河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下学期04月测试（二）数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦高二数学核心内容，通过乙醇代谢、影院座位设计等现实情境，整合函数、数列、立体几何等模块，构建基础巩固与创新应用的梯度，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数平均变化率、等差数列、导数应用|第3题以乙醇代谢考瞬时变化率，落实数学建模| |多选题|3/18|导数运算、圆的方程|第11题结合圆的性质考查几何直观| |填空题|3/15|等比数列、排列组合、椭圆|第13题合影排列考计数原理，渗透应用意识| |解答题|5/77|二项式定理、三棱台体积、数列求和、函数极值、路径计数|第19题方格道路网路径问题，融合组合数学与逻辑推理，贴近高考命题趋势|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．李师傅饮酒后，其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：h）的函数关系满足，则当时，李师傅血液中的乙醇含量的瞬时变化率的数值为（    ） A． B． C． D． 4．函数的零点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 7．设为正项数列的前项和，已知，对于任意的，都有，若不等式对于任意的恒成立（其中），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中， ，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（   ） A．8 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 10．若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在正项等比数列中，，，则公比________． 13．某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 14．已知椭圆的左､右焦点分别为，是上位于第一象限内的一点，且.过原点作平行于的直线，与和的角平分线分别交于两点，且，则实数的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 16．（15分）如图，在正三棱台中， ，.    (1)求的长度； (2)求三棱台的体积. 17．（15分）已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项． (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，为数列的前项和，证明：． 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的个交汇处，今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径． (1)甲从到达处的走法有多少种； (2)甲从必须经过到达处的走法有多少种； (3)甲、乙以相同的速度同时出发，直到到达处为止．他们在行走途中会相遇，则共有多少种走法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期04月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A C A C D B BC BCD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．7 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据展开式的通项及第6项系数与第4项系数之比是6:1，求出的值，根据即可求得二项式系数和； （2）利用（1）的结论及展开式的通项知，当k为偶数时为有理项，由此可得k的取值集合. （3）利用通项写出各项的系数，列出相应的不等式组，求解可得的值，即可得到展开式中系数绝对值最大的项. 【详解】（1）的展开式的通项为. 因为第6项系数与第4项系数之比是6:1，所以，即， 化简得，即. 因为，所以. 所以的展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）知的展开式的第项为. 若展开式中，第k项为有理项，则是整数，即是奇数，所以为偶数. 所以k的取值集合为. （3）的展开式的通项为，系数为. 令，即， 解得. 因为，所以. 所以展开式中系数绝对值最大的项为. 16．(1) (2) 【分析】（1）过点构造与有关的平行四边形，并计算出边长，由转化后解出长度，再在等腰梯形内作垂线，利用勾股定理解出线段长. （2）过点作面的垂线，并解出垂线段长，利用台体体积公式求得结果. 【详解】（1）延长到点，使，连接，， 由题意知，， 则平行且相等，四边形为平行四边形， 可知平行且相等， 则在中，，，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴， 易得， 则，得. 过点作交于点， 则，，， 故， 故.    （2）作平面交平面于点，连接，， ∵平面，故， 又，，且两直线在平面内， 则平面， 又平面，故， 即， 易得， 故， ∴， 故， 得. 故 17．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用等差中项列式，再依次计算即可. （2）由（1）中信息，利用前项和与第项的关系，借助等差数列定义求解. （3）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）依题意，，即，而， 所以，. （2）由（1）知，，当时，， 则，整理得， 即，又，因此，而， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）得，则， 所以. 18．(1)极小值，无极大值； (2) (3) 【分析】（1）求导，确定单调性即可求解； （2）先求得曲线在点处的切线方程，在通过判别式即可求解； （3）通过和两段，结合参变分离求最值法即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 易知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数有极小值，无极大值； （2），则， 又，所以在点处的切线方程为：， 即， 由，消去得， 由题意，解得， 经验证符合题意， 故，切线方程为：； （3）当时，恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然不等式成立，则， 当时，参变分离可得：恒成立， 设， 则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，则， 综上，实数的取值范围为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）从到的最短路径，需要向右走次，向上走次，总共走步，只需确定这步中哪步是向右（或向上）即可； （2）从到，需要向右走次、向上走次，从到，需要向右走次，向上走次，利用分步乘法计数原理计算； （3）两人速度相同，相遇点必在上，计算即可． 【详解】（1）甲从到的最短路径，需要向右走次，向上走次， 所以甲从到达处有种走法； （2）甲从到的最短路径，需要向右走次，向上走次， 所以甲从到达处有种走法， 从到的最短路径，需要向右走次，向上走次， 所以甲从到达处有种走法， 所以甲从必须经过到达处有种走法； （3）甲，乙两人沿各自的最短路径行走，因两者速度相同，故只可能在处相遇， 甲从处到达有种走法，从处到达有种走法， 所以甲从处经过到达有种走法， 同理乙从处经过到达有种走法， 所以他们在处相遇有种走法， 所以共有种走法． $