精品解析：广西崇左市凭祥市高级中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题

2026年春季学期期中考试 高一数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第三册第六章，第七章；第八章8.4结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知且，则x等于（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示即得. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：C. 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法和乘法的运算法则化简复数，进而即得. 【详解】复数， 所以复平面上对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三棱台有8个顶点 B. 底面是矩形的四棱柱是长方体 C. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 【答案】D 【解析】 【分析】通过三棱台的图形可判断A错误；由长方体的性质可判断B错误； 通过反例可判断C错误；由圆台的性质可判断D正确. 【详解】由三棱台的图形知三棱台有6个顶点，所以A错误； 因为四棱柱的底面是矩形时，侧棱与底面矩形不一定垂直，所以B错误； 各个面都是三角形的几何体可如下图所示: 而该几何体不是三棱锥，所以C错误； 由圆台的性质可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，所以D正确. 故选：D. 4. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，， . 6. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得，再根据结合余弦定理即可得出结论. 【详解】解：因为， 所以，所以， 则， 即，所以， 所以， 所以为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D. 7. 已知是圆的弦，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，设，， 由余弦定理，，即, 则. 8. 点为所在平面内一点，若，则点为的（ ） A. 内心 B. 重心 C. 垂心 D. 外心 【答案】A 【解析】 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若与异面，与异面，则与异面 C. 若不同在平面内，则与异面 D. 若不同在任何一个平面内，则与异面 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，根据异面直线的定义得到答案. 【详解】对于A：若，则与是异面直线或相交直线或，故A错误； 对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与可能是异面直线或或相交，故B错误； 对于C：若不同在平面内，则与是异面直线或相交直线或，故C错误； 对于D：根据异面直线的定义，若不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确． 故选：ABC． 10. 已知非零平面向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，满足，且，同向，则 B. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 C. 若存在非零向量使得，则 D. 若向量和满足，与的夹角为60°，则 【答案】BD 【解析】 【详解】A：由向量不能比较大小，则的说法有误，故A错误， B：若不是基底，则且，而是一组基底， 所以，则或，即，故B正确， C：若，则，但不一定有，故C错误， D：由题设，故，故D正确. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知，则 C. 已知，，，则最小内角的度数为 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABC 【解析】 【分析】由三角形中大角对大边及正弦定理即可判断A；利用余弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，在三角形中，，故A正确； 对于B，由， 得，所以， 则，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以角为最小角， 则，又，所以， 即最小内角的度数为，故C正确； 对于D，因为，满足条件的三角形不存在，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数求得，进而求得. 【详解】由于是纯虚数，所以， 解得． 故答案为：. 13. 《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】依题意可得， 即， 即，解得或（舍去）. 故答案为： 14. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，，，即，解得. 在中，，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由列式求出即可； （2）直接由夹角公式列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为向量，， 所以，解得； 【小问2详解】 因为与的夹角为，且向量，， 所以，所以， 两边平方得，所以， 所以，即，解得或， 经检验，或均是方程的根，符合题意. 所以或. 16. 如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，求： （1）； （2）AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知三边长度，可直接运用余弦定理求出； （2）先根据（1）中求出的得到的值，再在中，利用正弦定理求出的长. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理得. 【小问2详解】 ，∴，， 在中，，，， 由正弦定理得，∴. 17. 如图，在长方体中，点､分别为棱､的中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）确定直线与直线交点的位置，不需要说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点的距离与长相等. 【解析】 【分析】（1）根据中位线关系以及长方体几何特点证明，由此证明、、、四点共面； （2）根据空间中点线面的位置关系进行分析并判断交点位置. 【详解】解：（1）如图，连线段、、 ∵，， ∴， 又∵长方体， ∴， ∴， ∴､､､四点共面， （2）直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点的距离与长相等. （理由供参考：设，所以，所以平面， 同理可得平面，所以在平面与平面的交线上， 又平面平面，所以， 又因为，所以，所以为中点， 所以直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点的距离与长相等.） 18. 如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，． （1）若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标； （2）若，用，表示，并求出实数的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，然后可算出答案； （2）根据平面向量的线性运算可用，表示，然后可得，然后由点B，P，D共线可得，即可求出实数的值． 【小问1详解】 ，易得， 又因为E是CD的中点，所以， 故， 则与同向共线单位向量，坐标为 【小问2详解】 因为，所以 又因为，所以 又因为，所以，又因为点B，P，D共线 ，故 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，满足，. （1）求； （2）若为线段上一点，且满足，，求的长； （3）若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正余弦边角关系求角的大小； （2）首先得到为等边三角形，设并应用余弦定理列方程求参数值，即可得； （3）由（1）及正弦定理，应用三角恒等变换得，再应用三角形面积公式得到，结合求范围. 【小问1详解】 由题可得， 所以； 【小问2详解】 为线段上一点，且满足，， 为等边三角形，而， ，且，设， 在中， 即， 整理得，解得或（舍），即 【小问3详解】 在中，由正弦定理得： ， 于是得， 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，则， 从而得，所以面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期中考试 高一数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第三册第六章，第七章；第八章8.4结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知且，则x等于（ ） A. 3 B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三棱台有8个顶点 B. 底面是矩形的四棱柱是长方体 C. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 4. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 已知在中，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 已知是圆的弦，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 点为所在平面内一点，若，则点为的（ ） A. 内心 B. 重心 C. 垂心 D. 外心 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若与异面，与异面，则与异面 C. 若不同在平面内，则与异面 D. 若不同在任何一个平面内，则与异面 10. 已知非零平面向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，满足，且，同向，则 B. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 C. 若存在非零向量使得，则 D. 若向量和满足，与的夹角为60°，则 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知，则 C. 已知，，，则最小内角的度数为 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则_____． 13. 《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则________． 14. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值. 16. 如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，求： （1）； （2）AB的长. 17. 如图，在长方体中，点､分别为棱､的中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）确定直线与直线交点的位置，不需要说明理由. 18. 如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，． （1）若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标； （2）若，用，表示，并求出实数的值． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，满足，. （1）求； （2）若为线段上一点，且满足，，求的长； （3）若为锐角三角形，求面积的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $