精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2024-2025学年高一下学期形成性检测二（5月期中）数学试题

大港一中高一年级下学期形成性检测二（数学）试卷 一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知非零空间向量，，且，则一定共线三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 3. 已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若a∥b，b⊂α，则a∥α B. 若a⊥α，b⊂β，α∥β，则a⊥b C. 若a∥α，a∥β，则α∥β D. 若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β 4. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 满足条件，，的三角形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 不存在 6. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 7. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（ ） A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. 4.5cm 8. 已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（ ） A. B. C. 1 D. 9. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（ ） A. B. C. D. 11. 为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 12. 已知非零向量满足，且，则是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 13. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上动点，则的最小值为 A. B. C. D. 14. 已知正方体的棱长为4，的中点为，过，，的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（ ） A. B. 18 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 15. 已知，其中，则____. 16. 在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为_________. 17 已知向量 ① ； ②； ③向量在向量上的投影向量是 ④是向量单位向量 则以上命题正确的有_____个. 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______． 19. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________． 20. 在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时，______． 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 已知i为虚数单位，复数 （1）若z是实数，求m的值； （2）若z是纯虚数，求m的值； （3）若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 22. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 23. 在中，角、、对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 24. 已知在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别是，的中点， （1）证明：平面; （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求的中点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大港一中高一年级下学期形成性检测二（数学）试卷 一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线定理逐一判断各选项即得. 【详解】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 3. 已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若a∥b，b⊂α，则a∥α B. 若a⊥α，b⊂β，α∥β，则a⊥b C. 若a∥α，a∥β，则α∥β D. 若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β 【答案】B 【解析】 【分析】由线面的位置关系可判断A，线面垂直的性质可判断B，两平面的位置关系可判断C，面面垂直的判断可判断D. 【详解】对A，，则或，故A错误； 对B，由，所以，，所以，故B正确； 对C，，则或相交，故C错误； 对D，，垂直交线不能判断两平面互相垂直，故D错误； 故选：B 4. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】直接由复数的运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求． 【详解】= ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 5. 满足条件，，的三角形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案. 【详解】在中，因为，，， 由正弦定理 ，可得， 因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个. 故选：B. 6. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法的直观图，还原原图形为直角梯形，从而即可计算原图形的面积. 【详解】解：因为，，，， 所以由斜二测画法的直观图知可， 所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如图： 所以，，，，， 所以梯形的面积为． 故选：C． 7. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（ ） A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. 4.5cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出． 【详解】由题意可得，，解得．故选：A． 8. 已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用结合数量积的定义可求的值. 【详解】因为，所以，即， 又，与夹角的余弦值为，所以，故， 故选：A 9. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论. 【详解】因为、，且余弦函数在上为减函数， 在中，. 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 10. 如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 11. 为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可. 【详解】依题意，在中，，， ，可得， 则 ， 在中，，，则， 又中，，由余弦定理可得： 则. 故塔尖之间的距离为. 故选：C. 12. 已知非零向量满足，且，则是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由得到的角平分线与垂直，从而得到，再由得到，从而为等边三角形. 【详解】由得的角平分线与垂直，所以， 又因为，，所以， 所以为等边三角形， 故选：D. 13. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。 详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 = 所以当时，上式取最小值 ，选A 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。 14. 已知正方体的棱长为4，的中点为，过，，的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（ ） A. B. 18 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设是的中点，求三棱台的体积即得解. 【详解】解：如图，截面是等腰梯形，是的中点，较小部分是三棱台. 上底面面积，下底面面积， 所以. 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 15. 已知，其中，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数相等，列出方程组计算即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 16. 在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为_________. 【答案】 【解析】 详解】 设为中点，又E，F分别是AD，BC的中点，所以，， 故就是则异面直线AC与BD的夹角或其补角， ∵AC=BD=4，∴，又， ，故异面直线AC与BD的夹角为， 故答案为： 17. 已知向量 ① ； ②； ③向量在向量上的投影向量是 ④是向量的单位向量 则以上命题正确的有_____个. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量的数量积、模长的坐标公式可判断①，②，利用投影向量的定义计算判断③，根据单位向量的定义和共线向量定理即可判断④. 【详解】由，得，. 对于①，由，可得，故①正确； 对于②，因，故，故②错误； 对于③，向量在向量上的投影向量是，故③错误； 对于④，设，因，且， 故是与向量同方向的单位向量，故④正确. 故答案为：2. 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______． 【答案】4π 【解析】 【分析】 利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可. 【详解】由，解得．．解得． ，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型. 19. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________． 【答案】 ①. 20 ②. 【解析】 【分析】由图形可直接得到几何体面的个数，几何体体积等于两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，根据直观图分别进行求解即可. 【详解】由图形观察可知，几何体的面共有个， 该几何体的直观图如图所示， 该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积. 两个四棱柱的体积和为. 交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍. 在等腰中，边上的高为2，则 由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形为边长为的菱形. 设的中点为，连接易证即为四棱锥的高， 在中， 又 所以 因为， 所以， 所以求体积为 故答案为：20； 【点睛】本题考查空间组合体的结构特征，棱柱、棱锥的体积，关键需要弄清楚几何体的组成，属于较易题目. 20. 在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 已知i为虚数单位，复数 （1）若z是实数，求m的值； （2）若z是纯虚数，求m的值； （3）若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】（1）3或1 （2）5 （3）或，且. 【解析】 【分析】（1）由复数为实数，则虚部为零求解； （2）由复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零求解； （3）根据题意，由，且求解. 【小问1详解】 因为 是实数， 所以，解得或； 【小问2详解】 因为 是纯虚数， 所以，解得； 【小问3详解】 因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角， 所以，且， 解得或，且. 22. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）由平面知直线在平面射影为，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，根据勾股定理分别求得，然后在直角三角形中，求得，即可得解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由题意可得平面，又平面， 所以，又为的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以，所以， 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以，即直线与平面所成角为. 23. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值； （ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，可得，即， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 （i）因为，故为锐角，所以， 因为，由正弦定理可得，故； （ii）因，则，即，故为锐角， 所以， 所以， ， 因此，. 24. 已知在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别是，的中点， （1）证明：平面; （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求的中点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为为的中点，可联想连结，交于一点，即可证明点为的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出两个平面与的法向量，利用两个平面法向量所成的角得平面与平面夹角的余弦值； （3）确定中点的坐标，利用空间向量的坐标运算求解点到平面的距离即可. 【小问1详解】 证明：连接交于，并连接，， ，，为中点， ，且． 四边形为平行四边形，则为中点， 又为中点，． 平面，平面． 平面； 【小问2详解】 ，为中点，． 侧面底面，侧面底面，平面， 平面． 易知为正方形，． 建立如图空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，又，， 则， 取，则，得， 是平面的法向量， ， 则平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 的中点，所以 则点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$