精品解析：甘肃兰州市第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试题

2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数满足，其中是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数模的性质及共轭复数的性质可得. 【详解】根据复数模的性质， 所以，即，, 所以，又由共轭复数的性质得. ​ 2. 样本数据的第75百分位数为（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用总体百分位数的估计求解即可. 【详解】由题意得数据共8个，则， 因此第75百分位数为，故C正确. 故选：C． 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 则 5. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以， 所以. 故选：B. 6. 若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式变形后得到，再由奇函数的性质结合正弦函数的诱导公式求出即可. 【详解】因为， 则， 因为为奇函数，所以， 所以， 即， 所以，， 所以， 所以最小值为， 故选：D 7. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解. 【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A． 8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 二､多选题（本大题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得3分.有错误选项得0分.） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若为复数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于B：根据复数的运算可得，进而可得虚部；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算结合模长根式运算求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：复数的虚部为，故B错误； 对于选项C：例如是纯虚数，则，，即，故C错误； 对于选项D：设， 则，，， 可得， 所以，故D正确. 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由两边平方即可判断A项；利用A项结论可求出，再缩小角范围即得B项；将与的值联立求出，再运用倍角公式和商数关系即得C，D项. 【详解】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确； 对于选项B，由，可得：，故， 由可得：，故B项错误； 对于选项C，，故C项错误； 对于选项D，由，可解得：， 故得：.故D项正确. 故选：AD. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由正弦定理，得，。 由可得，故A正确； 对于B， 在锐角三角形中，由，可得，即， 由于正弦函数在上单调递增，故，故B正确； 对于C， 过作边射线的垂线，垂足为，如图， 若，且有两解，则，即，故C正确； 对于D，将不等式变形为，则 化简得，由正弦定理，可得， 再由余弦定理，，可知角为锐角， 但仅此不等式不能保证该三角形为锐角三角形，例如，取，， 由，，可知不等式成立，但三角形为钝角三角形，故D错误. 三､填空题 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值. 【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得， 化简得：， 所以，解得， 因此. 13. 设的内角的对边分别为，若，点在边上，为的角平分线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出边，再根据结合三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，由余弦定理知， 即，解得或（舍去）， 因为为的角平分线， 所以， 即，解得. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 四､解答题 15. 已知向量，，. （1）若，求在上的投影数量； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由“垂直”可转化为数量积为，先求出，再利用投影数量公式求投影数量. （2）直接利用向量夹角公式建立方程求解. 【小问1详解】 因为所以 又所以 即化简得所以 从而于是 且 故在上的投影数量为 【小问2详解】 由题意， 又因为与的夹角为，所以 计算得 因此两边平方，得 展开整理：即 解得所以或，检验符合. 16. 2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； （3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于求出； （2）用各组的组中值分别乘对应频率，再求和估计样本平均数； （3）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的组距都是 各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 【小问2详解】 由第（1）问可得 因此各组的频率分别为 对应这名学生的人数分别为 各组的组中值分别为 所以这 名学生竞赛成绩的平均数估计为 计算得 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 【小问3详解】 由第（2）问可知，成绩在内的人数为 成绩在内的人数为 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为 17. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 【答案】（1），， （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质求解即得； （2）结合条件求出角，再由余弦定理即可求得. 【小问1详解】 由 ， 故该函数的最小正周期为， 对称轴方程满足，解得，． 故函数的最小正周期为；对称轴方程为，． 【小问2详解】 由得，即， ，则，故，解得， 由余弦定理得，代入得， 化简得，解得或，经检验均符合题意． 故或. 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 19. 对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若向量，，求的值； （2）若向量，满足，且，求的取值范围； （3）若，，且，，求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合数量积的坐标运算公式和模的坐标表示求，，再结合向量夹角范围和夹角公式求向量夹角，利用新定义求结论； （2）由条件结合定义可得，，由此可得结论； （3）由条件结合定义可得，由此可得，再证明，结合条件求结论. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， 则， 又，所以，，所以. 【小问2详解】 由题意， 又因为，解得， 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以，， 所以， 由题意知，存在，使得，即，所以， 所以，即， 又，所以，即，所以， 所以， 又存在，使得，即，所以， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数满足，其中是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的第75百分位数为（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得3分.有错误选项得0分.） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若为复数，则 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 三､填空题 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 13. 设的内角的对边分别为，若，点在边上，为的角平分线，则______. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四､解答题 15. 已知向量，，. （1）若，求在上的投影数量； （2）若与的夹角为，求的值. 16. 2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； （3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 17. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 19. 对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若向量，，求的值； （2）若向量，满足，且，求的取值范围； （3）若，，且，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $