精品解析：广东广州协和学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

2025-26学年第二学期期中考试 高二数学试题 2026年4月 命题：广州协和学校高二备课组 审题人：刘伏英､李玉梅 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟. 第一部分选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则，所以， 故该运动员在时的瞬时速度为. 2. 已知从甲地直接到丙地有2条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地中转到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（ ） A. 9条 B. 14条 C. 20条 D. 24条 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，由甲地经乙地中转到丙地有条路线，由甲地直接到丙地有2条路线， 故从甲地到丙地不同的路线共有条. 3. 已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为成等比数列，则， 又，所以， 则，所以. 4. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论不正确的有（） 0 3 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极大值点有2个 B. 函数在是减函数 C. 对任意 D. 当时，函数有4个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象判断的单调性与极值，可知和为极大值点，上单调递增，再结合表格数据推得极小值，否定选项C，而当时，结合端点值与极值判断有4个零点，故仅选项C不正确. 【详解】由图可知:当时，，单调递增; 当时，，单调递减; 当时，，单调递增; 当时，，单调递减. 选项A:由单调性可知，和是的极大值点，共2个，故A正确. 选项B:当时，，单调递减，故B正确. 选项C:在上单调递增，所以，故存在使得，故C错误. 选项D: 的极大值为,,极小值为和端点值,. 已知,故. 作函数草图： 当时,直线与的图象交点个数: 在上,由,,单调递增,有1个交点; 在上,由,,单调递减,有1个交点; 在上,由,,单调递增,有1个交点; 在上,由,,单调递减,有1个交点. 共4个交点,即有4个零点,故D正确. 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，得，即. 所以. 令，得，所以. 因此. 6. 汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（ ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低. A. 60千米/小时 B. 80千米/小时 C. 90千米/小时 D. 100千米/小时 【答案】B 【解析】 【详解】当速度为千米/小时时，汽车行驶100千米需小时，设百公里油耗为升， 依题意得， 则，令，得， 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增， 所以时，取得最小值. 7. 在的棋盘中，放入颗黑子和颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（ ）种不同的放法. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先从行中选行放黑子，有种，再从列中选列放黑子，有种， 选出的行列中放黑子，有种不同位置放法，所以黑子的总放法：种， 再从剩下的行列中放白子，有种放法， 根据分步计数原理，总放法数为种. 8. 已知函数.设和的零点分别为和，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的单调性，得到，根据条件得到，利用的零点为，得到，令，得到，构造函数，从而将问题转化成求出的值域，即可求解. 【详解】因为恒成立，所以在上单调递增，又，则， 由，得到，所以， 又的零点为，则，得到， 令，则，令，则， 当时，，时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，则， 所以实数的取值范围是. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各项也为定值的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质和前项和公式，可得，为定值，即可求解. 【详解】因为数列是公差为的等差数列， 所以， 又是一个定值，所以为定值， 又为定值，故B和C正确， 因为，所以变化时，不为定值，故A错误， 又， 当首项和变化时，不为定值，故D错误. 10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 若，则展开式中常数项为15 D. 若展开式中各项系数之和为64，则 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，由二项式系数和公式得，故A正确. B选项，为偶数，二项式系数最大的是中间项即第项，不是第3项，故B错误. C选项，若，展开式通项，令得，常数项为，故C正确. D选项，令得各项系数之和为，即，得，或，故D错误. 11. 已知函数，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若的极大值点为，则 B. 若在区间上为单调函数，则 C. 当时，曲线恒在直线的下方 D. 若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用，得出值，再利用极值的定义进行检验，即可求解；对B，由的导函数可知，当时，恒成立，即可求解；对C，构造函数，求出的最大值，即可求解；对D，利用导数的几何意义在上求一点，使得在该点的切线与平行，将问题转化成两平线间的距离，即可求解. 【详解】，的定义域为， ， 对于A，的极大值点为1，，得到，解得 当时， 当时，，在区间上单调递增；当时，，区间上单调递减， 是的极大值点，故A正确. 对于B，因为在区间上为单调函数，又， 当时，恒成立，此时在上单调递增，所以时满足题意，故B错误， 对于C，当时， 设 则 令，解得 当时，，在区间上单调递增；当时，，区间上单调递减， 当在处取得极大值，也是最大值， ，即 所以曲线恒在直线l的下方，故C正确， 对于D，当时， ，则 直线 的斜率为 令，即，解得 当时，，则曲线在点处的切线与直线l平行 直线，直线， 则点到直线l的距离 所以的最小值为，故D正确. 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得，所以， 当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 13. 6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有__________不同的情况.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】第一步：根据约束条件，甲、乙不为第1、6名且相邻， 排名可能为，共种排法； 第二步：剩余名学生全排列，排法数为种； 第三步：由分步乘法计数原理，总排列数为， 综上，人的名次排列共有种不同情况. 14. 已知数列的前n项积为，，，则____（用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】变形给定的通项，利用乘法交换律、结合律，结合累乘法求出，再利用阶乘的性质，裂项相消法求和，进而求出m的最小值. 【详解】当时，， ； ，因此， 由恒成立，得，所以m的最小值为2. 故答案为：；2 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 设的前项和为， 所以. . 16. 已知在处取得极值. （1）求实数的值，并求出的极值； （2）求在上的最值. 【答案】（1），极大值为，极小值为 （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据条件得，即可求出值，进而可得，再利用极值的定义，即可求解； （2）由（1）可得出在区间上的单调性，即可求解. 【小问1详解】 易知的定义域为，，因为在处取得极值， 所以，解得，则， 当或时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点， 故符合题意，，且极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，又，， 所以在上的最小值为，最大值为. 17. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. （1）求的值； （2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； （3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【答案】（1）3； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率公式列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【小问1详解】 由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. 【小问2详解】 从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. 【小问3详解】 从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 18. 教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足 （1）求和； （2）证明数列是等比数列，并求； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知，则， 所以， 故（非零常数），且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件可得，进而可得，再由等比数列的定义，即可求解； （3）由（2）可得恒成立，令，再分为奇数和偶数，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又，则， 又，所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，则，由，得到， 即，也即， 令，则， 当时，，所以时，数列单调递减，且， 又不等式对任意恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，所以，得到， 当为偶数时，恒成立，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，设. （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：. 【答案】（1）当时，递减区间为，无递增区间；当时，递减区间为，递增区间为. （2） （i）当时，的定义域为， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 存在，使得，则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此存在唯一极小值点， 所以函数存在唯一极小值.. （ii）由（i）得，，由，得，， 函数在上单调递增，则 ， 令函数，由函数在上都单调递减， 得函数在上单调递减，因此，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再按分类求出单调区间. （2）（i）求出函数及导数，进而确定极值点情况得证；（ii）由（i）的信息，利用零点的意义，结合单调性推理得证. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，无递增区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年第二学期期中考试 高二数学试题 2026年4月 命题：广州协和学校高二备课组 审题人：刘伏英､李玉梅 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟. 第一部分选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知从甲地直接到丙地有2条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地中转到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（ ） A. 9条 B. 14条 C. 20条 D. 24条 3. 已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论不正确的有（） 0 3 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极大值点有2个 B. 函数在是减函数 C. 对任意 D. 当时，函数有4个零点 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（ ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低. A. 60千米/小时 B. 80千米/小时 C. 90千米/小时 D. 100千米/小时 7. 在的棋盘中，放入颗黑子和颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（ ）种不同的放法. A. B. C. D. 8. 已知函数.设和的零点分别为和，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各项也为定值的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 若，则展开式中常数项为15 D. 若展开式中各项系数之和为64，则 11. 已知函数，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若的极大值点为，则 B. 若在区间上为单调函数，则 C. 当时，曲线恒在直线的下方 D. 若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则当时，的最小值为 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有__________不同的情况.（用数字作答） 14. 已知数列的前n项积为，，，则____（用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）求的前项和. 16. 已知在处取得极值. （1）求实数的值，并求出的极值； （2）求在上的最值. 17. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. （1）求的值； （2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； （3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 18. 教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足 （1）求和； （2）证明数列是等比数列，并求； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，设. （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $