第11章 一次函数（复习讲义）数学新教材青岛版八年级下册

第十一章 一次函数（复习讲义） 1.函数的概念 （1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例. （2）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析. （3）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值. （4）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义. （5）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 2.一次函数 （1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式. （2）能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b (k≠0)探索并理解k>0和k≤0时图象的变化情况；理解正比例函数. （3）体会一次函数与二元一次方程的关系. （4）能用一次函数解决简单实际问题. 知识点一 变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三 函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四 正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点五 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点六 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)； (2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点七 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点八 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点九 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点十 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点十一 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点（0，） , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点十二 一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围． 题型一 求一次函数自变量或函数值 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 【变式】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知与成正比例，且时，． (1)求与的函数关系式． (2)当时，的值为多少？当时，的值为多少？ 题型二 列一次函数解析式并求值 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【变式】（23-24八年级下·广东江门·期末）已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 题型三 求一次函数解析式 【例3】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）有一个矩形，它的边平行于x轴和y轴，两个相对的顶点是和．通过点和绘制一条直线，通过点和绘制另一条直线．问矩形的边界上有多少个点位于两条直线中的至少一条上（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）一次函数（为常数，且）的图象经过点，则下列关于一次函数结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．该函数的图象可由正比例函数的图象平移得到 D．函数图象与轴的交点坐标为 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【变式】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过，两点，且与x轴交于点C． (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求的面积． 题型七 一次函数图象平移问题 【例7】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将二元一次方程表示的直线向上平移6个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为______． 题型八 一次函数图象与对称问题 【例8】（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式】（24-25八年级上·陕西西安·月考）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 题型九 一次函数图象与旋转问题 【例9】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 题型十 根据一次函数增减性求参数 【例10】（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)当时，y的取值范围是______． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【例11】（24-25八年级下·重庆·期末）如图1，是边长为4的等边三角形，D为边上的中点，动点P，Q 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点D出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者到达点A时停止运动．设运动时间为t秒，其中，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点P，Q的距离大于3个单位长度时t的取值范围． 【变式】（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数的值； (3)求当时，自变量的取值范围． 题型十二 比较一次函数值的大小 【例12】（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式】（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：． （2）已知函数，，试比较，的大小关系． 题型十三 一次函数的规律探究问题 【例13】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式】在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例14】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）． 【变式】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 题型十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例15】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 题型十六 利用图象法解一元一次方程 【例16】（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型十七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 题型十八 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例18】（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 题型十九 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例19】（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【变式】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 题型二十 图象法解二元一次方程组 【例20】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图像上有一点，求m的值． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 题型二十一 求直线围成的图形面积 【例21】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 题型二十二 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例22】（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【变式】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 题型二十三 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例23】（25-26八年级下·全国·周测）某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售，进货价和销售价如下表： 短款 长款 进货价/（元/件） 80 90 销售价/（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装购进的件数． (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次如何进货才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 题型二十四 梯度计价问题 【例24】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【变式】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为（元），印制数量为（份）． 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收元．此时与的函数关系如图所示． 乙印刷厂收费标准是：每份材料收元印制费，另收元制版费，此时与的关系如下表所示． 印制数量（份） 0 1000 2000 3000 4000 收费（元） 1500 2500 3500 4500 5500 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂关于的函数图象，并判断函数类型． (2)求乙印刷厂关于的函数表达式． (3)对于的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜． 题型二十五 一次函数与几何综合 【例25】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【变式】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，与的图象相交于，则不等式的解集为______． 5．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 6．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求的面积． 8．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 9．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象的函数表达式是_______； （2）若将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为_______； （3）将直线向右平移个单位长度后所得图象对应的函数表达式为_______； （4）将直线向左平移个单位长度后经过点，则的值为_______． 5．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 6．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为________． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 8．（25-26八年级下·福建福州·月考）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，当时，求函数值的取值范围． 9．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 10．（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 一次函数（复习讲义） 1.函数的概念 （1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例. （2）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析. （3）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值. （4）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义. （5）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 2.一次函数 （1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式. （2）能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b (k≠0)探索并理解k>0和k≤0时图象的变化情况；理解正比例函数. （3）体会一次函数与二元一次方程的关系. （4）能用一次函数解决简单实际问题. 知识点一 变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三 函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四 正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点五 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点六 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)； (2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点七 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点八 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点九 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点十 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点十一 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点（0，） , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点十二 一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围． 题型一 求一次函数自变量或函数值 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)此时点的运动时间为 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解可得． （2）根据，求出时x的值，即可得的长，再除以P点运动的速度即可求出点的运动时间． 【规范解答】（1）解：设直线的函数表达式为． 将点和点代入上式，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：由（1），可得直线的函数表达式为． 令，则， 解得， 即， ． 答：此时点的运动时间为． 【变式】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知与成正比例，且时，． (1)求与的函数关系式． (2)当时，的值为多少？当时，的值为多少？ 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【思路引导】本题考查了自变量的定义，求一次函数解析式，求函数值或自变量的值． （1）根据正比例定义，设，利用已知点求，得到函数关系式； （2）将，分别代入求值，即可求解． 【规范解答】（1）解：与成正比例 设 将，代入得 即 （2）当时， 当时， 解得 题型二 列一次函数解析式并求值 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【变式】（23-24八年级下·广东江门·期末）已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【规范解答】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 题型三 求一次函数解析式 【例3】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析， 【思路引导】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、线段垂直平分线的性质与方程、轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质、一次函数解析式的求解以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，作即可； （2）取格点，作直线，则直线即为线段的垂直平分线，从而得它与轴的交点坐标； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，再求出直线的方程，进而得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求， 由图可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与轴的交点为； （3）解：连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得 ， 解得，， 所以直线的解析式为， 令，， 解得， ∴的坐标为． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）有一个矩形，它的边平行于x轴和y轴，两个相对的顶点是和．通过点和绘制一条直线，通过点和绘制另一条直线．问矩形的边界上有多少个点位于两条直线中的至少一条上（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】先求出直线和直线的解析式，然后通过计算判断矩形顶点与两直线的位置关系，并结合图象解答即可． 【规范解答】解：设直线解析式为， 代入点和得， ， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 代入点和得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵相对的顶点是和， ∴，， 当时， 代入得，， 代入得，， ∴边上点恰在直线上，点在直线的上方， 如图所示，矩形的边界上没有其他点位于两条直线上， ∴矩形的边界上只有1个点位于两条直线中的至少一条上． 【考点剖析】重点掌握一次函数的一般式为：，待定系数法求函数表达式，把点的坐标代入函数表达式判断点是否在函数图象上． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据一次函数（）中、的符号判断函数的增减性与图象经过的象限． 【规范解答】解：A. ，，随增大而增大，不符合要求； B. ，，随增大而增大，不符合要求； C. ，，随增大而减小，但，图象经过第一象限，不符合要求； D. ，，随增大而减小，，图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，符合要求． 【变式】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）一次函数（为常数，且）的图象经过点，则下列关于一次函数结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．该函数的图象可由正比例函数的图象平移得到 D．函数图象与轴的交点坐标为 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法求一次函数的解析式，求出一次函数解析式是解决问题的关键． 先由待定系数法，将代入一次函数，解二元一次方程组求出函数解析式，再由一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案． 【规范解答】解：一次函数（为常数，且）的图象经过点， ， 解得， ∴一次函数解析式为， A：由，知函数值随的增大而减小，选项说法正确，不符合题意； B：由、，知一次函数图象过第一、二、四象限，则图象不经过第三象限，说法正确，不符合题意； C：将正比例函数的图象向上平移个单位长度即可得到图象，选项说法正确，不符合题意； D：当时，，则一次函数的图象与轴交点坐标为，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 【变式】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【规范解答】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【答案】 【思路引导】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【规范解答】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过，两点，且与x轴交于点C． (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，4 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令求出，即可得到点C的坐标； （3）根据点A，B的坐标画出函数图象，然后根据三角形面积公式进行计算． 【规范解答】（1）解：设表示这条直线的二元一次方程为， 把，代入得：， 解得， ∴表示这条直线的二元一次方程为； （2）令，得， 解得， ∴； （3）直线如图所示： 连接， ∵， ∴， ∴． 题型七 一次函数图象平移问题 【例7】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【答案】 【思路引导】先利用“左加右减”的平移规律得出平移后的直线解析式，再通过令函数值为0求解自变量的值，即可得到与x轴的交点坐标． 【规范解答】解：∵直线由直线向左平移10个单位长度得到， ∴平移后的直线解析式为， 展开得． 令，则：， 解得：， ∴直线与x轴交点坐标为． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将二元一次方程表示的直线向上平移6个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为______． 【答案】1 【思路引导】先求出平移后解析式，进而求出平移后图象与坐标轴的交点坐标，再进行计算即可． 【规范解答】解：， ∴， ∴把直线向上平移6个单位长度，得到， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为， ∴平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为． 题型八 一次函数图象与对称问题 【例8】（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【规范解答】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 【变式】（24-25八年级上·陕西西安·月考）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)是 (4) 【思路引导】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把的值分别代入计算，即可求出、的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再分别求出当、、 时的值，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 当时，，即； 当时，，即； 故答案为：，； （2）如图，即为所求； （3）由（2）图象可知，函数的图象是轴对称图形， 故答案为：是； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 题型九 一次函数图象与旋转问题 【例9】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【规范解答】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 【变式】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【规范解答】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 题型十 根据一次函数增减性求参数 【例10】（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式． （1）将点、代入，运用待定系数法求解； （2）两点法，过点、作直线，即可确定函数的图象． （3）先求出当时，，再结合图象y随x增大而减小，即可判断得解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点、． ∴， ∴； （2）解：过点、作直线，可得的图象，作图如下： （3）解：由图象可知，∵当时，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 【答案】 【思路引导】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【规范解答】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【例11】（24-25八年级下·重庆·期末）如图1，是边长为4的等边三角形，D为边上的中点，动点P，Q 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点D出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者到达点A时停止运动．设运动时间为t秒，其中，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点P，Q的距离大于3个单位长度时t的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，函数有最大值为4（答案不唯一） (3) 【思路引导】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）列表，描点，连线画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【规范解答】（1）解：由题意，当时，； 当时，如图： ∵为等边三角形，为的中点 ∴，，， 由题意，得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 综上：； （2）列表如下： 1 2 3 4 2 4 3 2 描点，画图如下： 由图象可知，当时，函数有最大值为4； （3）由图象可知，当点P，Q的距离大于3个单位长度，即：时，． 【变式】（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数的值； (3)求当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)13 (3) 【思路引导】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、已知求函数值、已知的范围求自变量范围等知识，熟记一次函数图象与性质及相关问题解法是解决问题的关键． （1）由题意，令一次函数的解析式为，根据当时，；当时，，列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，将代入即可得到答案； （3）由（1）中所求解析式，结合一次函数图象与性质可知，一次函数中，随的增大而增大，从而将；代入解析式求出即可得到当时，自变量的取值范围． 【规范解答】（1）解：已知是的一次函数，令一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得， ， 当时，函数的值13； （3）解：由（1）知，一次函数的解析式为， ， 一次函数中，随的增大而增大， 将时，，解得； 当时，，解得； 当时，自变量的取值范围是：． 题型十二 比较一次函数值的大小 【例12】（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，由的图像经过点可求出 ，从而得到和的表达式，的符号由的符号决定，因，需分析的正负验证各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵的图像经过点， ∴ ， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的符号由的符号决定， 令，得或， 当时，；当时，；当时，， 、若，则，故该选项说法正确，符合题意； 、当 时，，不满足，不符合题意； 、若，则或，故该选项说法错误，不符合题意； 、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式】（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：． （2）已知函数，，试比较，的大小关系． 【答案】（1）（2）当时，；当时，． 【思路引导】（1）考查一元一次不等式的解法，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等步骤求解； （2）考查利用作差法比较两个一次函数值的大小，通过计算两个函数的差，根据差的正负判断大小关系． 【规范解答】解：（1）解不等式 ： 去分母（两边同乘）： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为（两边同乘，不等号方向改变）： ． （2）比较与的大小： 作差： 分情况讨论： 当，即：时，； 当，即：时，； 当，即：时，． 故当时，；当时，． 【考点剖析】本题考查了一元一次不等式的解法和作差法比较代数式大小，解题关键是掌握不等式的基本性质（注意系数化为时不等号的方向），以及作差法中根据差的符号判断大小的逻辑． 题型十三 一次函数的规律探究问题 【例13】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【规范解答】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【变式】在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用勾股定理求出，，的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【规范解答】解：如图， 当时，； 当时，； 可得，， ； ； ； 即，，； ， 可得． 故选：D． 题型十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例14】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①② 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 【规范解答】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是，故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是，故③错误． 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 【变式】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【思路引导】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解； （2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解． 【规范解答】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 题型十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例15】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出一次函数与坐标轴的两个交点，利用三角形面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴一次函数与坐标轴的两个交点为，， ∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项． 【规范解答】解：对于一次函数，其中． 选项A：当时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A错误； 选项B：∵方程的解是， ∴，即． 将代入，得， ∴函数图象恒过点，故B正确； 选项C：函数图象向右平移2个单位后解析式为，∵图象过原点，代入得，解得，而非，故C错误； 选项D：随的增大而减小．若，则，但与的符号由决定，不一定满足，故D错误； 故选：B． 题型十六 利用图象法解一元一次方程 【例16】（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；②；③ 【思路引导】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【规范解答】（1）解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； （2）解：根据表格描点、连线，如图所示： （3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； （4）解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查待定系数法，一次函数的性质和图象，根据给定数据求出一次函数解析式，再逐一判断各结论是否正确． 【规范解答】∵ 当 时，；当 时，， ∴ ， 解得：， ∴ 函数解析式为， 对于结论①：∵ ，∴ y随x的增大而增大，故①错误， 对于结论②：∵ ，∴ 图象经过第一、三、四象限，故②正确， 对于结论③：方程 ，解得：，故③正确， 对于结论④：直线 与直线，k值相等，故平行，故④正确． ∴ 正确的是②③④， 故选：C． 题型十七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】利用数形结合思想解答即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 【答案】①③ 【思路引导】此题考查了一次函数、解方程、解不等式等知识．根据一次函数与y轴交点坐标的正负性确定k的范围，代入点坐标验证点是否在函数图象上，解方程及不等式判断结论的正确性． 【规范解答】解：对于结论①，当时，， 故函数经过点，结论正确； 对于结论②，函数交y轴正半轴于点A，则时，，解得，故结论②错误； 对于结论③，方程可化为，由于函数交y轴正半轴，，，故，解得，结论正确； 对于结论④，不等式可化为， 当时，，而时， 故，结论错误． 故答案为：①③． 题型十八 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例18】（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【思路引导】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【规范解答】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解： ，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【规范解答】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 题型十九 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例19】（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【规范解答】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 【变式】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)3 (3) 【思路引导】（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）两函数图象的交点横坐标即为两函数解析式联立得到的一元一次方程的解． 【规范解答】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，∴， ∴ ∵一次函数图象经过点， ∴’ 解得， ∴一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得，解得， ∴， ∴， ∵, ∴的面积为：． （3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为． 题型二十 图象法解二元一次方程组 【例20】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图像上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【思路引导】（1）二元一次方程所对应的直线为，根据描点法画出函数图像即可； （2）当时，，当时，，解得，即可求出答案； （3）把点C的坐标代入函数解析式，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：二元一次方程变形为，所对应的直线为． 列表如下： x … 0 1 2 … y … … 描点并连线， （2）解：当时，， 当时，， 解得， ∴一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、． （3）解：把代入得到， 即m的值为． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【答案】（1）5，2，在（2）①，②图见解析，， 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，即可求出的值，然后画图发现这些点在同一条直线上； （2）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案； ②根据题意可得直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点在轴正半轴上，且，求出点和点的坐标，进而即可求出，的值． 【规范解答】解：（1）当时，代入，得， ∴； 当时，代入，得， ∴； 经过画图发现，这些点在同一条直线上； 故答案为：5，2，在； （2）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； ②关于，的二元一次方程组无解， 直线和直线 没有交点，即这两条直线互相平行， 点在轴正半轴上，且，， ， ，即， 将点的坐标代入得， ， 解得， ， ，， ， ，即， 将点的坐标代入 得， ， 解得， 如图所示即为所求： 题型二十一 求直线围成的图形面积 【例21】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【思路引导】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【思路引导】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关计算是解题的关键； （1）用待定系数法求出函数解析式，然后根据函数解析式平移的性质得到直线的解析式； （2）由（1）可得直线的解析式，求出点点的坐标，再根据三角形面积公式求出即可． 【规范解答】（1）解：将代入， 得， ． 将函数的图象向上平移个单位长度后得到的图象的解析式为， 即， 则直线的函数解析式为． （2）解：在中， 令，得； 令，得， ，， ，， ． ∴的面积为． 题型二十二 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例22】（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【思路引导】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【规范解答】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 【变式】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】(1)， 、． (2)当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【规范解答】（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． （2）已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 题型二十三 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例23】（25-26八年级下·全国·周测）某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售，进货价和销售价如下表： 短款 长款 进货价/（元/件） 80 90 销售价/（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装购进的件数． (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次如何进货才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件 (2)购进120件短款服装、80件长款服装能获得最大销售利润，最大销售利润是4800元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进短款服装件，购进长款服装件，根据“用元购进长、短两款服装共件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进件短款服装，则购进长款服装件，根据“第二次进货总价不高于元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【规范解答】（1）解：设短款服装购进件，长款服装购进件．由题意， 得 解得 故长款服装购进件，短款服装购进件． （2）解：设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，销售利润为元． 由题意，得， 解得． 由题意，得． ， 随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为． 故购进件短款服装、80件长款服装能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期末）某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)5元；8元 (2)购进15张A书签，45张B书签；255元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【规范解答】（1）解：设每张A书签的进价是元，每张B书签的进价是元， 根据题意，得， 解得， 答：每张A书签的进价是5元，每张B书签的进价是8元； （2）解：设购进张A书签，则购进张B书签，根据题意，得   ． 解得． 设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为元，则 ， 即． ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值， 最大值为． 此时． 答：当购进15张A书签，45张B书签时，文具店在这批书签全部售出后获得利润最大，最大利润是255元． 题型二十四 梯度计价问题 【例24】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分段函数的实际应用，围绕分段函数在实际计费场景中的应用展开，明确各档位的计费逻辑，通过分析不同区间的费用构成来确定函数关系式，再结合费用数值判断所属档位以求解变量是解题的关键． （1）依据分档计费规则，第一档费用固定为8元，第二档是对超出5千克部分按1元/千克收费，据此构建函数关系式； （2）先判断45元对应的计费档位，再结合对应档位的计费方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：， 整理，得， 当时，函数关系式为； （2）解：当包裹重量为20千克，配送费元， 因为 所以， ， 化简得， 把代入上式，得， 解得，． 【变式】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为（元），印制数量为（份）． 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收元．此时与的函数关系如图所示． 乙印刷厂收费标准是：每份材料收元印制费，另收元制版费，此时与的关系如下表所示． 印制数量（份） 0 1000 2000 3000 4000 收费（元） 1500 2500 3500 4500 5500 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂关于的函数图象，并判断函数类型． (2)求乙印刷厂关于的函数表达式． (3)对于的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜． 【答案】(1)一次函数，图象见解析 (2) (3)当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜 【思路引导】题目主要考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意画图判断即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意先得出甲厂的函数解析式，然后再分情况分析，结合图象即可求解． 【规范解答】（1）解：根据图象得：乙印刷厂关于的函数为一次函数； （2）根据图象观察乙印刷厂提出的费用方案，其函数图象过，． 设，分别将，代入得： ，解得， ∴； （3）根据题意，当在甲厂印刷时，份， ∴当时，； ∴， 解得：， ∴当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜； 当时，； ∴， 解得：， 结合图象得：当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 综上可得：时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 题型二十五 一次函数与几何综合 【例25】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【思路引导】（1）联立解析式求出交点坐标，通过交点坐标确定不等式的解集； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴， 由图形可知，当时，； （2）解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 【考点剖析】掌握数形结合的思想． 【变式】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【思路引导】（1）设一次函数表达式为，将点、的坐标代入，求出、的值，即可得答案； （2）由为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出即可； （3）分和两种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与轴、轴分别交于、， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：∵、， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵为等腰直角三角形，， ∴． （3）解：①如图，，点在下方时，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 同理：点在上方时，，， ∴， ∴点的坐标为； ②当时，如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查了一次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定及性质等，熟练掌握一次函数的图像及性质、注意分类求解，避免遗漏是解题的关键． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【思路引导】先根据一次函数的性质，再根据最大值对应的自变量取值代入计算即可求解． 【规范解答】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取最小值时，取得最大值， 将，代入函数得：， 解得． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【规范解答】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【考点剖析】数形结合是解题的关键． 3．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是关键．本题利用一次函数的性质解题，先根据一次项系数k的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到，的大小关系． 【规范解答】解：直线中，， 随x的增大而减小， ， ． 故选：D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，与的图象相交于，则不等式的解集为______． 【答案】 【思路引导】先求出点的坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【规范解答】解：点在函数的图象上， ，解得， ， 由函数图象可知，当时，函数的值小于的值， 即不等式的解集为． 5．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【思路引导】先根据平行关系确定的值，再代入已知点坐标求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【规范解答】解：一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 6．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【思路引导】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【规范解答】解：由图象可知：方程组，即的解是． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)4 【思路引导】（1）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （2）根据（1）可得点A和点B的坐标，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：列表如下： … 0 … … 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴． 8．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 【答案】，直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及求一次函数与坐标轴的交点坐标是关键．将代入，求得；令，求得直线与x轴的交点坐标；令，可求得直线与y轴的交点坐标． 【规范解答】解：由图象可知，点在直线上， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， ； 令，得， 直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． 9．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【规范解答】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【规范解答】（1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【规范解答】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 【答案】C 【思路引导】先根据图象分三段讨论，再根据销售收入和销售成本之间的关系得出答案． 【规范解答】解：由函数图象可知随着销售量的增加，当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入小于销售成本，此时该公司亏损；当时，销售收入和销售成本相等，此时该公司不亏损，也不盈利；当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入大于销售成本，此时该公司盈利，即该公司盈利时销售量大于4件，C符合题意． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察每个选项的函数图象，得出的取值范围，再进行分析，即可作答． 【规范解答】解：A、观察函数图象，得出经过第一、二、三象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，故，则异号，与相矛盾，故不符合题意； B、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； C、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，则异号，故符合题意； D、观察函数图象，得出经过第一、二、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； 故选：C 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象的函数表达式是_______； （2）若将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为_______； （3）将直线向右平移个单位长度后所得图象对应的函数表达式为_______； （4）将直线向左平移个单位长度后经过点，则的值为_______． 【答案】 【思路引导】根据一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可． 【规范解答】解：（1）将的图象向下平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （2）直线向上平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴； （3）将直线向右平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （4）直线向左平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴， 解得． 5．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 (1)1 (2) 【思路引导】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为________． 【答案】 【思路引导】该题考查了一次函数几何综合，折叠的性质，勾股定理等知识点，如图，当时，过点D作轴，勾股定理得，设，则，根据折叠可得，进而得出，，在中，勾股定理求出，，则，待定系数法求出直线的函数关系式即可． 【规范解答】解：如图，当时，过点D作轴， 则，， ∵，， ∴， 设，则， 根据折叠可得， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数关系式为， 则，解得：， 则直线的函数关系式为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？ 【答案】(1)，； (2)当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 【思路引导】（1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出函数表达式，即可解答； （2）分三种情况进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵设李老师带领名“三好学生”去旅游， ∴由题意得：， ， 即，； （2）解：当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 当时，即，解得：， ∴当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社． 8．（25-26八年级下·福建福州·月考）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先把点代入正比例函数，求出的值，得到点的坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）先根据的取值范围求出的取值范围，再根据函数增减性求出的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， 则该一次函数的表达式为． （2）∵，是一次函数图象上的两点， ∴，， 又， ∴， 解得， ∴， 又， 则函数值的取值范围为． 9．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【思路引导】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 10．（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 【答案】(1) (2)点Q坐标为 【思路引导】（1）用待定系数法求函数解析式． （2）联立两直线方程求出点P的坐标，作轴于点F，先由直线解析式求出点B坐标，再由求解． 【规范解答】（1）解：将与代入得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：联立两直线方程得， 解得， ∴点P坐标为． 作轴于点F， 把代入得， ∴点B坐标为， ∴， 又∵，， 则 ， 解得， ∵点Q在y轴负半轴， ∴点Q坐标为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $