精品解析：广东惠州市第八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

惠州市第八中学2025-2026学年高一年级下学期期中考试试题（数学） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 2. 在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 4. 已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 平面 7. 已知向量，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. z的虚部为7 B. z在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. z是方程的一个根 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量的坐标为 11. 在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ） A. 当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为 B. 当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为 C. 当时，圆锥的外接球表面积为 D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点，，，且，，三点共线，则______. 13. 已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________. 14. 已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 17. 如图，在直三棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若D为边BC上一点，满足，且，求的面积最大值； （3）若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且，求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市第八中学2025-2026学年高一年级下学期期中考试试题（数学） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A. 2. 在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在，，，， 则， 所以. 3. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，通过空间平面位置关系判断D. 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D， 三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； D正确， 故选：D. 4. 已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题中条件先求出向量与的数量积，再由 即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以，因此， 所以，因此向量与的夹角为. 故选D 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，根据向量的数量积运算，即可求解，属于基础题型. 5. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知： . 故选：B. 6. 如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据记正方体的另一个顶点为C，设的中点为，可证，结合平行关系分析判断ABC；对于D：根据线面垂直的性质定理和性质定理可证平面，即可得结果. 【详解】如图，记正方体的另一个顶点为C，连接，交于点O， 设的中点为，连接， 因为Q，D为的中点，则， 又因为交于同一点， 即与均不平行，故A，B错误； 对于选项D：若平面， 且平面，平面平面，可得， 这与与不平行相矛盾，假设不成立，故D错误； 对于选项C：因为为正方形，则， 且M，N为所在棱的中点，则，可得， 又因为平面，且平面，可得， 且，平面，所以平面， 由平面，所以，故C正确； 故选：C. 7. 已知向量，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，结合同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故为锐角，则， 故. 故选：B. 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示： 因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. z的虚部为7 B. z在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. z是方程的一个根 【答案】AD 【解析】 【详解】，其虚部为，A选项正确， 在复平面对应的点为，在第二象限，B选项错误. ，C选项错误. ，D选项正确. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件求得，由判断；对于B，由向量的模的坐标公式可得；对于C，由向量夹角的坐标公式计算即得；对于D，根据投影向量定义计算即得. 【详解】， 选项A：因，故，故A正确； 选项B：，故，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：设向量在上的投影向量为， 则，故D正确. 11. 在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ） A. 当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为 B. 当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为 C. 当时，圆锥的外接球表面积为 D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积可得出，利用圆锥的侧面展开图与余弦定理可判断A选项；计算出过顶点和两母线的截面三角形的最大面积，可判断B选项的正误；根据几何关系列等式求出圆锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可判断C选项的正误；计算出圆锥的内切球半径以及棱长为的正四面体的外接球半径，可判断D选项的正误. 【详解】圆锥的侧面积为，则. 对于A选项，当时，，将圆锥的侧面沿着母线展开如下图所示： 则圆锥的底面周长为，， 在中，，， 由余弦定理可得，A对； 对于B选项，当时，，设圆锥轴截面等腰三角形的顶角为， 则，则为钝角， 在圆上任取两点、，则，， 当且仅当时，等号成立，故顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，B错； 对于C选项，当时，，圆锥的高为， 设圆锥的外接球的半径为，则，即，可得， 故圆锥的外接球的表面积为，C对； 对于D选项，当时，，圆锥的高为， 设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面面积为， 圆锥的轴截面周长为， 由等面积法可得，可得， 将棱长为的正四面体可放在一个正方体内，使得该正四面体的四个顶点恰为正方体的四个顶点，如下图所示， 则该正方体的棱长为，所以正四面体的外接球的半径为， 因此，当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，D对. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点，，，且，，三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使， 即：，解得：，所以. 13. 已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式得圆台的母线长，由勾股定理得圆台的高，再由圆台的体积公式得圆台的体积. 【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为， 由圆台的侧面积公式得，解得， 由勾股定理得， 由圆台的体积公式得， 故答案为：. 14. 已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出平面截正八面体上面正四棱锥所得截面，再借助共线向量定理的推论及余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】直线交于点，交的延长线于，，连接， 则四边形是过点的平面截正八面体上面正四棱锥所得截面， 由是正方形的中心，得，，而， 于是分别为的中点，， 而，则，，， 在中，，令，则， 由点共线，得，则是的中点，， 令，于是，由点共线，得， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， ， 而， 因此，由正八面体的对称性得所求截面面积为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由， 有，即， ，， ，； 【小问2详解】 由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，， 在中，由余弦定理有 ，， 的周长. 16. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） 四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 17. 如图，在直三棱柱中，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理证明； （2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥的高为，再利用，结合棱锥体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若D为边BC上一点，满足，且，求的面积最大值； （3）若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式化简计算即可得； （2）借助向量线性运算、模长与数量积的关系及基本不等式可得的最大值，再利用面积公式计算即可得解； （3）借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故； 【小问2详解】 因为D为边BC上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为； 【小问3详解】 由， 则， 可得，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 【答案】（1）5；0 （2）证明如下： 因为向量，且向量， 则， 所以， 同理， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，，且， 所以； 又，，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为锐角时，由，得或， 当为锐角，时， 故当时，取到最大值； 当为钝角时，由，得， 当为钝角，， ， 当，即时，取得最大值， 所以取得最大值. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $