6.2.4 第2课时 组合中的综合问题 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 解析：选B．从8人中任选4人放在前排的方法有C＝70(种)，且仅有一种排法，其余4人放在后排只有一种排法，所以不同排法的种数为70. 2．在创建全国文明城市的活动中，某校从4名男教师和5名女教师中选取3人组成创文明志愿者小组，若男、女教师至少各有一人，则不同的选法共有(　　) A．140种 B．84种 C．70种 D．35种 解析：选C．方法一(直接法)：按选取男教师的人数分两类，第一类，从9名教师中选1名男教师、2名女教师，共有CC种选法；第二类，从9名教师中选2名男教师、1名女教师，共有CC种选法．根据分类加法计数原理，不同选法种数为CC＋CC＝70. 方法二(间接法)：从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有C种情况． 若全为男教师，有C种情况； 若全为女教师，有C种情况． 所以男、女教师至少各有一人的不同的选法种数为C－C－C＝70. 3．甲、乙两人计划分别从围棋、篮球、书法三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲、乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名方式有(　　) A．3种 B．6种 C．9种 D．12种 解析：选C．甲先选，乙再选．甲只选一门，有C种选法，乙可以选一门或者选两门，有(C＋C)种选法， 故不同的报名方式有C×(C＋C)＝3×3＝9(种). 4．假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　) A．10 B．12 C．14 D．15 解析：选D．用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15种分配方法． 5．(多选)现有3名男生4名女生，若从中选取3名学生，则下列说法正确的是(　　) A．选取的3名学生都是女生的不同选法共有4种 B．选取的3名学生恰有1名女生的不同选法共有24种 C．选取的3名学生至少有1名女生的不同选法共有34种 D．选取的3名学生至多有1名男生的不同选法共有18种 解析：选AC．选取的3名学生都是女生的不同选法共有C＝4(种)，故A正确； 恰有1名女生的不同选法共有CC＝12(种)，故B错误； 至少有1名女生的不同选法共有C－C＝34(种)，故C正确； 至多有1名男生的不同选法共有CC＋C＝22(种)，故D错误． 6．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有________条． 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地的路线为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 答案：126 7．已知有4名优秀学生全部被保送到3所学校，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种． 解析：把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36种保送方案． 答案：36 8．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答) 解析：由题意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(种). 答案：36 9．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种．(用数字作答) 解析：由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成： 第一类，甲去乙不去，有C种选派方案； 第二类，乙去甲不去，有C种选派方案； 第三类，甲、乙都不去，有C种选派方案． 故共有C＋C＋C＝55种不同的选派方案． 答案：55 10．(13分)现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中抽取出3件： (1)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？(6分) (2)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？(7分) 解：(1)抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中取出1件，有C种方法； 第二步，在28件合格品中取出2件，有C种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的取法有CC＝2×＝756(种). (2)满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有CC种， 第二类，恰有2件次品的取法有CC种． 由分类加法计数原理知，不同的取法有CC＋CC＝2×＋1×28＝784(种). 11．如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的个数为(　　) A．220 B．200 C．190 D．170 解析：选C．任取三个点有C种，其中三点共线的有3C种，故能构成三角形的个数为C－3C＝190. 12．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5 888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为(　　) A．480 B．270 C．240 D．60 解析：选C．先在12人中挑选同姓的2人，方法有C＝6(种)，然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有C－C＝40(种)，所以不同的挑选方法的种数是6×40＝240. 13．某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将5个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为________． 解析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1，1，3和1，2，2两类， 第一类，分组为1，1，3，共有＝10种不同的分组方法； 第二类，分组为1，2，2，共有＝15种不同的分组方法． 所以分配到3个演习点，共有(10＋15)×A＝150种不同的分配方案． 答案：150 14．(13分)现有12个人． (1)把这12个人分成3个小组，各组人数分别为2，4，6，有多少种不同的分法？(4分) (2)把这12个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法？(4分) (3)把这12个人平均分成3个小组，对应3个不同的车间，有多少种不同的分法？(5分) 解：(1)有CCC＝13 860种不同的分法． (2)有＝5 775种不同的分法． (3)分两步：第一步，平均分成3个小组；第二步，让3个小组对应3个不同的车间，故有·A＝CCC＝34 650种不同的分法． 15．(15分)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(7分) (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？(8分) 解：(1)方法一：可作出三角形C＋CC＋CC＝116(个). 方法二：可作三角形C－C＝116(个). 其中以C1为顶点的三角形有C＋CC＋C＝36(个). (2)可作出四边形C＋CC＋CC＝360(个). 学科网（北京）股份有限公司 $