江苏省镇江第一中学2025-2026学年高二第二学期5月联考数学试题（A卷）

高二数学（A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．空间直角坐标系中，已知线段，其中，则点的坐标可以是 A． B． C． D． 2．的个位数为 A．2 B．4 C．6 D．8 3．某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为 A．21 B．22 C．22.5 D．23 4．对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同．则仅需两种颜色即可满足要求的是 A．正方体 B．正八面体 C．正三棱台 D．正四面体 5．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则 A．0 B． C． D． 6．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是 A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 7．已知随机变量．设随机变量，则 A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．正方体的棱长为1．则 A． B．正四面体的体积为 C．直线与所成角为 D．直线与的距离为 10．如图，在一个的正方形网格中，某人初始位置为网格中心点．每次投掷一枚质地均匀的正四面体，其四个面分别标有“前、后、左、右”字样． 根据朝下一面的标注，沿网格线移动1格，且各次投掷相互独立． A．经过连续2次移动，有可能回到初始位置 B．经过连续3次移动，有可能回到初始位置 C．经过连续移动4次，最终位置落在网格边界上的概率为 D．经过连续移动4次，恰好回到初始位置的概率为 11．在四边形中，为以点为直角顶点的等腰直角三角形，为以点为直角顶点的直角三角形，其中，．当沿着翻折的过程中 A．直线与所成角的最大值为 B．当时，二面角的大小为 C．四面体总存在外接球 D．若四面体存在外接球，则外接球半径的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． ▲ ．（结果用组合数表示） 13．从正方体的八个顶点中任意取四个点A，B，C，D，则值的不同种数为 ▲ ． 14．“飞行棋”是一种家喻户晓的竞技游戏；玩家通过投掷一枚质地均匀的正六面体骰子来决定棋子前进步数；若掷出的点数等于剩余步数，则棋子恰好到达终点；若掷出的点数超出剩余步数，则棋子从终点再往回走超出的步数；若掷出的点数不足剩余步数，则正常前进．假设在某次游戏中，棋子恰好位于距离终点6步的位置，设随机变量“棋子到达终点所需的投掷次数”，则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 袋中有5个形状、质地完全相同的小球，其中3个红球，2个白球．从中一次性随机抽取2个小球． （1）求抽取的2个小球中至少含有1个红球的概率； （2）现进行3次独立的上述抽取试验，记“3次试验中抽到至少含1个红球的次数”，求的分布列与数学期望． 16．（15分） 已知，其中满足．对于的展开式，求： （1）值； （2）含项的系数； （3）系数最大的项． 17．（15分） 如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． （1）证明：平面； （2）若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 某网络购物平台专营店统计了2026年5月19日至23日这5天在该店购物的人数的数据如下表： 日期 5月19日 5月20日 5月21日 5月22日 5月23日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 （1）根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年5月25日在该店购物的人数； （2）该店统计发现，购物人数越多，顾客平均消费意愿越高；当单日购物人数不超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.5；当单日购物人数超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.7． （ⅰ）从这5天中随机选择一天，然后从当天的购物顾客中随机抽取一人，求该顾客消费超过30元的概率； （ⅱ）若从某天购物顾客中随机抽取一人，其消费超过30元，求该天购物人数超过90人的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19．（17分） 空间直角坐标系中，点，，，，对任意，记，，分别为点A，B，C．过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点． （1）判断并证明三棱锥的四个面中直角三角形的个数； （2）记点到平面的距离为． （ⅰ）求，； （ⅱ）对于正整数，从0，1，2，…，中任取3个不同的整数，从小到大依次记为x，y，z，设，，成等比数列的概率为．证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级5月质量调研测试 数学（A卷）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A B D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC ACD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 题号 12 13 14 答案 5 6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 解： （1）一次试验中基本事件总数为， 2分 设事件为2个小球中至少含有1个红球， 3分 则事件，即抽取的2个小球中没有红球所含有的基本事件数为． 所以， 5分 故至少含有一个红球的概率为． 6分 （2）由于进行3次独立的上述抽取试验， 则随机变量． 8分 则，，1，2，3． 即， ， ， 11分 所以数学期望． 13分 16．（本小题15分） 解：（1）根据，知， 整理得， 2分 即， 3分 所以． 4分 （2）由于，所以． 则展开式中第项，，1，2，…，8． 6分 当时，解得． 7分 所以含项的系数为． 8分 （3）设第项的系数，，1，2，…，8． 不妨设第最大，，2，…，7， 则，， 即，， 11分 解得， 13分 即为最大项． 所以系数最大的项为第6项和第7项． 15分 17．（本小题15分） 解：（1）在圆台中，，分别为上下底面的圆心， 有平面， 1分 由于平面， 所以． 2分 且，，平面，， 所以平面． 5分 （2）由台体体积公式：圆台可知． 6分 由于，，两两相交且垂直， 则以为一组正交基地建立如图所示的空间直角坐标系． 7分 则，，，，， 且为的中点，则． 8分 （ⅰ）设满足． 9分 则，， 由于，即， 则， 得，，， 即， 11分 所以半径． 12分 （ⅱ）由于平面， 不妨设平面的一个法向量． 设平面的一个法向量， 有，即， 取，则可以为． 14分 平面与平面夹角的余弦． 15分 18．（本小题17分） 解： （1）不妨设日期代号的取值依次为，，，，； 购物人数的取值依次为，，，，． 则，， 2分 且， 3分 ， 4分 从而， ． 所以关于的一元线性回归方程为， 6分 从而当时，， 7分 即根据此模型预测当年5月25日在该店购物的人数约为113人． 8分 （2）设事件为“选取的单日购物人数不超过90人”， 事件为“选取的单日购物人数超过90人”， 事件为“抽取的顾客消费超过30元”． 9分 由表格数据可知： 购物人数不超过90人共2天，故， 购物人数超过90人共3天，故． 11分 并且，． 12分 （ⅰ） ， 所以该顾客消费超过30元的概率为0.62． 14分 （ⅱ）由条件概率公式知， 其中， 所以， 故该天购物人数超过90人的概率为． 17分 19．（本小题17分） 解： （1）在空间直角坐标系中， 由于点A，P位于轴，则平面，且，，在该平面内， 则，． 2分 此外，即． 3分 且，， 从而平面，所以． 4分 综上可知三棱锥的四个面均为直角三角形． 5分 注：本小问若采用向量数量积运算求解，参照上述评分细则给分． （2）设，，则， 由于，，共线，即， 所以可整理为，． 由于，即，解得， 同理设，其中， 由于，得，， 且，化解得． 由于，则， 从而，即， 9分 所以是公比为3的等比数列． 对于平面，不妨设其法向量， 由于，，则可以是． 11分 故，． 13分 （3）由于，，成等比数列，则，即， 化简得，即x,y,z成等差数列． 14分 若为偶数，设，，， 当时，共有种， 当时，共有种， …… 当时，共有种， …… 当时，共有1种， 则共有种， 此时， 其中，则． 16分 类似地，若为奇数时，设，，， . 所以当时，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $