2026年中考数学一轮复习考点训练-圆的有关概念及其基本性质

2026年中考数学一轮复习考点训练-圆的有关概念及其基本性质 考点整合 考点1 圆的有关概念和垂径定理（常考点） 1.在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC:OB＝3:5，则DE的长为（ ） A.6 B.9 C.12 D.15 2.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为____________. 3.如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E.求证： （1）AD∥BC； （2）四边形BCDE为菱形. 4.如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F. （1）求证：BC＝DE； （2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC； （3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长. 考点2 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系（常考点） 5.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ） A.32° B.42° C.52° D.62° 第5题图 第6题图 6.如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 7.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ） A.15° B.17.5° C.20° D.25° 第7题图 第8题图 8.一圆形玻璃镜损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的半径为____________. 9.如图,点A,C,D,B 在⊙O 上,AC=BC, ∠ACB = 90°. 若 CD = a, 则 AD 的长是___________. 10.如图,在平面直角坐标系中，点 P 在第一象限内，⊙P 与 x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2),连接AC,BC. (1)求点 P 的坐标; (2)求 cos∠ACB 的值. 考点3 圆内接四边形(常考点) 11.如图,在⊙O中,四边形OABC为菱形,点D在上，则的度数是__________. 12.在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题： 如图1, 中, 点 D 是 BC 边上的一动点(点 D 不与B,C 重合),将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转α到线段AE,连接BE. (1)求证:A,E,B,D 四点共圆; (2)如图 2,当. 时，⊙O是 四边形AEBD 的外接圆,求证:AC 是⊙O 的切线; (3)已知 点 M 是边 BC 的中点，此时⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，直接写出圆心 P 与点 M 距离的最小值. 方法技巧 方法一 垂径定理的应用 方法解读 　　涉及圆中的弦、圆心到弦的距离、半径、弧、中点等问题，通常连半径或作垂直于弦的直径，应用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求出未知线段的长解决问题. 例 1 “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何?”用现在的几何语言表达，即如图，CD为⊙O 的直径，弦 垂足为点 E,寸, 寸,则直径 CD 的长度是 ( ) A.12寸 B.24寸 C.13 寸 D.26 寸 解题思路 连接OA得到直角三角形，根据垂径定理，易知点E 为AB的中点，由 寸可求出AE 的长，再设圆的半径OA 为x寸，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程，易求圆的直径. 变式1 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为 ，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2 是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点 E, 若 ，则这种铁球的直径为 ( ) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm 方法二 利用圆周角定理及其推论求角 方法解读 1.在同圆或等圆中， 2.遇到直径时，作直径所对的圆周角. 3.在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题. 例2 如图,A,B,C 是半径为 1 的⊙O 上的三个点，若 则 ∠ABC的度数为 ( ) A.95° B.100° 解题思路 连接 OB，根据题意可得∠AOB=根据圆周角定理可得∠ACB 的度数，利用三角形内角和定理即可求解. 变式2 在⊙O 中,若弦BC垂直平分半径OA,则弦BC所对的圆周角等于__________. 方法三 与圆内接四边形有关的计算 方法解读 　　在与四边形的外接圆有关的计算中，经常利用圆内接四边形的性质(圆内接四边形的对角互补等)得到角度之间的关系，然后进行相关的计算. 例3 如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形,∠B =90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为 ( ) D.2 解题思路 延长AD，BC 交于点E，利用圆内接四边形的性质可得∠ADC=90°,∠BAD=60°,先利用含 角的直角三角形求得AE 的长，然后再求得DE 的长，从而可得AD 的长. 变式3 如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点 P 为边AD上任意一点( 点 P 不与点 A,D 重合),连接 CP.若 则的度数可能为( ) 分层练习 基础练 1.如图,点 B,C,D在⊙O 上，若 则 的度数是 ( ) 第1题图 第2题图 2.如图,⊙O 的半径 OB 为6，半径 于点 D, 则CD的长是 ( ) A.3 B.2 3.如图,线段AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，如果 那么∠ADC 的度数是 ( ) A.15° C.45° 第3题图 第4题图 4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以O为圆心的圆，如图，已知圆心 O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB的长为 4米，⊙O 的半径为 3 米.若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是 ( ) A.1 米 B.2 米 米 米 5.如图,已知⊙O 的弦AB、DC 的延长线相交于点 E,∠AOD=128°,∠E=40°,则∠BDC 的度数是 ( ) A.16° B.20° C.24° D.35° 第5题图 第6题图 6.如图,BC 是半圆 O 的直径,D,E 是 上两点，连接 BD，CE 并延长交于点A,连接OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE 的度数为 ( ) A.35° B.38° C.40° D.42° 7.如图,AC 是⊙O 的直径,弦BD⊥AO 于E,连接 BC,过点O 作OF⊥BC 于F,若 BD=8cm ,AE=2cm,则 OF的长度是( ) A.3 cm C.2.5 cm 8.如图,点 A,B,C,D均在直线上，点 P 在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 ( ) P· A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，一块直角三角板的 角的顶点 P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A,B 两点,若⊙O 的半径为 2,则弦AB 的长为__________. 10.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,连接 AC,BD,延长CD 至点 E. (1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE; (2)若BC=3,⊙O的半径为2,求 cos∠BAC. 11.如图,△ABC内接于⊙O, ,过点 B 作 BC 的垂线,交⊙O 于点 D,并与 CA 的延长线交于点 E，作 垂足为 M，交⊙O 于点 F. (1)求证: (2)若⊙O 的半径 求线段 BF的长. 提升练 12.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C、D、E 在⊙O 上,且 则∠ABC的度数为 ( ) A.30° B.40° C.35° D.50° 第12题图 第13题图 13.如图,AB,AC 是⊙O 的弦,OB,OC 是⊙O 的半径，点 P 为 OB 上任意一点(点 P 不与点 B 重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是( ) A.70° B.105° C.125° D.155° 14.如图,在△ABC 中,AB=AC,顶点A,B,C 均在⊙O上,BD 为⊙O的直径. 若∠OBC = 40°,则∠ADB 的度数为 ( ) A.75° B.65° C.55° D.45° 第14题图 第15题图 15.如图,BC 是⊙O 的直径,点A 是⊙O外一点,连接AC 交⊙O 于点 E,连接AB 并延长交⊙O 于点 D.连接OD,OE,若∠A=35°,则∠DOE 的度数是 ( ) A.110° B.120° D.115° 16.如图,AB 为⊙O 的直径,AB=10,C,D为⊙O 上两动点(C,D不与点A,B 重合),且CD 为定长,CE⊥AB 于 E,M 是 CD 的中点，则 EM 的最大值为 ( ) A.4 B.4.5 C.5 D.6 第16题图 第17题图 17.如图, 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0 刻度线的一端重合， 射线 CD 绕点 C 转动,与量角器外沿交于点 D，若射线CD将 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是____________. 18.如图，抛物线 与x轴交于 A、B两点,P 是以点C(0,3)为圆心,2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是____________. 19.【问题探究】(1)如图1,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是△ABC的高. 求证： 【迁移运用】(2)如图2,圆内接四边形 ABCD中,对角线AC 是⊙O的直径,BD=AB,BE⊥AC,若BE=4,CD=6,求 CE 的长度. 20.【概念引入】在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距. 【概念理解】(1)如图1,在⊙O中,半径是5,弦AB的长为8，则这条弦的弦心距OC 为__________. (2)通过大量的做题探究，小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程.如图2，在⊙O中， CD, 于点 M, 于点 N,求证:OM 【概念应用】如图 3,在⊙O 中, ⊙O的直径为 20，且弦 于E，请应用上面得出的结论求 OE 的长. 参考答案 考点整合 1. C 连接 OD. 由已知得( 又于点 C, 2.答案 解析 记量角器的外弧所在圆的圆心为 O,连接OA,OB,OD. 由题图知 3.证明 (1)连接BD, ∴AD∥BC. (2)设 BD 交 EC 于点 F,连接 OB,OD,则 ∴OC 垂直平分 BD,∴BF=DF. 由(1)知 又 ∴EF=CF,∴四边形BCDE 是平行四边形， 又∵ ∴四边形 BCDE 是菱形. 4.解析 (1)证明:∵ D 是 的中点 ∵DE⊥AB且AB 为⊙O 的直径, ∴BC=DE. (2)连接OD, ∵D 是 BC 的中点,∴OD⊥BC,∵AB 为⊙O 的直径, ,即AC⊥BC, ∴AC∥OD,∴∠CAB=∠DOB, 设⊙O的半径为r，则 (3)过点 B 作 BG⊥CP 于点G, CP 是∠ACB 的平分线， ∴∠CBG=45°, 则 5. A 6. D 如图,连接 BC. ∵∠ACD=∠CAB,∴AD=BC=2,∵AB 是⊙O的直径, 在 Rt△ABC中,AC=4,BC=2, 即⊙O 的半径为 .故选 D. 7. C 连接OC, ∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,∵∠CAI=35°, ∵点 O 是△ABC外接圆的圆心,∴∠BOC=2∠BAC=140°, 8.答案 9.答案 解析 连接AB，过点C作 于 E, 在 中,∵ CD=a, 在 Rt△ACE中, 又 思路分析 连接 AB,易知△ACB 是等腰直角三角形,作CE⊥AD于E,构造出两个直角三角形，利用 ∠CBD = ∠CAD, ∠CBA =∠CDA，解这两个直角三角形即可. 10.解析 (1)过点 P 作 PD⊥AB 于点D,连接PC,PA, ∵⊙P与x轴相切于点 C,∴PC⊥OC. ∵⊙P与y轴交于A,B两点,PD⊥AB,∴AD=BD, ∵A(0,8),B(0,2),∴AB=6,∴AD=BD=3, 则 OD=5,易知 PA=PC=OD=5. 在 Rt△APD 中, =4,∴P点坐标为(4,5). (2)延长 AP 交⊙P 于点 E,连接BE∵AE 是⊙P的直径,∴∠ABE=90°. 在 Rt△ABE 中,AB=6,AE=10, 又∠ACB=∠AEB, 11.答案 60° 解析 ∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠B+∠D=180°. ∵四边形 OABC 为菱形,∴∠B=∠AOC,∴∠D+∠AOC=180°. ∵∠AOC=2∠D,∴3∠D=180°,∴∠ADC=60°. 思路分析 根据菱形的性质得出∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°,即可得出∠D+∠AOC=180°,根据圆周角定理得3∠D=180°,即可求得∠ADC=60°. 12.解析 ( 1) 证明:由旋转可得∠DAE=∠BAC=α,AD=AE, ∴∠BAE=∠CAD,∵ AB=AC,AD=AE,∴△ACD≌△ABE(SAS),∴∠AEB=∠ADC, ∴∠AEB+∠ADB=180°,∴A,E,B,D四点共圆. (2)证明:连接 AO 并延长交⊙O于点 F,连接DF, ∵AD=CD,∴∠DAC=∠C,∴∠AFD=∠DAC, ∵AF为⊙O的直径, 即 ∴AC 是⊙O 的切线. 详解:∵ 点 P 是四边形 AEBD 的外接圆的圆心，∴ 点 P 在线段 AB的垂直平分线上， 设AB的垂直平分线交 AB 于点Q,交 BC 于点 N,过点 M作 QN,垂足为 P,此时 MP 的长最小. ∵BC=6,M 为 BC 中点, ∴ BN=2,∴MN=1, 易得 ∥ ∴圆心 P 与点 M 距离的最小值为 方法技巧 例1 D 如图,连接OA, 且 寸, 寸, 设圆O的半径为x寸,则OC=OD=x寸,∵CE=1寸,∴OE=(x-1)寸, 在 Rt△AOE中, 即 2x=26,∴CD=2x=26寸.故选 D. 变式 1 C 如图,连接 OE,交 AB于点 F,连接OA, ∵AC⊥CD,BD⊥CD,∴AC∥BD, ∵AC=BD=4 cm,∴四边形 ACDB 是矩形,∴AB∥CD,AB=CD=16 cm, ∵CD切⊙O 于点 E,∴OE⊥CD,∴OE⊥AB, EF=BD=4 cm, 设⊙O 的半径为r cm,则 OA=r cm,OF=OE-EF=(r-4) cm, 在 Rt△AOF中, 解得r=10, ∴这种铁球的直径为 20cm. 例2 C 连接OB, ∵OA=OB=1,AB= , ∴∠AOB=90°,∴∠ACB=45°. 在△ABC 中,∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-45°-30°=105°. 变式2 答案 60°或120° 解析 如图,设 BC 与OA 交于点 D,连接OB,OC. ∵弦 BC 垂直平分半径OA,∴OD:OB=1:2,∴∠BOD=60°,∴∠BOC=120°. 由图可知弦 BC 所对的圆周角等于60°或 120°. 例 3 C 延长BC,AD交于点 E. ∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠B+∠ADC=180°,∠A+∠BCD=180°. ∵∠B=90°,∠BCD=120°,∴∠ADC=90°,∠A=60°. 在 Rt△ABE 中,AE=2AB=4,在Rt△CDE中, 变式3 D ∵ 圆内接四边形对角互补,∴∠ABC+∠ADC=180°. 又∵∠ABC=120°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-120°=60°. ∵∠APC=∠ADC+∠DCP,∴∠APC>∠ADC,即∠APC>60°.故选 D. 分层练习 1. D 如图所示,在优弧 BD 上取一点 A ( 不 与 B,D 重 合),连 接AB,AD, ∵点A,B,C,D在⊙O 上, 2. A 3. B 4. C 5. C ∵∠ABD是 所对的圆周角， ∵∠ABD 是 的外角，=24°.故选 C. 6. C 连接 CD,∵ BC是直径, 故选 C. 7. D 如图,连接AB,OB, ∵AC 是⊙O 的直径,弦 BD⊥AO于 E,BD=8cm , 在 Rt△ABE中, 则 ∵OB=OC,OF⊥BC,∴BF=FC,∵OA=OC,∴OF 是△ABC的中位线, 故选 D. 8. D 根据不共线的三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，分别为 P、A、B;P、B、C;P、C、D;P、A、C;P、B、D; P、A、D，所以最多可画出圆的个数为6,故选 D. 9.答案 2 解析 连接AO并延长交⊙O于点D,连接 BD, ∵ AD 是⊙O 的直径, 10.解析 (1)证明:∵ AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, 由圆周角定理的推论得∠ADB=∠ACB.∴∠ABC=∠ADB, ∵四边形ABCD是⊙O 的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠ADE,∴∠ADB=∠ADE. (2)连接CO 并延长交⊙O 于点F,连接 BF,则∠FBC=90°. ∵BC=3,⊙O 的半径为2, 由圆周角定理的推论得∠BAC= 11.解 析 (1) 证明:连接 DC,则∠BDC=∠BAC=45°. ∵ BD⊥ BC,∴ ∠BCD = 90°-∠BDC=45°.∴∠BCD=∠BDC.∴ BD=BC. (2)如图,∵∠DBC=90°, ∴CD 为⊙O 的直径,∴CD= 2r=6. ∵∠BMC=∠EBC = 90°,∠BCM=∠BCM,∴△BCM∽△ECB. 连接CF,则∠F=∠BAC=45°,∴∠MCF=45°.∴MF=MC= . 12. B 如图,连接OD,BD. ∵∠DOB=2∠E=140°, 20°,∴∠ABC=2∠OBD=40°. 故选 B. 13. D ∵∠BAC=70°,∴∠BOC=2∠BAC=140°, ∴∠BPC=∠BOC+∠OCP=140°+∠OCP≥140°,故选 D. 14. B 连接 CD, ∵BD为⊙O 的直径,∴∠BCD=90°,∵∠DBC=40°,∴∠CDB=90°-∠DBC=50°, ∴∠BAC=∠CDB=50°. ∵ AB = AC,∴ ∠ABC =∠ACB = ∴∠ADB=∠ACB=65°.故选 B. 15. A 如图,连接CD,BE, ∵ BC 是⊙O 的直径, 易得 故选 A. 16. C 延长 CE 交⊙O 于点 J,连接 DJ, ∵CE⊥AB,∴ CE=EJ,∵ M 是 CD的中点,∴CM=DM, 当DJ 是直径时，EM 的值最大. ∵⊙O 的直径为 10,∴EM 的最大值为 5.故选 C. 17.答案 76°或142° 解析 ①当 BC 为等腰三角形的底边时，设射线CD交AB于点E，连接OD,则 EB=EC,此时∠ECB=∠ABC=38°,∴∠BOD=2∠BCE=76°, ∴点 D 在量角器上对应的度数是76°; ②当BC为等腰三角形的腰时，设射线CD交AB 于点F,连接OD, 则 BF=BC,此时 = 71°, ∴∠BOD=2∠BCD=142°,∴点 D 在量角器上对应的度数是 142°. 综上，点 D 在量角器上对应的度数是76°或142°. 18.答案 解析 如图,连接 BP, 令y=0,得 解得 则A(-4,0),B(4,0). ∵Q 是线段 PA的中点,∴OQ为△ABP的中位线, 则当 BP 的值最小时，OQ 的值最小. 连接BC交圆于点 P',此时 BP'的值即为 BP 的最小值. ∴BP的最小值为5-2=3,∴线段OQ 的最小值为 19.解析 (1)证明:在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD是△ABC 的高, ∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°, ∴ ∠ACD = ∠B,∴ △ACD∽△CBD,△ACB∽△CDB, (2)连接 BO 并延长交 AD 于点G,连接OD,如图所示. ∴直线 BG是线段 AD 的垂直平分线,. 在 和 中, ∴△AGO≌△BEO(AAS),∴AG=BE=4,∴DG=AG=4,即AD=8. ∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC=∠ADC=90°, 由∠ABC=∠AEB=∠BEC=90°,易知∠BAE=∠CBE, 解得 CE=2或CE=8, 当CE=8时,OE=OC-CE=5-8=-3，不符合题意.故 CE 的长度为 2. 20.解析 【概念理解】(1)3. (2)证明:连接BO、OC, ∵OM⊥AB,∴BM=AM,∠BMO=90°,同理,CN=DN,∠CNO=90°. ∵AB=CD,∴BM=CN,又∵ BO=CO,∴ Rt△BOM≌Rt△CON(HL),∴ OM=ON. 【概念应用】过点 O 作 OG⊥CD于G,作OH⊥AB 于 H,连接 DO, ∵AB=CD=16,∴GO=OH.∵AB⊥CD,∴∠GEH=90°,∴四边形 GEHO 是正方形, ∴GE=GO.∵CD=16,∴DG=8, ∵⊙O的直径为 20,∴DO=10, www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $