精品解析：湖南长沙市长郡中学等校2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷(模拟四) 数学试题

2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟四） 数学 时量：90分钟，满分：100分 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页. 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列空间几何体中可能是棱台的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列情况适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某班学生的身高情况 D. 学校招聘，对应聘人员进行面试 4. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴正半轴上，且，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若“，”是真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，直线与的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是(　　) A. B. C. D. π 10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是 A. B. C. D. 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 复数，下列说法不正确的是（    ） A. 的实部为2 B. 的虚部为 C. D. 13. 半径的球的表面积（ ） A. 6π B. 8π C. 10π D. 12π 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 15. 以下一些说法，其中正确的有（ ） A. 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B. 买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 16. 如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是(　　)　　 A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上没有单调性 17. 已知直线l与平面，命题p：l与相交，命题q：l在外，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 已知函数是定义域为的奇函数，若，则______． 20. ______ 21. 写出一个与向量共线的向量________. 22. 为调查一批种子的发芽率，从中抽取了100粒种子进行试验，发现其中有8粒种子未能发芽．据此估计该批次种子的发芽率为______．（用百分数表示） 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，D是母线PA的中点，C在底面圆周上，． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）求DC与平面ABC所成角的正弦值． 24. 如图，底面是正方形的直棱柱中，，. （1）求直线与平面ABCD所成角的正切值； （2）求证：. 25. 已知函数，且． （1）求的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟四） 数学 时量：90分钟，满分：100分 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页. 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 下列空间几何体中可能是棱台的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台、棱台、棱柱、圆柱的结构特征逐项判断即可. 【详解】根据空间几何体的几何特征知：选项A是圆台，选项B可能是棱台，选项C是棱柱，选项D是圆柱. 故选：. 3. 下列情况适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某班学生的身高情况 D. 学校招聘，对应聘人员进行面试 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查的直接判断即可. 【详解】A，调查化工厂周围5个村庄是否受污染，可全面调查； B，调查某批汽车抗撞击能力，具有破坏性，适合抽样调查. C，调查某班学生身高，适合全面调查； D，学校招聘对应聘人员面试，是全面调查； 故选：B 4. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴正半轴上，且，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合且，根据三角函数的定义即可判断. 【详解】因为，所以的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，所以的终边在第一、三象限，所以的终边在第三象限. 故选：C 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 6. 若“，”是真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称命题或特称命题的相关性真假求解参数 【详解】由题意，，恒成立， 因为，所以，所以． 故选：B． 7. 如图，在正方体中，直线与的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C. 异面但不垂直 D. 异面且垂直 【答案】D 【解析】 【详解】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线， ， 故选D. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集. 【详解】令，所以或.  解得，.   所以不等式的解集是.   故选：A. 9. 函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是(　　) A. B. C. D. π 【答案】B 【解析】 【详解】函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是.选B. 10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为匀速骑车，所以时间与路程的关系是线性关系，又中间阻塞，故一段时间内路程不增加，符合题意的图象只能选A. 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二倍角的余弦公式运算即可. 【详解】因为，， 故选：D. 12. 复数，下列说法不正确的是（    ） A. 的实部为2 B. 的虚部为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案 【详解】因为，所以实部为2，虚部为3，，. 故选：B 13. 半径的球的表面积（ ） A. 6π B. 8π C. 10π D. 12π 【答案】B 【解析】 【分析】利用球的表面积公式即可求解. 【详解】半径的球的表面积． 故选：B 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，则，即， 所以的形状一定是等腰三角形. 故选：A. 15. 以下一些说法，其中正确的有（ ） A. 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B. 买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于D选项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生. 【详解】对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为，故A错误； 对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误； 对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确； 对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误. 故选：C. 16. 如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是(　　)　　 A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上没有单调性 【答案】C 【解析】 【详解】由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A、B选项是正确的； 又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减， 但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C选项错误； 观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D选项正确. 故选C. 要知道四个选项中哪个是错误的，考虑先根据函数图象写出函数的单调区间； 根据题意可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，据此可判断A、B选项； 函数在[-3，1]和[4，5]上单调递减，据此判断其余选项，试试吧！ 17. 已知直线l与平面，命题p：l与相交，命题q：l在外，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系推导即可得答案. 【详解】若l与相交，则l在外；若l在外，则l与相交或平行， 所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 18. 已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可. 【详解】由不等式恒成立， 所以, 故选：A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 已知函数是定义域为的奇函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义解出函数值； 【详解】函数是定义域为的奇函数，则， 若，则， 故答案为：. 20. ______ 【答案】8 【解析】 【分析】由指数、对数的运算公式即可求得. 【详解】由指数、对数的运算性质可得. 故答案为：8 21. 写出一个与向量共线的向量________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据共线向量定理求解即可 【详解】与向量共线的向量为. 取，可得出一个与向量共线的向量为 （答案不唯一，满足即可）. 故答案为：（答案不唯一） 22. 为调查一批种子的发芽率，从中抽取了100粒种子进行试验，发现其中有8粒种子未能发芽．据此估计该批次种子的发芽率为______．（用百分数表示） 【答案】92% 【解析】 【分析】根据题意求出种子发芽的频率，从而可估计该批次种子的发芽率. 【详解】解：从中抽取了100粒种子进行试验，发现其中有8粒种子未能发芽， 则估计该批次种子的发芽率为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，D是母线PA的中点，C在底面圆周上，． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）求DC与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】（1）表面积，体积 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥体积与表面积公式代入计算即可得出结果； （2）利用线面角的定义作出DC与平面ABC所成角的平面角，即可得出结果. 【小问1详解】 圆锥的母线， 则圆锥的表面积， 圆锥的体积 【小问2详解】 取AO的中点E，连接DE，CE， 因为D，E分别是PA，OA的中点，所以，所以平面ABC， 所以CE是DC在平面ABC内的射影，所以是DC与平面ABC所成角， 又，， 所以， 可得， 即DC与平面ABC所成角的正弦值是． 24. 如图，底面是正方形的直棱柱中，，. （1）求直线与平面ABCD所成角的正切值； （2）求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解即可； （2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得. 【小问1详解】 平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. 【小问2详解】 证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 25. 已知函数，且． （1）求的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）定义域为，奇函数 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求解函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）讨论与的大小关系，根据对数函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域. 【小问1详解】 由， 可得，解得：， 所以的定义域为，的定义域关于原点对称， 又， 所以是奇函数， 【小问2详解】 ，即， 当时，，解得：， 当时，，解得：. 综上，当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $