2026年江苏省徐州市中考数学一轮复习专项练习：圆的有关概念与性质

圆的有关概念与性质 基础过关 1.如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数为(　　) A.41° B.45° C.49° D.59° 2.图②是从正面看到的一个碗(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA、OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为(　　) 图① 图② A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 3.(2025·四川内江中考)如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8,OC=5,则DC的长是　　　　.  4.(2025·江苏常州中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.若∠DCB=45°,AD=1,则AB=　　　　.  5.如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A的度数为　　　　.  6.如图,在△ABC中,AB=4,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆. (1)求BC的长; (2)求☉O的半径. 能力提升 7.如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 8.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC边上一点,连接AD并延长交☉O于点E.若AD=2,DE=3,则☉O的半径为(　　) A. B. C.2 D.3 9.(2025·四川广安中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为　　　　.  10.如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.给出下面三个结论: ①∠ABD=∠DAC; ②AF=FG; ③当DG=2,GB=3时,FG=. 上述结论中,正确结论的序号有　　　　.  11.如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC. (1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数. (2)求证:①EF∥BC; ②EF=BD. 12.如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证:OC∥AD; (2)若AD=2,BC=2,求AB的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的有关概念与性质 基础过关 1.如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数为(　　) A.41° B.45° C.49° D.59° 答案:C 解析:∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°.∵∠DBA=∠DCA=41°,∴∠ABC=90°-∠DBA=49°.故选C. 2.图②是从正面看到的一个碗(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA、OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为(　　) 图① 图② A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 答案:A 解析:∵是☉O的一部分,D是的中点,AB=24 cm,∴OD⊥AB,AC=BC=AB=12 cm.设☉O的半径OA为R cm,则OC=OD-CD=(R-8)cm.在Rt△OAC中,OA2=AC2+OC2,∴R2=122+(R-8)2,解得R=13,即☉O的半径OA为13 cm.故选A. 3.(2025·四川内江中考)如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8,OC=5,则DC的长是　　　　.  答案:2 解析:∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=×8=4. 在Rt△OAD中,OA=5,AD=4, ∴OD==3, ∴DC=OC-OD=5-3=2. 4.(2025·江苏常州中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.若∠DCB=45°,AD=1,则AB=　　　　.  答案: 解析:∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵∠DCB=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, ∴∠ABD=90°-∠DAB=45°, ∴BD=AD=1. ∴AB=. 5.如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A的度数为　　　　.  答案:62° 解析:如图,连接OC, ∵OB=OC,∠OBC=28°, ∴∠OCB=∠OBC=28°, ∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=124°, ∴∠A=∠BOC=62°. 6.如图,在△ABC中,AB=4,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆. (1)求BC的长; (2)求☉O的半径. 解:(1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, ∴△BAC∽△BCD,∴. ∵AB=4,D为AB的中点, ∴BD=AD=2,∴BC2=16,∴BC=4. (2)如图,过点A作AE⊥CD于点E,连接CO,并延长交☉O于点F,连接AF. ∵在Rt△AED中,cos∠ADC=,AD=2,∴DE=1,∴AE=. ∵△BAC∽△BCD,∴. 设CD=x,则AC=x,CE=x-1. ∵在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2, ∴(x)2=(x-1)2+()2, 解得x=2或x=-4(舍去), ∴CD=2,AC=2. ∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角, ∴∠AFC=∠ADC. ∵CF为☉O的直径,∴∠CAF=90°, ∴sin∠AFC==sin∠CDA=, ∴CF=,∴☉O的半径为. 能力提升 7.如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 答案:B 解析:如图,连接OB,设OA交BC于点E.∵∠ADB=30°,∴∠AOB=60°.∵OA⊥BC,BC=2,∴BE=BC=.在Rt△BOE中,sin∠AOB=,∴sin 60°=,∴OB=2,∴OC=2.故选B. 8.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC边上一点,连接AD并延长交☉O于点E.若AD=2,DE=3,则☉O的半径为(　　) A. B. C.2 D.3 答案:A 解析:如图,连接OA、OC、CE. ∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠ACB=30°, ∴∠AOC=60°. ∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA. ∵∠E=∠B,∴∠E=∠ACB. 又∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC, ∴,∴AC2=AD·AE. ∵AD=2,DE=3,∴AE=5, ∴AC=, ∴OA=AC=,即☉O的半径为. 故选A. 9.(2025·四川广安中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为　　　　.  答案:6 解析:如图,连接DO,并延长交☉O于点E,连接BE,则∠A=∠E,∠EBD=90°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A+∠BCD=180°.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°.∴∠E=60°.∵☉O的半径为6,∴DE=12,∴BD=DE·sin E=12×sin 60°=12×=6. 10.如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.给出下面三个结论: ①∠ABD=∠DAC; ②AF=FG; ③当DG=2,GB=3时,FG=. 上述结论中,正确结论的序号有　　　　.  答案:①② 解析:①∵D是的中点,∴, ∴∠ABD=∠DAC,故结论①正确; ②∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠ADE+∠BDE=90°. ∵DE⊥AB,∴∠BDE+∠ABD=90°, ∴∠ADE=∠ABD, ∴∠ADE=∠DAC,∴AF=FD. ∵∠ADE+∠BDE=90°,∠AGD+∠DAC=90°,∴∠BDE=∠AGD,∴FD=FG, ∴AF=FG,故结论②正确; ③∵DG=2,GB=3,∴BD=DG+GB=5. 在Rt△ADG中,tan∠DAC=. 在Rt△ABD中,tan∠ABD=. ∵∠ABD=∠DAC,∴,∴AD2=10. 在Rt△ADG中,AG=, ∴AF=FG=AG=, 故结论③不正确. 综上,正确结论的序号是①②. 11.如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC. (1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数. (2)求证:①EF∥BC; ②EF=BD. (1)解:∵CD为直径,∴∠CAD=90°. ∵∠AFE=∠ADC=60°, ∴∠ACD=90°-60°=30°, ∴∠ABD=∠ACD=30°. (2)证明:①如图,延长AB至点M, ∵四边形ABCD是圆内接四边形, ∴∠ADC+∠ABC=180°. ∵∠ABC+∠CBM=180°, ∴∠CBM=∠ADC. ∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE=∠CBM, ∴EF∥BC. ②如图,过点D作DG∥BC交圆于点G,连接AG、CG、DG. ∵DG∥BC, ∴,∴BD=CG, ∵四边形ACGD是圆内接四边形, ∴∠GDA+∠ACG=180°. ∵∠EDG+∠GDA=180°, ∴∠EDG=∠ACG. 由①知EF∥BC,∴EF∥DG, ∴∠DEF=∠EDG,∴∠DEF=∠ACG. ∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, ∴∠AFE=∠AGC. ∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG, ∴EF=CG,∴EF=BD. 创新拓展 12.如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证:OC∥AD; (2)若AD=2,BC=2,求AB的长. (1)证明:∵∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°. ∴∠DAB+∠AOC=180°,∴OC∥AD. (2)解:如图,连接BD,交OC于点E. ∵AB是半圆O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵OC∥AD,∴△OEB∽△ADB, ∴. ∵OA=OB,∴EB=DE, ∴OC⊥BD,且OE是△ABD的中位线, ∴OE=AD=1, 设半圆O的半径为r,则CE=r-1. 在Rt△OEB中,BE2=OB2-OE2=r2-1. 在Rt△CEB中,BE2=BC2-CE2=12-(r-1)2.即r2-1=12-(r-1)2, 解得r=3或r=-2(舍去), 故AB=2r=6. 学科网（北京）股份有限公司 $