， ∴，. 故答案为：1 13. 在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，将问题转化为二次不等式在R上恒成立的问题，利用二次函数性质即可容易求得. 【详解】根据定义，不等式即为：， 整理得：对一切实数x恒成立， 则只需，整理得：， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数若，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求得表达式的取值范围 【详解】画出函数的图象如下： 观察图象由对称性可得，即 又，， 则 令，由二次函数图象可知，，， ∴的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（13+15+15+17+17分） 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合B，进而求出；（2）根据题意得到A是B的真子集，分A为空集和不为空集两种情况，求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，. 因为，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以A是B的真子集. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使A是B的真子集，只需，解得:， 综上，. 所以实数a的取值范围. 16. 实数. （1）函数的图象过点，求的最小值； （2），求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合基本不等式进行求解即可； （2）利用基本不等式，一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 所以有， 因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值； 【小问2详解】 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为， 所以有 ，或， 因为， 所以， 因此当时，有最小值. 17. 已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）记函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得1，是方程的两根，进而求出,再由分式不等式的解法求解即可； （2）讨论的范围，结合二次函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1，是方程的两根， 所以，解得. 不等式即为，不等式可化为，等价于 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 当时，在上单调递增，所以； 当时，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 函数在上单调递增.证明如下： ， ， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解并验证即得. （2）判断单调性，再利用增函数的定义直接证明. （3）由（2）求出的最大值1，根据给定条件，将问题转化为在上的最小值不小于1，再按分类求解. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 由，，都有恒成立，得在上的最小值不小于1， 即当时，恒成立， 当时，函数在上单调递增，， 则，而，因此； 当时，恒成立，因此； 当时，函数在上单调递减，， 则，而，因此， 所以实数k的取值范围是. 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． （1）求的值； （2）设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据对称的充要条件，令即可求解； （2）①根据题意得到即可；②由命题“，，使得成立”是真命题可得在上的值域是在上的值域的子集.，根据二次函数图象对称轴在区间上的单调性情况，分别讨论在和上的值域，即可求得参数范围． 【小问1详解】 函数的图象关于点对称， 所以， 令，得； 【小问2详解】 ①， ，即满足， 所以函数的图象关于点对称； ②命题“，使得成立”是真命题， 又在上单调递增， 所以时，的值域为， 因函数的图象关于点对称，则， 当时，，则当时，， 则， 化简得. 命题“，，使得成立”是真命题, 即在上的值域是在上的值域的子集. 先考虑时，，其对称轴为直线， ①当时，在单调递增，，， 此时，需满足，解得，故得； ②当时，在单调递减，在单调递增， ，， 需满足，解得； ③当时，在单调递减， ，， 此时，需满足，解得，故得. 再分析时，，其对称轴为直线， ①当，即时，在单调递减， ，，此时， 需满足，解得，故得； ②当，即时，， ， 需满足，可得； ③当，即时，在单调递增， ，，此时， 需满足，解得，故. 综合函数在与的上的情况，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $