精品解析：湖南大学附属中学等校2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷(模拟三) 数学试题

2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟三） 数 学 时量：90分钟，满分：100分 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页. 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，可以表示函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 设为实数，，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，，则M的子集共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 7. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ） A. 30，91 B. 31，91 C. 30，90 D. 31，90 8. 使得函数为减函数，且值为负数的区间为（ ） A. B. C. D. 9. 直线与函数的图象的交点个数是（ ） A. B. C. D. 无数个 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（ ） A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 12. （ ） A. B. C. D. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 14. 函数是幂函数，则实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 15. 设，则的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 16. 某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为 A. B. C. D. 17. 下列函数中，在区间上为增函数的是. A. B. C. D. 18. 已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 计算_____________ 20. 请写出一个满足以下两个条件的函数______. ①是偶函数；②在上单调递增. 21. 若一次函数的图象经过点，则______． 22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求a，b的值； （2）求这100名员工月销售额的第70百分位数； （3）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率. 24. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值及单调增区间. 25. 如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： （1）直线平面； （2）平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟三） 数 学 时量：90分钟，满分：100分 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页. 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由. 所以函数的定义域为. 2. 下列图形中，可以表示函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 3. 设，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】， 等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 4. 设为实数，，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 5. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是. 故选：B 6. 已知集合，，，则M的子集共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合，进而求出其子集个数 . 【详解】由集合，，得， 所以集合的子集个数为. 故选：C 7. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ） A. 30，91 B. 31，91 C. 30，90 D. 31，90 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得． 【详解】因为，，，，的平均数是10，方差是10， 所以的平均数是，方差是． 故选：D． 8. 使得函数为减函数，且值为负数的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可. 【详解】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数. 故选：C 9. 直线与函数的图象的交点个数是（ ） A. B. C. D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数的有界性可得结论. 【详解】因为，故直线与函数的图象没有公共点， 故选：A. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合完全平方公式及三角函数平方关系求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 11. 为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（ ） A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：. 12. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由差角公式计算即可. 【详解】. 故选：D 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求. 【详解】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 14. 函数是幂函数，则实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可. 【详解】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 15. 设，则的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】选取解析式代入可得结论． 【详解】由题意． 故选：B． 【点睛】本题考查分段函数，分段函数求值关键是要判断自变量的范围，根据不同范围选取不同的表达式计算． 16. 某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案. 【详解】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点, 故所求概率为, 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概率的计算，属于简单题. 17. 下列函数中，在区间上为增函数的是. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增,故选B 考点：函数的单调性 点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键． 18. 已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 计算_____________ 【答案】 【解析】 【分析】借助对数运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 20. 请写出一个满足以下两个条件的函数______. ①是偶函数；②在上单调递增. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据偶函数和增函数的定义结合基本函数求解即可. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 所以函数可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 21. 若一次函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的点求出解析式，进而可求函数值. 【详解】因为一次函数的图象经过点， 所以，解得， 所以，所以， 故答案为:3. 22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】, 故答案为：1. 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求a，b的值； （2）求这100名员工月销售额的第70百分位数； （3）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解； （2）根据百分位数的概念求解； （3）根据古典概型列出基本事件计算得解. 【小问1详解】 由已知得， 所以，又因为， 所以，. 【小问2详解】 由于样本在的频率为，在的频率为， 所以这100名员工月销售额的第70百分位数为. 【小问3详解】 月销售额在这一组的人数为. 其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b， 从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个， 其中，事件“至少有一名女职工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个， 所以，所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为. 24. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值及单调增区间. 【答案】（1） （2）最大值为，单调增区间为， 【解析】 【分析】（1）借助降幂公式与辅助角公式将化为正弦型函数后即可得； （2）运用正弦型函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 ， 则； 【小问2详解】 由，故， 即函数的最大值为， ，， 即，， 故的单调增区间为，. 25. 如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： （1）直线平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【小问1详解】 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. 【小问2详解】 ∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $