2026年江苏省徐州市中考数学一轮复习专项练习：反比例函数的图像与性质

**基本信息** 聚焦反比例函数图像与性质，通过基础巩固、综合应用到规律探究的层级设计，系统覆盖概念理解、几何结合及中考热点，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|5题|函数值比较、k值计算、实际应用|从定义到图像性质，构建"概念-性质-简单应用"逻辑链| |能力提升|8题|几何图形综合、跨函数结合（如与正比例函数）|性质应用延伸至几何推理，强化运算能力与空间观念| |创新拓展|1题|面积规律探究|从特殊到一般，培养模型意识与创新思维|

　反比例函数的图像与性质 基础过关 1.(2025·天津中考)若点A(-3,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=-的图像上,则y1、y2、y3的大小关系是(　　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 答案:D 解析:∵y=-,∴此反比例函数的图像分布在第二、四象限,在每一个象限内y随x的增大而增大. ∵点A(-3,y1)在第二象限,点B(1,y2)、C(3,y3)在第四象限,∴y1>0,y2<0,y3<0. 又1<3, ∴y2<y3<0, ∴y2<y3<y1. 故选D. 2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCO的顶点O是坐标原点,顶点A在反比例函数y=(k≠0,x<0)的图像上,对角线OB在x轴上.若菱形ABCO的面积为8,则k的值为(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 答案:B 解析:如图,连接AC交OB于点D, ∵四边形ABCO是菱形,OB在x轴上,S菱形ABCO=8, ∴OB⊥AC,S△AOD=S菱形ABCO=2|k|. ∵k<0,∴k=-4. 故选B. 3.在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为________.  答案:180 解析:当l=0.9,f=200时,200=, ∴k=180. 4.如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k为大于0的常数,x>0)图像上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),满足x2=2x1,△ABC的边AC∥x轴,边BC∥y轴,若△OAB的面积为6,则△ABC的面积为________.  答案:2 解析:如图,延长CA交y轴于点E,延长CB交x轴于点F, ∴CE⊥y轴,CF⊥x轴, ∴四边形OECF为矩形. ∵x2=2x1, ∴A为CE的中点. 由几何意义得,S△OAE=S△OBF, ∴B为CF的中点, ∴S△OAB=S矩形OECF=6, ∴S矩形OECF=16, ∴S△ABC=×16=2. 5.已知点(1,3)在反比例函数y=的图像上. (1)求反比例函数的表达式; (2)点(-3,a)、(1,b)、(3,c)都在反比例函数的图像上,比较a、b、c的大小. 解:(1)将点(1,3)代入y=, 得k=3,∴y=. (2)分别将点(-3,a)、(1,b)、(3,c)代入y=,得a=-1,b=3,c=1, ∴b>c>a. 能力提升 6.已知正比例函数y1=ax的图像经过点(1,-1),反比例函数y2=的图像位于第一、三象限,则一次函数y=ax+b的图像一定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C 解析:∵正比例函数y1=ax的图像经过点(1,-1),点(1,-1)位于第四象限, ∴正比例函数y1=ax的图像经过第二、四象限,∴a<0. ∵反比例函数y2=的图像位于第一、三象限, ∴b>0, ∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 故选C. 7.(2024·江苏苏州中考)如图,A为反比例函数y=-(x<0)图像上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图像交于点B,则的值为(　　) A. B. C. D. 答案:A 解析:如图,过点A作AG⊥x轴,垂足为G,过点B作BH⊥x轴,垂足为H. ∵点A在反比例函数y=-(x<0)图像上,点B在反比例函数y=(x>0)图像上, ∴S△AGO=,S△BOH=2. ∵∠AOB=90°, ∴∠AOG=∠HBO,∠AGO=∠OHB, ∴△AGO∽△OHB, ∴=()2=,∴. 故选A. 8.(2025·江苏无锡中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OBA的直角边OB在x轴上,AO、AB分别与反比例函数y=(k>0,x>0)的图像相交于点C、D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连接DE.若△BDE的面积为,则k的值为(　　) A. B. C.5 D.10 答案:C 解析:由题意,设点C的坐标为(a,)(a>0), ∵C是AO的中点,且CE⊥x轴,AB⊥x轴, ∴CE是△AOB的中位线, ∴OE=EB=a, ∴OB=OE+EB=2a, CE=AB,又CE=, ∴AB=,∴点A的坐标为(2a,). ∵点D在AB上,且在反比例函数y=的图像上,∴点D的横坐标为2a. 将x=2a代入y=,得y=, ∴点D的坐标为(2a,). ∵AB⊥x轴,∴S△BDE=·EB·BD, 即·a·, 解得k=5.故选C. 9.如图,O是坐标原点,Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,AB=2,∠AOB=30°,反比例函数y=(k>0)的图象经过△OAB的斜边OB的中点C. (1)k=　　　　　;  (2)D为该反比例函数图象上一点,若DB∥AC,则OB2-BD2的值为　　　　　.  答案: (1)　(2)4 解析: (1)在Rt△OAB中,AB=2,∠AOB=30°, ∴OB=4,OA=2, ∴A(2,0),B(2,2). ∵C是OB的中点, ∴OC=BC=2,AC=OC. 如图,过点C作CP⊥OA于点P, ∴△OPC≌△APC, ∴OP=AP=OA=. 在Rt△OPC中,PC==1,∴C(,1). ∵反比例函数y=(k>0)的图象经过△OAB的斜边OB的中点C, ∴1=,解得k=. (2)设直线AC对应的解析式为y=kx+b(k≠0), 则 解得 ∴直线AC对应的解析式为y=-x+2. ∵AC∥BD,∴直线BD对应的解析式为y=-x+4, ∵点D既在反比例函数图象上,又在直线BD上,∴联立 解得 当点D的坐标为(2+3,2-)时,BD2=(2+3-2)2+(2--2)2=9+3=12, ∴OB2-BD2=16-12=4; 当点D的坐标为(2-3,2+)时,BD2=(2-3-2)2+(2+-2)2=9+3=12, ∴OB2-BD2=16-12=4. 综上,OB2-BD2=4. 10.(2025·四川成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0). 备用图 (1)求k的值; (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上,若∠ACD=90°,求直线AD对应的函数解析式; (3)P为x轴上一点,直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A),连接BE,若△BEP的面积为2,求点E的坐标. 答案: (1)∵直线y=-x+b与x轴的交点为B(3,0),∴0=-3+b,解得b=3,∴一次函数的解析式为y=-x+3.把A(a,2)代入y=-x+3,得2=-a+3,解得a=1,∴点A的坐标为(1,2).把点A(1,2)代入y=,得k=1×2=2. (2)如图,连接AD,由(1)得反比例函数的解析式为y=. ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点A(1,2),∴点C的坐标为(-1,-2),∴AC2=(1+1)2+(2+2)2=20.设点D的坐标为(m,),∴AD2=(1-m)2+(2-)2,CD2=(-1-m)2+(-2-)2.∵∠ACD=90°,∴AD2=CD2+AC2,∴(1-m)2+(2-)2=(-1-m)2+(-2-)2+20,解得m=-4或-1(舍去), ∴点D的坐标为(-4,-).设直线AD对应的函数解析式为y=k1x+b1(k1≠0),把点(-4,-),(1,2)代入,得解得 ∴直线AD对应的函数解析式为y=x+. (3)设点E的坐标为(t,),直线AE对应的函数解析式为y=k2x+b2.把点(t,),(1,2)代入,得 解得 ∴直线AE对应的函数解析式为y=-x+. 当y=0时,0=-x+,解得x=t+1,∴点P的坐标为(t+1,0),∴BP=|t+1-3|=|t-2|,∴S△BEP=×|yE|×BP=×||×|t-2|. ∵△BEP的面积为2,∴×||×|t-2|=2,解得t=或t=-2, ∴点E的坐标为(-2,-1)或(,3). 11.若反比例函数y1=,y2=-,当1≤x≤3时,y1的最大值是a,y2的最大值是b,则ab=________.  答案: 解析:∵y1=,∴当1≤x≤3时,y1随x的增大而减小,则当x=1时,y1取最大值,最大值a=2. ∵y2=-,∴当1≤x≤3时,y2随x的增大而增大,则当x=3时,y2取最大值,最大值b=-1, ∴ab=2-1=. 12.(2025·山东青岛中考)如图,正八边形ABCDEFGH的顶点A、B、G、H在坐标轴上,顶点C、D、E、F在第一象限,点F在反比例函数y=(x>0)的图像上.若AB=,则k的值为________.  答案:2+ 解析:过点F作FK⊥y轴,垂足为K, 在正八边形ABCDEFGH中,内角的度数为=135°, ∴∠BAH=135°, ∴∠OAH=45°, ∴△OAH是等腰直角三角形, 同理,△FKG是等腰直角三角形. ∵AH=AB=FG=, ∴OA=OH=KG=KF=1, ∴F(1,2+). ∵点F在反比例函数y=(x>0)的图像上,∴k=1×(2+)=2+. 13.如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在反比例函数y=-和y=(k>0)的图像上,点A的横坐标为-1,点B的横坐标为n(n>3),点C的坐标为(3,0),AC⊥BC,AC=2BC.求点A、B的坐标及反比例函数y=(k>0)的表达式. 解:由题意,得y==2, ∴A(-1,2). 如图,作AF⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为F、N,∴∠AFC=∠BNC=90°. ∵AC⊥BC, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACF+∠BCN=90°. ∵∠CBN+∠BCN=90°, ∴∠ACF=∠CBN. ∴△AFC∽△CNB. ∵AC=2BC, ∴. ∵A(-1,2),C(3,0),∴CF=4,AF=2, ∴, ∴BN=2,CN=1, ∴ON=OC+CN=4, ∴B(4,2). 将B(4,2)代入y=(k>0)得,k=2×4=8,∴反比例函数的表达式为y=. 创新拓展 14.如图,点A1,A2,A3,…,An,An+1为反比例函数y=(k>0)图像上的点,其横坐标依次为1,2,3,…,n,n+1.过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线,垂足分别为点H1,H2,H3,…,Hn;过点A2作A2B1⊥A1H1于B1,过点A3作A3B2⊥A2H2于B2,…,过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于Bn. 记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,…,△AnBnAn+1的面积为Sn. (1)当k=2时,点B1的坐标为________,  S1+S2=________,  S1+S2+S3=________,  S1+S2+S3+…+Sn=________(用含n的代数式表示);  (2)当k=3时,S1+S2+S3+…+Sn=________________(用含n的代数式表示).  答案:(1)(1,1)　　(2) 解析:(1)当k=2时,y=. 当x=1时,y=2;当x=2时,y=1, ∴A1(1,2),A2(2,1), ∴B1H1=1, ∴B1(1,1). ∵A1(1,),A2(2,),A3(3,),A4(4,),…,An(n,),An+1(n+1,), ∴S1=×1×(), S2=×1×(), S3=×1×(), …… Sn=×1×(), ∴S1+S2=×1×()=×1×()=, S1+S2+S3=×1×()=, …… S1+S2+S3+…+Sn=×1×()=. (2)当k=3时,y=, ∴A1(1,),A2(2,),A3(3,),…,An(n,),An+1(n+1,), ∴S1+S2+S3+…+Sn=×1×()=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　反比例函数的图像与性质 基础过关 1.(2025·天津中考)若点A(-3,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=-的图像上,则y1、y2、y3的大小关系是(　　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCO的顶点O是坐标原点,顶点A在反比例函数y=(k≠0,x<0)的图像上,对角线OB在x轴上.若菱形ABCO的面积为8,则k的值为(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为________.  4.如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k为大于0的常数,x>0)图像上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),满足x2=2x1,△ABC的边AC∥x轴,边BC∥y轴,若△OAB的面积为6,则△ABC的面积为________.  5.已知点(1,3)在反比例函数y=的图像上. (1)求反比例函数的表达式; (2)点(-3,a)、(1,b)、(3,c)都在反比例函数的图像上,比较a、b、c的大小. 能力提升 6.已知正比例函数y1=ax的图像经过点(1,-1),反比例函数y2=的图像位于第一、三象限,则一次函数y=ax+b的图像一定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(2024·江苏苏州中考)如图,A为反比例函数y=-(x<0)图像上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图像交于点B,则的值为(　　) A. B. C. D. 8.(2025·江苏无锡中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OBA的直角边OB在x轴上,AO、AB分别与反比例函数y=(k>0,x>0)的图像相交于点C、D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连接DE.若△BDE的面积为,则k的值为(　　) A. B. C.5 D.10 9.如图,O是坐标原点,Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,AB=2,∠AOB=30°,反比例函数y=(k>0)的图象经过△OAB的斜边OB的中点C. (1)k=　　　　　;  (2)D为该反比例函数图象上一点,若DB∥AC,则OB2-BD2的值为　　　　　.  10.(2025·四川成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0). 备用图 (1)求k的值; (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上,若∠ACD=90°,求直线AD对应的函数解析式; (3)P为x轴上一点,直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A),连接BE,若△BEP的面积为2,求点E的坐标. 11.若反比例函数y1=,y2=-,当1≤x≤3时,y1的最大值是a,y2的最大值是b,则ab=________.  12.(2025·山东青岛中考)如图,正八边形ABCDEFGH的顶点A、B、G、H在坐标轴上,顶点C、D、E、F在第一象限,点F在反比例函数y=(x>0)的图像上.若AB=,则k的值为________.  13.如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在反比例函数y=-和y=(k>0)的图像上,点A的横坐标为-1,点B的横坐标为n(n>3),点C的坐标为(3,0),AC⊥BC,AC=2BC.求点A、B的坐标及反比例函数y=(k>0)的表达式. 创新拓展 14.如图,点A1,A2,A3,…,An,An+1为反比例函数y=(k>0)图像上的点,其横坐标依次为1,2,3,…,n,n+1.过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线,垂足分别为点H1,H2,H3,…,Hn;过点A2作A2B1⊥A1H1于B1,过点A3作A3B2⊥A2H2于B2,…,过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于Bn. 记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,…,△AnBnAn+1的面积为Sn. (1)当k=2时,点B1的坐标为________,  S1+S2=________,  S1+S2+S3=________,  S1+S2+S3+…+Sn=________(用含n的代数式表示);  (2)当k=3时,S1+S2+S3+…+Sn=________________(用含n的代数式表示).  学科网（北京）股份有限公司 $