精品解析：江苏省清江中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试卷

江苏省清江中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：何军 审校人：薛文敏 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 2. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 3. 6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（ ）种 A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 540种 4. 展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 6. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（    ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个．记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 11. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ） A. 三个向量，，不可以构成空间的一组基底 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，，则______. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 14. 在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，二项式系数和为64，完成下列问题： （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 16. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 17. 一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球. （1）若每次抽出的球放回，求恰有次抽取到黑球的概率； （2）若每次抽出的球不放回. ①记抽取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和数学期望； ②在抽取到个黑球与个白球的前提下，求第次抽到黑球的概率. 18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若有三个零点，其中. (i)求实数的取值范围； (ii)求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省清江中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：何军 审校人：薛文敏 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解. 【详解】因为，则或， 解得或，检验可知均符合题意. 故选：D. 2. 已知，，若，则x的值为（ ） A. 7 B. -8 C. 6 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求参. 【详解】已知，， 因为， 则，. 故选：A. 3. 6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（ ）种 A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 540种 【答案】A 【解析】 【分析】按照相邻问题，采用捆绑法，即可求解. 【详解】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 4. 展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式的展开式，可得结论. 【详解】的展开式为， 当时，二项式展开式的各项的系数分别为1，30，60，8均为有理数， 故系数为有理数的项共有共有4项. 故选：D. 5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 6. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 7. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 8. 已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对函数求导，满足，然后分类讨论利用导数法研究的符号，根据极小值点的概念判断即可. 【详解】对函数求导得：， 又由是函数的极小值点，所以， 还需分析在附近的符号变化，令， 则，， 当时，，即在附近单调递增，又， 所以当时，，当时，，满足0是的极小值点； 当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减， 又，所以当时，，当时，， 此时0是的极大值点，不符合题意； 综上所述：a的取值范围为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：借助赋值法分别令、计算即可得；对C：结合B中所得，再令计算即可得；对D：借助导数结合赋值法计算即可得. 【详解】对A：对有， 则，故A正确； 对B：令，有，令，则有， 故，故B错误； 对C：令，则有， 故， 故C错误； 对D：令， 则， 则，故D正确. 故选：AD. 10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个．记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：可以同时发生，不互斥，故A错误； 选项B：第二次取到红球的概率，故B正确； 选项C：4个球，不放回依次取2个，总次数为：种， 两次颜色不同，分两种互斥情况： 第一次红、第二次白：种；第一次白、第二次红：种； 故事件的总次数为：种， ； 表示第一次红、第二次白，共种； ； ，故C错误； 选项D：， 事件为“两次取到的球颜色相同”，分两种情况： 两次都是红球：种；两次都是白球：种； 故事件的总次数为：种， ， 事件表示第一次红球、第二次红球，共2种，则； ，满足独立事件定义， 与相互独立，故D正确． 11. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ） A. 三个向量，，不可以构成空间的一组基底 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建系，由共面向量的坐标表示可判断A，确定球心位置，由距离公式求得球心坐标即可判断B，由点到面的向量距离公式即可判断C，由线面夹角的向量公式即可判断D. 【详解】 对于A：如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则， 故， 若向量，，共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得：， 所以向量，，共面， 所以三个向量，，不可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对于B：由，可知其中点坐标为， 因为三角形为直角三角形，所以其外接圆圆心坐标为， 由球的性质可知，球心一定在过且与坐标面垂直的直线上， 所以可设球心坐标为， 则由可得： ， 解得：， 所以球的半径为：， 所以四面体的外接球的表面积为正确； 对于C，设正方体内切球的球心为，则，， 则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以点到平面的距离， 又正方体内切球得半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故C正确. 对于D，直线与平面所成角的余弦值为， ，设平面的法向量为， 则，即， 令，可得：， 即，又， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以.故D错； 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】因为随机变量， 所以，， 联立解得 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】据题意可知将问题转化为在上恒成立，利用导函数求出函数的最小值即可得实数a的取值范围. 【详解】由可得， 因为函数在区间上单调递增 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以 令，则， 显然当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 所以在时取得最小值，即； 所以，即实数a的取值范围是. 14. 在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为. 【详解】 如图，连接，取中点，中点，中点， 因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上. 可求得，所以，所以. 又知，所以. 又，直线和直线都在平面内， 所以平面，从而点在线段上. 易得，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设为，则. 设的最小值为点到的距离为，取得最小时， 易得与相似，可知，所以，又， 所以的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，二项式系数和为64，完成下列问题： （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出，进而得出通项公式，令，求出，进而求出常数项； （2）由（1）知，问题转化为求中的系数，结合通项公式分别求出和的项，进而求解． 【小问1详解】 已知二项式系数和为64，则，解得， 此时的通项为， 令，解得， 常数项为． 【小问2详解】 由（1）知，， 展开式得的通项公式为， ，即，则展开式中含的项为： ， ，即，则展开式中含的项为， 展开式中含的项为，故其系数为． 16. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】（1）81； （2）36； （3） 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可解； （2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可； （3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解． 【小问1详解】 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法； 【小问2详解】 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信， 则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法； 【小问3详解】 将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中， 先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况． 17. 一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球. （1）若每次抽出的球放回，求恰有次抽取到黑球的概率； （2）若每次抽出的球不放回. ①记抽取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和数学期望； ②在抽取到个黑球与个白球的前提下，求第次抽到黑球的概率. 【答案】（1） （2）①的分布列为： 数学期望； ② 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验概率问题的求解方法可求得结果； （2）①首先确定所有可能的取值，根据概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； ②根据概率乘法公式可求得所需概率，由条件概率公式可求得结果. 【小问1详解】 若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为， 则随机抽取次，恰有次抽取到黑球的概率. 【小问2详解】 ①由题意知：所有可能的取值为， ； ； ； 的分布列为： 数学期望. ②记事件为“抽取到个黑球与个白球”，事件为“第次抽到黑球”， 则事件为“第次和第次抽到白球，第次抽到黑球”； ，，， 即在抽取到个黑球与个白球的前提下，第次抽到黑球的概率为. 18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若有三个零点，其中. (i)求实数的取值范围； (ii)求证：. 【答案】（1）极大值为,极小值为. （2）(i) ； (ii)因为， 所以若，则，所以，， 又，所以， ，当且仅当时不等式取等号. 所以. 【解析】 【分析】(1)先求的导数，再由导数讨论函数的单调性，从而得到函数的极值. (2) (i)先把 化为，则除1外还有两个零点，通过求导讨论的单调性，当时， 在单调递减，不满足，舍去. 当时，除1外还有两个零点，则不单调，可求出实数满足的不等式，再由韦达定理求出除1外的两个零点零点的范围，从而说明所求的不等式为符合题意的实数的取值范围；(ii) 由题意得，结合(i)可知，再用基本不等式证明结论. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，得或； 令，得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 因此，当时，有极大值，并且极大值为, 当时，有极小值，并且极小值为, 【小问2详解】 (i)， ，，则除1外还有两个零点， ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去. 当时，除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为， 则，，所以， 当或时，，，函数单调递增； 当时，，，函数单调递减； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点, 综上，实数a的取值范围为. (ii)略 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $