精品解析：江苏省泰州市姜堰区2026年春学期九年级第一次学情调查数学试题

2026年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 桃花的花粉直径约为0.000036m，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各数中，可使式子有意义的 的取值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列说法正确的是（ ） A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C. 概率很小的事件是不可能事件 D. 只要试验的次数足够多，频率就等于概率 6. 如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（ ） A. 的长 B. 与的积 C. 与大圆半径的比 D. 的度数 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 因式分解：__________． 8. 若一元二次方程的两根为、，则 _____． 9. 若，则 的余角_____． 10. 数据，6，3，0，的极差为_____． 11. 二次函数的顶点坐标为______． 12. 某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 13. 与是位似图形，且 与的相似比是，若的周长是4，则 的周长是_____． 14. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 15. 如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则 的面积为_____． 16. 如图，在 中，，为边 上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为 （单位：秒），的值为 ．在动点运动的过程中， 与 的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算： ； （2）解方程：． 18. 随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分．对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下： 八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100 九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100 八九年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 91.8 95 九年级 91.8 93 根据以上信息，解答下列问题． （1）_____， _____． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好?请说明理由． 19. 如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态． （1）“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率． 20. 如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，， ，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到 ．参考数据：，，） 21. 甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． （1）若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； （2）若乙队保持不败，得分超过 分，求乙队至少胜了多少场？ 22. 如图， 中，是边 上的点，，． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 23. 已知函数 的图像经过点和 （1）求这个函数的表达式； （2）若点和都在这个函数的图像上，当 时，试判断与的大小关系并说明理由． 24. 如图， 内接于，的度数为，于点． （1）在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在 上求作点，使 ；（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） （2）如图2，在（1）的条件下，连结并延长交于．若 ， ，求的长． 25. 点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． （1）如图1，当点落在 边上时， _____； （2）如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； （3）当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边 的另一个交点为，直接写出的值． 26. 点，分别为反比例函数、的图象上一点，二次函数的图象经过点，，顶点为，，的横坐标分别为，， ． （1）如图， 轴． 若 ，求的值； 试说明：当时，二次函数的函数值随 增大而增大； （2）当 ， 时，求直线与 轴的交点坐标； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正上方中间位置，即看到的图形如下： 故选：A． 3. 桃花的花粉直径约为0.000036m，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的形式为，a需满足，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数，包含小数点前的零． 【详解】解：． 4. 下列各数中，可使式子有意义的的取值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为0，据此列出不等式确定x的范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵ 式子有意义 ∴ 需同时满足二次根式和分式有意义的条件． 即 解得 且 ． 结合选项可知，只有 符合条件． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C. 概率很小的事件是不可能事件 D. 只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 6. 如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点， 为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（ ） A. 的长 B. 与的积 C. 与大圆半径的比 D. 的度数 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作于点 ，根据垂径定理以及 可得，然后证明，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点 ， 则， ∵与小圆相切于点， ∴ ∴ ∵ 为的中点，经过圆心， ∴ ， ∴， ∴四点共圆， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵已知， ∴当已知时，即可求解．故C符合题意． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 若一元二次方程的两根为、，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若两根为，则两根之积，代入对应系数即可计算得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中 ，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 9. 若，则 的余角_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据余角的定义，互余的两个角的和为， 可得 的余角为：． 10. 数据，6，3，0，的极差为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据极差的定义，极差为一组数据中最大值减去最小值，先找出这组数据的最大值和最小值，再计算差值即可． 【详解】解：这组数据中的最大值为，最小值为， 极差为：． 11. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】(－1，－1) 【解析】 【详解】试题解析：∵y=x2+2x=（x+1）2-1， ∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（-1，-1） 12. 某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坡度的概念求出 ，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡 的坡比是，， ∴， 由勾股定理得． 13. 与是位似图形，且与的相似比是，若的周长是4，则的周长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了相似图形的性质，根据相似图形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵与的相似比是， ∴与的周长比是， ∵的周长是4， ∴的周长为． 14. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图1和2列出方程组得：， 得， 解得：， 所以小正方形的边长为． 15. 如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则 的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】延长交于点 ，连接 ，可得，那么，故，然后结合勾股定理以及完全平方公式求解即可． 【详解】解：延长交于点 ，连接 ， 则是直径，， ∴， ∴ 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，在中，，为边 上一点．动点 以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点 的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点 运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据动点速度与函数图像，确定斜边，再结合时的最低点信息，得到此时且，利用勾股定理算出；接着通过证明 ，求出；最后根据“垂线段最短”，得出点 在 上运动时， 的最小值为 ，因此函数图像最低点的纵坐标． 【详解】解：∵动点 速度为单位/秒，由图可知： 从到 共用时秒， ∴斜边； 当时，，此时，且该点是 在 段的最低点， ∴此时，得， 在中，由勾股定理得：， 又，， ∴ ，得比例关系：  ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，即 ， 根据垂线段最短， 在 上运动时， 的最小值为 ， ∴的最小值（即图像最低点纵坐标）：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算： ； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质及特殊角的三角函数值先化简，再进行加减运算即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解分式方程，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 解得 ， 检验：当 时，， ∴ 是原方程的解． 18. 随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分．对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下： 八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100 九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100 八九年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 91.8 95 九年级 91.8 93 根据以上信息，解答下列问题． （1）_____， _____． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好?请说明理由． 【答案】（1）91；100 （2） 九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好，理由如下： 两个年级成绩的平均数相等，而九年级的中位数和众数均高于八年级的中位数和众数， 所以，九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好些． 【解析】 【分析】（1）中位数，众数的意义和计算方法进行求解即可； （2）从中位数，众数和平均数的角度说明即可． 【小问1详解】 解：八年级的比赛成绩最中间的两个数据为：90和92，故中位数， 九年级的比赛成绩出现最多的是100分，出现2次，故 ． 【小问2详解】 略 19. 如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态． （1）“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光，据此解答即可； （2）先画出树状图，则可得随机闭合两个开关的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光， ∴当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡不会发光， ∴“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是不可能事件． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合两个开关，共有12种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有6种， 则事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为， 答：事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为． 20. 如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，， ，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到 ．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数、矩形的性质和判定，解题的关键是把所求线段放到熟悉的图形中，并准确利用所学知识求解．在Rt中，先通过三角函数求出，进而由已知条件可以分别求出，再根据线段的和差关系求出 即可． 【详解】解：Rt中，， ， 则 ， ． 由条件易知四边形 为矩形， 又， 四边形 为正方形， ． ， ． ，即连通器装置中液体的长度为 ． 21. 甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． （1）若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； （2）若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】（1）不能，理由 设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得： ， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）场 【解析】 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出 ，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出 ，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得： ． ∴至少胜5场． 22. 如图，中，是边 上的点，，． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定以及三角形的外角性质证明即可； （2）过点 作 于点 ，由三线合一得到，然后对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点 作 于点 ， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 23. 已知函数 的图像经过点和 （1）求这个函数的表达式； （2）若点和都在这个函数的图像上，当 时，试判断与的大小关系并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点和点代入 得出关于k、b的方程组，然后解方程组，求出k、b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的增减性进行判断即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入 得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴随x的增大而减小， ∵ ， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，内接于，的度数为，于点． （1）在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在 上求作点 ，使 ；（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） （2）如图2，在（1）的条件下，连结并延长交于 ．若 ， ，求 的长． 【答案】（1）如图： （2）1 【解析】 【分析】（1）以点为圆心， 长为半径画弧，与交于点，连接并延长 交 于点 ； （2）设 （ 即 ），在 和 中，根据勾股定理表示出 的长，再根据面积的两种算法列式子求出，再根据 列比例式求出 即可． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆心， 长为半径画弧，与交于点，连接并延长 交 于点 ，点 即为所作， 理由：的度数为， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：的度数为， ， 设 （ 即 ）， 在 和 中， ， ， ， ， ， 解得 （舍）， ， 如图，连接 ， ， ， ， ， ，即， ． 25. 点为矩形的边 上一点，．将矩形绕点逆时针旋转 角得到矩形． （1）如图1，当点落在 边上时， _____； （2）如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； （3）当时，过作，垂足为 ，过 、、三点的圆与边 的另一个交点为 ，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点O作于点G，连接，设，则；由勾股定理得，由旋转的性质可得，证明四边形是矩形，得到，则可证明，进而证明是等边三角形，据此可得答案； （2）设，则；由矩形的性质可得，则，利用勾股定理求出，则，据此可得答案； （3）分图3-1和图3-2两种情况，求出的长，证明三角形相似，利用相似三角形的性质推出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点O作于点G，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 26. 点 ，分别为反比例函数、的图象上一点，二次函数的图象经过点 ，，顶点为， ，的横坐标分别为，， ． （1）如图， 轴． 若 ，求的值； 试说明：当时，二次函数的函数值随增大而增大； （2）当 ， 时，求直线与轴的交点坐标； （3）若，求证：． 【答案】（1） ；见解析； （2）； （3） 解：过 作 轴于，过作轴于 ，如图， ∵，，， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】（） 由反比例函数的性质求出，，然后通过待定系数法求解析式即可； 由题意得，，则有，，所以 ，则 ，得 ，从而求证； （）当 时，，，所以，求得，再求出解析式为 ，则当 时， ，从而求解； （）过 作 轴于，过作轴于 ，所以，，，则，，求得 ，又 ，所以 ，从而可得． 【小问1详解】 解： ∵ ，即 的横坐标为， ∴当时， ， ∴， ∵ 轴， ∴的纵坐标相同，且为， ∴当时，，解得： ， ∴， ∵二次函数的图象经过点 ，， ∴，解得：； 由题意得，， ∵ 轴， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当时，的函数值随的增大而增大； 【小问2详解】 解：当 时，，， ∴， ∵ ， ∴， 设直线解析式为，把，代入得， ，解得： ∴解析式为 ， ∴当 时， ， ∴直线与轴的交点坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $