精品解析：江苏南通市区、通州区、启东市区2025-2026学年高二下学期期中学业质量监测数学试卷

2025-2026学年（下）高二学业质量监测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于，两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数，，，，则线性相关性最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 4. 在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 5. 投掷一枚质地均匀的硬币，直到连续两次正面向上时结束投掷，记为结束时投掷的次数，则 （ ） A. B. C. D. 6. 记，，，，…，，，则 （ ） A. 0 B. 2 C. 16 D. 32 7. 某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 则（ ） A. 0.596 B. C. -6.92 D. 8. 定义“特性数列”如下：共有项，每一项（其中，2，…，，），且对任意的，，，…，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“特性数列”的个数为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 B. 由独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有95%的可能患有肺病 C. 使最小的实数为，，…，的平均数 D. 若，且，则事件，相互独立 11. 从正整数数列的前项中任取3项，记3项和为偶数的概率为，则（ ） A. B. 存在，使 C. 存在无数多个，使 D. 对任意正整数， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现安排甲、乙、丙三名同学到两家企业实习，每名同学只能选择一家企业，每家企业不限制实习生名额，则不同的安排方法有__________种． 13. 若，则_______． 14. 已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病Y 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 （1）从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由； （2）能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求展开式中的第5项； （2）求展开式中系数最大的项． 17. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； （2）若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 18. 设函数，曲线在处的切线与轴垂直． （1）求实数的值； （2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．证明：函数的图象是中心对称图形； （3）证明：曲线在点处的切线与该曲线恒有两个公共点． 19. 箱中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为1，2，…，．从箱中取出个球，记录其编号分别为，，…，，记，即取出的个球中的最大号码．现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数，甲同学准备采用样本均值来估计总体均值，即，故认为的估计．但乙同学认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时． （1）若，，求事件发生的概率； （2）甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用来作为的估计值，即．由于样本均值会稳定于期望，丙同学凭直觉判断 ，认为乙同学的方法也不科学．请研究丙同学的判断 是否正确，并证明； （3）丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数，用来作为的估计值，即．试求实数，的值，使得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）高二学业质量监测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于，两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数，，，，则线性相关性最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为越大，线性相关性越强，可知绝对值最大，即线性相关性最强. 2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【详解】 由正态分布的对称性， ， 设 ，则 ， 由及对称性， 所以 ，解得 所以 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，代入求解即可. 【详解】由求导可得：， 将代入导函数，可得： 整理得：，即. 4. 在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】结合二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项展开式的二项式系数满足： 若为偶数，展开式共项，只有中间1项的二项式系数最大，该中间项为第项； 由题知第7项的二项式系数最大，即为偶数的情况， 所以，解得， 5. 投掷一枚质地均匀的硬币，直到连续两次正面向上时结束投掷，记为结束时投掷的次数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确随机变量的含义为投掷到第次时首次出现连续两次正面向上，即第、次均为正面，且前次未出现连续两次正面，据此梳理约束条件，确定符合要求的基本事件，结合独立事件概率公式求解. 【详解】∵ 表示投掷次时首次出现连续两次正面向上，结束投掷， ∴ 需同时满足两个条件：① 第次、第次投掷结果均为正面； ② 第次投掷结果为反面（若第次为正面，则第、次为连续正面， 会在第次结束投掷，不符合的要求），第次投掷结果不受限制. ∴ 符合条件的投掷序列共种：(反,反,正,正)、(正,反,正,正). ∵ 每次投掷硬币为独立事件，正面向上和反面向上的概率均为， ∴ 每个投掷序列的概率为， ∴ . 6. 记，，，，…，，，则 （ ） A. 0 B. 2 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 . 7. 某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 则（ ） A. 0.596 B. C. -6.92 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将指数模型两边取自然对数，转化为线性回归模型 ，其中，利用已知数据计算样本中心点，通过最小二乘法求出回归系数和截距. 【详解】因为，，所以， ，，所以样本中心点为， 根据最小二乘公式，， 所以线性回归方程为，将样本中心点代入得 ，所以， 所以线性回归方程的截距对应，即，所以. 8. 定义“特性数列”如下：共有项，每一项（其中，2，…，，），且对任意的，，，…，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“特性数列”的个数为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据“特性数列”的定义，结合的条件，通过列举法来确定不同的“特性数列”的个数，关键在于理解“任意的，，，…，中0的个数不少于1的个数”这一条件，从第一项开始分析，逐步确定每一项的可能取值. 【详解】根据定义，当时，只能为0，因为若，则0的个数为0，1的个数为1，不满足0的个数不少于1的个数这一条件； 当时，，此时可以为0或1. 若，则前两项0的个数为2，1的个数为0，满足条件； 若，则前两项0的个数为1，1的个数为1，也满足条件； 情况一：， 当时，可以为0或1. 若，即前三位数为000，则的取值可得四个满足条件的数列，； 若，即前三位数为001，则的取值可得三个满足条件的数列，; 所以这种情况下的数列有：00000，00001，00010，00011，00100，00101，00110.共7个； 情况二：， 当时，只能为0 当时，即前三位数为010,则的取值可得三个满足条件的数列，共3个； 综合以上情况，不同的“特性数列”的个数为10. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 B. 由独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有95%的可能患有肺病 C. 使最小的实数为，，…，的平均数 D. 若，且，则事件，相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据决定系数的意义判断；对于B，依据独立性检验的含义判断；对于C，利用平均数的性质判断；对于D，根据事件独立性的定义判断. 【详解】对于A，由题意得 ，说明越小， 即预测值与实际值越接近，回归模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B，独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”， 是指在大量的统计数据下，吸烟与患肺病存在关联的可能性为95%， 并不是说吸烟者有95%的可能患有肺病，故B错误； 对于C，根据均值的性质，当实数 为，，…，的平均数时， 离差平方和取得最小值，故C正确； 对于D，根据事件独立性的定义得到， 条件概率公式为，若， 则，所以成立，即命题得证，故D正确. 11. 从正整数数列的前项中任取3项，记3项和为偶数的概率为，则（ ） A. B. 存在，使 C. 存在无数多个，使 D. 对任意正整数， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的奇偶性分别确定奇数和偶数的个数，再结合三个数和为偶数的两种情况计算概率. 【详解】前个正整数中，设奇数个，偶数个，则， 三个数的和为偶数，只有两种情况：三个都是偶数，或1个偶数2个奇数， 因此：​，若为偶数，，则， 化简可得，所有偶数都满足， 若为奇数，，则 ， 化简可得， 在A选项中，是奇数，，代入得​，正确， 在B选项中，由推导可得，所有都有，不存在，错误， 在C选项中，所有偶数都满足，存在无数个这样的，正确， 在D选项中，若为偶数：​，，故 ， 若为奇数：​，​，和为 ， 对任意都成立，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现安排甲、乙、丙三名同学到两家企业实习，每名同学只能选择一家企业，每家企业不限制实习生名额，则不同的安排方法有__________种． 【答案】8 【解析】 【详解】每个同学都有种选择方法， 所以不同的安排方法有种. 13. 若，则_______． 【答案】84 【解析】 【分析】根据二项式通项公式结合组合数性质计算求解. 【详解】由题意 根据二项式定理可得 . 14. 已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义得到切线斜率，结合同一条切线的斜率、截距对应相等列方程，联立求解即可得到切线方程. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率为. ∵ 函数在切点处的导数值等于切线的斜率，，， ∴ ①. 由点斜式得直线过切点的方程为，整理得. 直线过切点的方程为，整理得. 即 ②. 由①得，且， 代入②得， 即，整理得， 解得或. 当时，，直线的方程为，即. 当时，，直线的方程为，即. 经检验，两条直线均与两条曲线相切，均符合要求. 【点睛】方法归纳：求解两条曲线的公切线问题时，通常采用“双切点设元法”，分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义表示切线斜率，再结合同一直线的斜率、截距对应相等建立方程，求解后验证即可得到所有公切线. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病Y 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 （1）从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由； （2）能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），，有效，理由见解析 （2）有的把握认为药物对预防疾病有效． 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的概念，计算事件的概率，进而判定药物X对预防疾病Y是否有效． （2）根据独立性检验方法，计算，进而判断药物是否有效. 【小问1详解】 在（未服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得， 在（服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得 ， 未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异． 因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效． 【小问2详解】 零假设：药物对预防疾病无效， 由列联表得到 ， 所以有的把握认为药物对预防疾病有效． 16. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求展开式中的第5项； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合二项式系数性质列方程求， 法一：求出二项式展开式的通项公式，再利用通项公式求第项； 法二：求出二项式展开式，直接确定第项； （2）法一：设第项的系数最大，列不等式求，由此确定系数最大的项， 法二：由展开式直接确定系数最大的项. 【小问1详解】 法一：由二项式系数的性质得，故． 由二项式定理得展开式的第项为． 展开式中的第5项为． 法二：由二项式系数的性质得，故． 由二项式定理得展开式的第项为． ． 所以展开式中的第5项为． 【小问2详解】 法一：设第二项到第六项中系数最大的项为第项， ， 则， 所以，解得，所以， 又第项的系数为 ，第项的系数为 ，第项的系数为 ， 故展开式中系数最大项为． 法二：由分析得展开式中的系数最大项为． 17. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； （2）若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 3 P 均值为 （2）分布列： Y 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）识别出有放回重复抽样模型服从二项分布 ，利用二项分布概率公式计算各取值的概率，再通过期望定义或二项分布期望公式求解均值. （2）以“从甲袋中取出的球的颜色”为划分依据，利用全概率公式，结合超几何分布计算不同条件下从乙袋取红球的概率，合成得到随机变量 的分布列. 【小问1详解】 由题意，的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 或由题意，所以． 【小问2详解】 设“从甲袋中取到红球”为事件，则，， 则由题意的可能取值为0，1，2， ， ， ． 所以的分布列为： Y 0 1 2 P 18. 设函数，曲线在处的切线与轴垂直． （1）求实数的值； （2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．证明：函数的图象是中心对称图形； （3）证明：曲线在点处的切线与该曲线恒有两个公共点． 【答案】（1） （2）由（1）得， 因为 ， 设 若为奇函数，则， 所以解得， 故关于对称，所以函数的图象是中心对称图形． （3）因为 ，所以. ，得到切线方程为. 因为要求曲线与切线的公共点，建立新函数 . ， 令，解得或. 若，即，当或时，单调递增，当时，单调递减. 因为， 且时，所以内存在一个零点，所以有两个零点. 若，即，当或时，单调递增，当时，单调递减. 因为 ，且时，说明处存在一个零点，又因为，所以有两个零点. 综上所述，恒有两个公共点. 【解析】 【分析】(1)通过函数求导以及与轴垂直斜率为0求出的值. (2)利用对函数添加参数，并利用奇函数的性质求解. (3) 通过建立新函数 ，对其求导通过增减性判断其零点个数. 【小问1详解】 ， 所以 ，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 箱中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为1，2，…，．从箱中取出个球，记录其编号分别为，，…，，记，即取出的个球中的最大号码．现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数，甲同学准备采用样本均值来估计总体均值，即，故认为的估计．但乙同学认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时． （1）若，，求事件发生的概率； （2）甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用来作为的估计值，即．由于样本均值会稳定于期望，丙同学凭直觉判断 ，认为乙同学的方法也不科学．请研究丙同学的判断 是否正确，并证明； （3）丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数，用来作为的估计值，即．试求实数，的值，使得 ． 【答案】（1） （2）正确；证明：由题意，，，…，， 所以的分布列为： n … P … 法一： 故 ． 因此 ，故丙同学论断正确； 法二： 故 （因为） ． 因此 ，故丙同学论断正确； （3） 【解析】 【分析】（1）设取到的3个球编号为，，，不妨设， 则，即，然后对，，的可能取值情况进行讨论，计算出事件发生的概率; （2）由于，，，…，，列出的分布列，计算出,最后判断丙同学论断是否正确； （3）对丙同学的方法的进行分析可知，若，表示个数中，最大的为，则其余个数均比要小，故,再求出，再计算出时，实数，的值. 【小问1详解】 设取到的3个球编号为，，，不妨设， 则， 即， 法一： 当，时，，共2种情况； 当，时，，不符合题意； 当时，，不符合题意． 所以事件发生的概率为． 法二： 当时，，共1种情况； 当时，，共1种情况； 当时，，不符合题意． 所以事件发生的概率为． 【小问2详解】 丙同学论断正确 证明略. 【小问3详解】 若，表示个数中，最大的为，则其余个数均比要小， 故，所以， 因为， 而， 所以 ， 故 恒成立， 所以，故时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $