精品解析：福建厦门市同安区2025-2026学年第二学期第一阶段综合练习 八年级 数学

2025-2026学年第二学期第一阶段综合练习八年级数学 （满分：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷共三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图．若一个数与的和为0，则这个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：与的和为0的数是的相反数，即为． 2. 要使式子有意义，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是5． 故选：D 3. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称， ∵飞机E的坐标为(40，a)， ∴飞机D的坐标为(-40，a)， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 4. 某商品月份单个的进价和售价如图所示，则售出该商品单个利润最大的是（ ） A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线图，从折线图中获取信息作答即可． 【详解】解：由图可知： 1月利润是； 2月售价，进价是，此时利润大于2； 3月售价小于4，进价是3，此时利润小于1； 4月利润是 综上2月份的利润最大． 故选：B． 5. 已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解决本题的关键．从三角形三边的关系利用勾股定理的逆定理和从角的关系利用三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A．设，由三角形内角和为可知：，解得，故，是直角三角形，不符合题意； B．由三角形内角和定理可知：，即，此时是直角三角形，不符合题意； C．已知条件可变形为，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D．设，此时，无法构成三角形，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，，，以点B为圆心，以为半径画弧交数轴于点D（点D位于点B的右侧），则点D所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图，数轴． 先确定点B的位置，再利用勾股定理求出，根据作图有，问题即可解答． 【详解】解：由图可知，点B表示的数为1． 在中，，，， ； 以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点D，且点D在点B的右侧， ； 点D表示的数为． 7. 如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ） A. 户最长 B. 户最长 C. 户最长 D. 三户一样长 【答案】D 【解析】 【分析】可理解为将最左边一组电线向右、向上平移所得，由平移的性质即可得出结论． 【详解】解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列， ∴将a向右、向上平移即可得到b、c， ∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状， ∴三户一样长． 故选：D． 【点睛】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解答此题的关键． 8. 下列选项中，y是x的函数的是（ ） A. B. 多边形的边数为x，内角和为y，则y与x的关系 C. x 9 4 0 4 9 y 0 2 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，逐一判断即可. 【详解】解：A项，当时，，解得或，对于x的一个值，y有两个值与之对应，故y不是x的函数，此项不符合题意； B项，多边形内角和y与边数x的关系式为，对于每一个确定的x，都有唯一的y与之对应，故y是x的函数，此项符合题意； C项，当时，或，对于x的一个值，y有两个值与之对应，故y不是x的函数，此项不符合题意； D项，观察图象可知，对于x的某些值，作垂直于x轴的直线与图象有多个交点，即y有多个值与之对应，故y不是x的函数，此项不符合题意． 故选：B． 9. 如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而可得，根据现有条件无法得到和的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到和的面积相等， 故选：D． 10. 在边长为的正方形中，点是边上的动点（不与点，重合），连接，点是点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：点到的距离恒为；；；的面积．正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得，从而得到，，进而判断；利用“”证明 ，结合角平分线性质判断；利用三角形面积公式及线段关系判断． 【详解】解：如图，连接， 点是点关于的对称点， ， ，，． 点在的延长线上， ，即 ， 点到的距离为，故正确； 在和 中， ， ， ，． ， ， ，故正确； ， ． 在中，， ，解得， ，故错误； ，且 ， ，故正确． 综上所述，正确的结论是． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，已知直线，相交于点，平分，如果，那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据OE平分∠COB，∠EOB=55°，求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠BOD的度数． 【详解】∵OE平分∠COB， ∴∠BOC=2∠EOB=110°， ∴∠BOD=180°-∠BOC=70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和邻补角的概念，掌握角平分线的定义和邻补角之和为180°是解题的关键． 12. 如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为______km． 【答案】1 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得km． 【详解】解：∵在中，，为的中点， (km) ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 14. 如图，在四边形中，，，，G为线段的中点，连接，E，F分别为的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据线段中点的定义求出的长，在 中利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接，  为线段的中点，，   ，，  在 中，由勾股定理，得 ，分别为，的中点，  为的中位线 ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点、的坐标可得、的长，在中利用勾股定理求出的长，由菱形的性质可得，结合点的坐标及图形中点的位置即可求解． 【详解】解：，，  ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， 边在轴上，且由图可知点在点的上方，  点的纵坐标为， 点的坐标为． 16. 如图，在中，，，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限内．当点在轴的正半轴上运动时，点随之运动．则点到原点的最大距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、，根据三角形三边关系可知当、、三点共线时取得最大值，利用直角三角形斜边上的中线性质求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，  ，  在中，为的中点，  ，  ，  为直角三角形， 为的中点，，  ， 在中，由勾股定理得： ，  在中，，  当、、三点共线时，取得最大值，  的最大值为． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在中，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可证得． 【详解】证明：， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法运算，约分后再通分化简原式，代入已知值计算即可得解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 如图，木工从一个大正方形的木板上裁出两个小正方形和，面积分别为和的木料． （1）求剩余木料（空白部分）的总面积； （2）若木工想利用剩余的两块木料裁出长，宽的矩形木条（沿着平行于木料边的方向裁剪），则剩余的两块木料最多可以裁出几块这样的木条？ 【答案】（1） （2）一共最多可以裁出4块这样的木条 【解析】 【分析】（1）设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y，根据题意，则剩余木料的面积为，据此求解即可． （2）由，故一个长方形木料最多可以裁出2块这样的木条，求解即可． 【小问1详解】 解：设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y， 根据题意，得，， ，，，(负值都已舍去)， ， 故剩余木料的总面积为； 【小问2详解】 解：根据题意，得，， 由， 故一个长方形木料最多可以裁出2块这样的木条， 故一共最多可以裁出4块这样的木条． 21. 在探究“在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系”时，桐桐采用了如图装置进行探究．实验中，她测得的弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量（单位：）的数据如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 弹簧长度 15 17 19 21 23 （1）求弹簧的长度y关于所挂物体质量的函数解析式； （2）当物体所挂质量为时，弹簧的长度是多少？ 【答案】（1） （2）当物体所挂质量为时，弹簧的长度是 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）设与的函数解析式为，将和代入解析式，可得二元一次方程组，解得即可求得一次函数解析式； （2）把代入求得的一次函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，是的一次函数， 设与的函数解析式为， 将和代入解析式，得， 解得， 弹簧的长度y关于所挂物体质量的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当物体所挂质量为时，弹簧的长度是． 22. 如图，四边形是平行四边形． （1）求作菱形，使得点E，F分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点F，连接，则四边形为所求． （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得到，，，，因此，进而根据勾股定理求出，从而，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形为所求． 由作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【小问2详解】 解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 23. 设，，是互不相等的正整数，若，，均为正整数，则称，，为“共生平方数”． 例如：对于，，这三个数，，，，且，，都是正整数，因此，，，这三个数称为“共生平方数”． （1）请你判断，，这三个数是不是“共生平方数”，并证明； （2）已知，，是“共生平方数”． 若，求出的值； 试求出所有满足条件的的式子，并验证． 【答案】（1），，这三个数是“共生平方数”；证明见解析 （2）的值为，，；（为大于的正整数），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“共生平方数”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据，，是互不相等的正整数，结合“共生平方数”的定义以及的取值范围求解即可；根据“共生平方数”的定义表示出的值，再根据“共生平方数”的定义进行验证即可． 【小问1详解】 解：，，这三个数是“共生平方数”； 证明：，，，且，，都是正整数， ，，这三个数是“共生平方数”； 【小问2详解】 解：，，是“共生平方数”，，，， 是正整数，，， ， ，不合题意，舍去； ，不合题意，舍去； ，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； 综上，的值为，，； ，，是“共生平方数”，，，， 是正整数，，， 必为完全平方数， 又因为含有质因数，所以可表示为（为正整数）， 则， ， ，， ，， ，， 即（为大于的正整数）， 证明：当（为大于的正整数）时，， ，，是互不相等的正整数， ，，，且，，都是正整数， ，，（为大于的正整数）这三个数是“共生平方数”． 24. 公元折纸艺术起源于中国，其历史可追溯到583年．折纸艺术不仅具有艺术审美价值，还蕴含数学运算和空间几何原理．它与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小安通过近期的学习发现，与矩形有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个探究活动． 已知矩形纸片长，宽．小安按下面的步骤折纸： 第一步：如图1，沿矩形纸片的对角线，折叠，折痕与交于点O，再展开铺平； 第二步：如图2，点G为线段上一点，且，连接并延长，交于点H．将矩形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处．线段交于点F． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质结合折叠的性质求得，得到，即可证明为等腰三角形； （2）由题意知与重合，设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：由折叠的性质知， ∵，， ∴与重合，如图， 由折叠的性质结合（1）的结论知，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴． 25. 如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． （1）求的度数． （2）若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）的长为定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形得到，再根据角平分线的定义求解即可； （2）在的延长线上取点H，使得，则，得到，证明，得到，从而，再证明，即可得出，因此的长等于正方形的边长，为定值． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【小问2详解】 解：的长为定值，理由如下： 在的延长线上取点H，使得， ∵在正方形中，，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）有， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长等于正方形的边长，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第一阶段综合练习八年级数学 （满分：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷共三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图．若一个数与的和为0，则这个数是（ ） A. B. C. D. 2. 要使式子有意义，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某商品月份单个的进价和售价如图所示，则售出该商品单个利润最大的是（ ） A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月 5. 已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，以点B为圆心，以为半径画弧交数轴于点D（点D位于点B的右侧），则点D所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ） A. 户最长 B. 户最长 C. 户最长 D. 三户一样长 8. 下列选项中，y是x的函数的是（ ） A. B. 多边形的边数为x，内角和为y，则y与x的关系 C. x 9 4 0 4 9 y 0 2 3 D. 9. 如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 在边长为的正方形中，点是边上的动点（不与点，重合），连接，点是点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：点到的距离恒为；；；的面积．正确的结论有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，已知直线，相交于点，平分，如果，那么的度数是______． 12. 如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为______km． 13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 14. 如图，在四边形中，，，，G为线段的中点，连接，E，F分别为的中点，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 16. 如图，在中，，，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限内．当点在轴的正半轴上运动时，点随之运动．则点到原点的最大距离为_____． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，木工从一个大正方形的木板上裁出两个小正方形和，面积分别为和的木料． （1）求剩余木料（空白部分）的总面积； （2）若木工想利用剩余的两块木料裁出长，宽的矩形木条（沿着平行于木料边的方向裁剪），则剩余的两块木料最多可以裁出几块这样的木条？ 21. 在探究“在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系”时，桐桐采用了如图装置进行探究．实验中，她测得的弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量（单位：）的数据如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 弹簧长度 15 17 19 21 23 （1）求弹簧的长度y关于所挂物体质量的函数解析式； （2）当物体所挂质量为时，弹簧的长度是多少？ 22. 如图，四边形是平行四边形． （1）求作菱形，使得点E，F分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形的面积． 23. 设，，是互不相等的正整数，若，，均为正整数，则称，，为“共生平方数”． 例如：对于，，这三个数，，，，且，，都是正整数，因此，，，这三个数称为“共生平方数”． （1）请你判断，，这三个数是不是“共生平方数”，并证明； （2）已知，，是“共生平方数”． 若，求出的值； 试求出所有满足条件的的式子，并验证． 24. 公元折纸艺术起源于中国，其历史可追溯到583年．折纸艺术不仅具有艺术审美价值，还蕴含数学运算和空间几何原理．它与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小安通过近期的学习发现，与矩形有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个探究活动． 已知矩形纸片长，宽．小安按下面的步骤折纸： 第一步：如图1，沿矩形纸片的对角线，折叠，折痕与交于点O，再展开铺平； 第二步：如图2，点G为线段上一点，且，连接并延长，交于点H．将矩形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处．线段交于点F． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，，若，求的长． 25. 如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． （1）求的度数． （2）若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $